2025-2026学年人教版八年级数学下册第一次月考卷

2025-2026学年八下数学第一次月考卷 考试范围：人教版2024新教材第十九-二十章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解 ：A 、是最简二次根式； B、 的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 的被开方数9是能开得尽方的因数，化简后为3，不是最简二次根式； D 、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 故选A． 2．下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【答案】C 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵，，， ∴A不是勾股数； 对选项B，∵，，， ∴B不是勾股数； 对选项C，∵，， ∴，且三个数均为正整数， ∴C是勾股数； 对选项D，∵，，， ∴D不是勾股数． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 4．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 在直角三角形中，利用勾股定理计算未知直角边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴根据勾股定理，得， ∴， 故选：A． 5．计算×＋的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式乘法法则计算乘法，再化简二次根式后相加，即可得到结果． 【详解】解：×＋ ． 6．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】根据题意设旗杆的高为x米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：如图：设旗杆的高为x米，则绳子的长为米， 在中，米， ， ， 解得， ， 旗杆的高为12米． 7．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 8．若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，进而推出，即可得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴三角形为直角三角形. 9．估计的值在（   ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【答案】D 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，，且， ∴，即， ∴原式的值在与之间． 10．如图，在中，连接，将沿翻折得到同一平面内的，与交于点F，若，则点E到的距离为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于G，作交于，根据题意可知，根据折叠的性质得到，，，，证明，得到，，根据三角形面积公式求出，根据勾股定理求出，同理求出，，进而求出，，根据三角形面积公式求出，即可得到点E到的距离． 【详解】解：如图，连接交于G，作交于， ∵， ∴， ∵将沿翻折得到同一平面内的， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．使代数式有意义的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数 ， 解得 ． 12．计算：________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 13．比较大小：_____． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，掌握通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：计算 ，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 14．如图，在数轴上点A表示实数______． 【答案】 【分析】根据勾股定理得到，结合数轴即可求解． 【详解】解：， 点A表示实数为． 15．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离，解题的关键是掌握勾股定理公式的应用． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， ． 故答案为：． 16．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 18．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调，百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查新定义的运算问题． 根据定义，有 和 ，通过计算得 ．代入．若该式为整数，则 为完全平方数，令 ，根据所满足的特征情况，确定 的所有可能取值，再计算 ，选取的最大值． 【详解】由定义，，， 故 ，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 若该式为整数，则 应为完全平方数， 令 ，则 为完全平方数， 由于 为 1 至 9 的数字， 为 1 至 8 的数字， ∴ 最小为 ，最大为 ， ∴ ，， 但被开方数不能是负数， ∴ ，又∵ ，且 4 为完全平方数， ∴ 需为完全平方数， ∴的值应为完全平方数与 3 的乘积， ∴的取值可能为0、3、12． 当 时，， ∴ 取最大值 4，则 ，，， 得； 当 时，， ∴ 取最大值 5，则 ，，， 得； 当 时，， ∴ 取最大值 9，则 ，，， 得； 故的可能取值为、、，的最大值为． 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）按照从左到右的顺序计算即可； （3）先算括号内的式子，再算括号外的除法； （4）先化简，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ；（6分） （3）解： ；（9分） （4）解： （12分） 20．（6分）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ；（3分） （2）解：∵， ∴，， ∴ ．（6分） 21．（4分）在中，，，为边上一点，且，，求边的长度． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理可判定，再使用勾股定理计算出，最后相加即可． 【详解】解：∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴．（4分） 22．（9分）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． (1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点． (2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点． (3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）使为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，可得，画出三角形即可． （2）根据题意，画底为2，高为3的等腰三角形即可． （3）使，且即可． 【详解】（1）解：如图①，三角形即为所求． 理由：, 所以，三角形即为所作；（3分） （2）解：如图②，等腰三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， ∴三角形是等腰三角形， ；（6分） （3）解：如图③，等腰直角三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形．（9分） 23．（8分）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)电视背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为．（4分） （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元．（8分） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知，则的值为多少． 【答案】(1)22 (2) 【分析】（1）将各项进行分母有理化，化简后为裂项相消的形式，合并即可求得结果； （2）设，，其中，利用已知等式导出，，根据完全平方公式计算出即为所求． 【详解】（1）解：∵， ， 同理，，， ∴ ；（4分） （2）解：设，，其中， ∴， ，     ， ，      ， ， ， ．（负值舍去）， ．（8分） 25．（9分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即；（3分） （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24；（6分） （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米．（9分） 26．（10分）新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． (1)根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（   ）；②等腰直角三角形（   ）； (2)若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． (3)如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 【答案】(1)①√；②× (2)①；② (3)①证明见解析；②的长为或． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则两边平方和，第三边平方的两倍为：，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； ②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c，则腰长的平方和为，底边长的平方为，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； （2）①分c为斜边和b为斜边，两种情况讨论，根据“骐骥三角形”的定义求解即可； ②由勾股定理得，再由是“骐骥三角形”， ，得到，进而求出，，则； （3）①由勾股定理得，，再由，，即可证明，则可证明是“骐骥三角形”； ②设，，则，，由（3）①得：，则；当时，由勾股定理得，当时，由勾股定理得，两种情况求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为a， ∴两边平方和，第三边平方的两倍为：， ∵， ∴等边三角形一定是“骐骥三角形”；（1.5分） ②设等腰直角三角形的腰长为b，底边长为c， ∴腰长的平方和为，底边长的平方为， ∴， ∴等腰直角三角形不是“骐骥三角形”；（3分） （2）解：①若c为斜边， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴此情况不存在； 若b为斜边， ∴， ∵，， ∴，符合“骐骥三角形”的定义， 此时；（4.5分） ②∵是直角三角形，且， ∴， ∵是“骐骥三角形”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是“骐骥三角形”；（8分） ②设，， ∴，， 由①得：， ∴ ∵为直角三角形，点E在四边形内部， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八下数学第一次月考卷 考试范围：人教版2024新教材第十九-二十章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 5．计算×＋的结果是（   ） A． B． C． D． 6．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 7．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 8．若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 9．估计的值在（   ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 10．如图，在中，连接，将沿翻折得到同一平面内的，与交于点F，若，则点E到的距离为（   ） A．6 B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．使代数式有意义的取值范围是___________． 12．计算：________． 13．比较大小：_____． 14．如图，在数轴上点A表示实数______． 15．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 16．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 17．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 18．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调，百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（6分）已知，求下列各式的值 (1) (2) 21．（4分）在中，，，为边上一点，且，，求边的长度． 22．（9分）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． (1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点． (2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点． (3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点． 23．（8分）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知，则的值为多少． 25．（9分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 26．（10分）新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． (1)根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（   ）；②等腰直角三角形（   ）； (2)若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． (3)如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八下数学第一次月考卷 考试范围：人教版2024新教材第十九-二十章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 5．计算×＋的结果是（   ） A． B． C． D． 6．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 7．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 8．若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 9．估计的值在（   ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 10．如图，在中，连接，将沿翻折得到同一平面内的，与交于点F，若，则点E到的距离为（   ） A．6 B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．使代数式有意义的取值范围是___________． 12．计算：________． 13．比较大小：_____． 14．如图，在数轴上点A表示实数______． 15．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 16．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 17．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 18．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调，百位与个位对调后的四位数记为，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（6分）已知，求下列各式的值 (1) (2) 21．（4分）在中，，，为边上一点，且，，求边的长度． 22．（9分）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点和均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． (1)在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点为格点． (2)在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点为格点． (3)在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点为格点． 23．（8分）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知，则的值为多少． 25．（9分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 26．（10分）新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． (1)根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（   ）；②等腰直角三角形（   ）； (2)若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． (3)如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八下数学第一次月考卷 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D A B C C B D B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 13. ＞ 14. 15. 16. 17. 2 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（12分） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）按照从左到右的顺序计算即可； （3）先算括号内的式子，再算括号外的除法； （4）先化简，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ；（6分） （3）解： ；（9分） （4）解： （12分） 20．（6分） 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ；（3分） （2）解：∵， ∴，， ∴ ．（6分） 21．（4分） 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理可判定，再使用勾股定理计算出，最后相加即可． 【详解】解：∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴．（4分） 22．（9分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）使为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，可得，画出三角形即可． （2）根据题意，画底为2，高为3的等腰三角形即可． （3）使，且即可． 【详解】（1）解：如图①，三角形即为所求． 理由：, 所以，三角形即为所作；（3分） （2）解：如图②，等腰三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， ∴三角形是等腰三角形， ；（6分） （3）解：如图③，等腰直角三角形即为所求． 理由：∵，， ∴， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形．（9分） 23．（8分） 【答案】(1)电视背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为．（4分） （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元．（8分） 24．（8分） 【答案】(1)22 (2) 【分析】（1）将各项进行分母有理化，化简后为裂项相消的形式，合并即可求得结果； （2）设，，其中，利用已知等式导出，，根据完全平方公式计算出即为所求． 【详解】（1）解：∵， ， 同理，，， ∴ ；（4分） （2）解：设，，其中， ∴， ，     ， ，      ， ， ， ．（负值舍去）， ．（8分） 25．（9分） 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即；（3分） （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24；（6分） （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米．（9分） 26．（10分） 【答案】(1)①√；②× (2)①；② (3)①证明见解析；②的长为或． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则两边平方和，第三边平方的两倍为：，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； ②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c，则腰长的平方和为，底边长的平方为，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； （2）①分c为斜边和b为斜边，两种情况讨论，根据“骐骥三角形”的定义求解即可； ②由勾股定理得，再由是“骐骥三角形”， ，得到，进而求出，，则； （3）①由勾股定理得，，再由，，即可证明，则可证明是“骐骥三角形”； ②设，，则，，由（3）①得：，则；当时，由勾股定理得，当时，由勾股定理得，两种情况求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为a， ∴两边平方和，第三边平方的两倍为：， ∵， ∴等边三角形一定是“骐骥三角形”；（1.5分） ②设等腰直角三角形的腰长为b，底边长为c， ∴腰长的平方和为，底边长的平方为， ∴， ∴等腰直角三角形不是“骐骥三角形”；（3分） （2）解：①若c为斜边， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴此情况不存在； 若b为斜边， ∴， ∵，， ∴，符合“骐骥三角形”的定义， 此时；（4.5分） ②∵是直角三角形，且， ∴， ∵是“骐骥三角形”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是“骐骥三角形”；（8分） ②设，， ∴，， 由①得：， ∴ ∵为直角三角形，点E在四边形内部， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $