2025-2026学年苏科版 七年级数学下册第一次学情检测评估试卷（培优卷）（测试范围：第7章幂的运算+第8章整式乘法）

七年级数学下册第一次学情检测评估试卷（培优卷） 【新教材苏科版】 （满分100分，考试时间90分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：幂的运算+整式乘法全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 2．代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 5．若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 6．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 7．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 8．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．若，，则_____________． 10．若与是同类项，则_____． 11．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 12．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 13．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 14．若是一个完全平方式，则m的值为________． 15．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 16．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 三、解答题（8小题，共68分） 17．计算： (1)； (2)． 18．运用乘法公式化简或简便计算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：．其中． 20．关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 21．已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 22．七年级某班数学小组研究系列算式：，，…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ；…… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含的等式表示以上规律，并通过计算验证所列等式的正确性． 23．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 24．综合与实践 通过对教材的学习，我们发现，公式可以用平面图形面积来表示． (1)观察发现 为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形组合的网格图． ①请观察图1，并根据面积关系计算：_______； ②请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：______； (2)探究迁移 仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示； (3)拓展应用 图4中的长方形面积能表示，当，均是大于2的正整数时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下册第一次学情检测评估试卷（培优卷） 【新教材苏科版】 （满分100分，考试时间90分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：幂的运算+整式乘法全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查幂的乘法，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】解：依题意得． 故选：C． 2．代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A： ，正确，符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C： ，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意． 4．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据积的乘方法则化简，再根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算. 【详解】解：  ． 故选：D． 5．若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方，同底数幂相乘，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将多个相同数的和与积转化为乘法和乘方形式，再利用等式性质求出的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：∵2025个相加可表示为，2026个相乘可表示为， ∴根据题意得， 又∵， 等式两边同时除以，得， 将代入，得， 故选：B． 6．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 7．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 8．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：A 中不存在等量关系，故A不符合题意； 由B可得，故B不符合题意； 由C可得，故C不符合题意； 由D可得，故D符合题意； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．若，，则_____________． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据指数运算法则，将分解为 ，再代入已知条件求解． 【详解】解：由指数运算法则，． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．若与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，负整数指数幂的含义，代数式求值．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同，因此建立关于m和n的方程并求解． 【详解】解：∵ 与 是同类项， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为 11．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算的规则，确定对应a、b的值，代入后利用整式乘法运算法则展开，合并同类项得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 12．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 13．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 【答案】 【分析】本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键；观察给出的运算规律，发现个位数为的两位数的平方等于十位数字与的乘积乘以再加． 【详解】解：∵，，， ∴对于任意个位为的两位数，其十位数字为，则其数为，其平方为，可表示为； 故答案为：． 14．若是一个完全平方式，则m的值为________． 【答案】或13 【分析】先将代数式写成完全平方的形式，然后计算、比较即可解答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或13． 15．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【答案】8 【分析】根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 16．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（8小题，共68分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 18．运用乘法公式化简或简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）构造平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．先化简，再求值：．其中． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算多项式乘以多项式和幂的乘方，再计算同底数幂除法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 21．已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把分别代入后再化简，然后代入求值； （2）把代入等式后再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由题意可得：， 解得：． 22．七年级某班数学小组研究系列算式：，，…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ；…… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含的等式表示以上规律，并通过计算验证所列等式的正确性． 【答案】(1) (2)，其中；验证见解析 【分析】（1）根据规律写出等式即可； （2）先根据规律写出结果，再利用多项式与多项式的乘法法则验证即可． 【详解】（1）根据题中规律，得； （2），其中； 验证如下： ． 23．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 24．综合与实践 通过对教材的学习，我们发现，公式可以用平面图形面积来表示． (1)观察发现 为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形组合的网格图． ①请观察图1，并根据面积关系计算：_______； ②请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：______； (2)探究迁移 仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示； (3)拓展应用 图4中的长方形面积能表示，当，均是大于2的正整数时，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①将各部分面积相加，再合并同类项即可； ②根据图形，将各部分面积相加，再合并同类项，得到待求式子； （2）依照（1）结合式子画出图形即可； （3）先根据图形，列出面积的关系式，再结合已知式子，得到关于、的方程组，然后根据，均是大于2的正整数，求出的值． 【详解】（1）解：①大长方形的长为，宽为， 面积可表示为 ， 故答案为：； ②大长方形的长为，宽为， 面积可表示为 ， 故答案为：； （2）如图， （3）由图形可得：，且， 又， 所以， ∵，均是大于2的正整数， ∴或， ∴当时，， 当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $