第九章 解三角形（知识清单）数学人教B版必修第四册

该高中数学“解三角形”单元知识清单系统涵盖正弦定理、余弦定理、三角形重要结论、实际应用及常见题型，搭建从定理理解到应用实践再到易错规避的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类解析+题型分层练习”构建知识体系，如将“SSA解的个数判断”设为重点易错点，用表格对比角类型与边关系下的解情况，培养数学思维。设计测量、航海等实际应用案例及最值问题变量范围分析，帮助学生用数学语言表达现实问题，学生可针对性练习，教师能据此设计教学，提升复习效率。

第九章 解三角形 1.正弦定理：在任意△ABC中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于该三角形外接圆的直径2（为△ABC外接圆半径），即： 常用变形： 边化角：，， 角化边：，， 比例关系： 和角变形：，， 适用场景： 已知两角和任意一边（AAS/ASA），求其余边和角（解唯一） 已知两边和其中一边的对角（SSA），求其余边和角（解可能不唯一） 以已知a、b、A（边a对应角A，边b对应角B）求B为例，由正弦定理得，解的个数判断如下： 角A的类型 边a与、b的关系 解的个数 锐角 0（无解） 1（直角三角形） 2（两解，两个不同的三角形） 1（一解） 直角/钝角 1（一解） 0（无解） 2.余弦定理：在任意△ABC中，三边与对角的关系为（核心是“边的平方等于另外两边平方和减去两边乘积与夹角余弦的2倍”）：；； 推论：；； 适用场景： 已知三边（SSS），求三个角（解唯一，需满足三边关系） 已知两边及其夹角（SAS），求第三边和其余角（解唯一） 已知两边和其中一边的对角（SSA），判断三角形解的个数或求解 3. 三角形中的重要结论 边角关系：大边对大角，大角对大边： 内角和定理：（弧度制），衍生结论：， 三边关系：两边之和大于第三边（，，）；两边之差小于第三边（，，）（判断三角形是否存在） 面积公式：（为对应边上的高） 正弦公式： 外接圆公式：（R为外接圆半径） 海伦-秦九韶公式：，其中 4. 实际应用 （1）测量问题 距离测量：不可达两点间距离、河宽、两建筑物间距离 高度测量：建筑物高度、山峰高度、电线杆高度（利用仰角、俯角） 角度测量：方位角、仰角、俯角（注意方位角的定义：从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度） （2）航海与几何问题 航海中的航向、航程计算（结合正弦定理、余弦定理求解） 多边形、立体几何中三角形的边角求解（将复杂图形转化为三角形） 5. 常见题型与方法 （1）判断三角形形状 化边为角：利用正弦定理将所有边转化为角的正弦，结合三角恒等变换（如和角公式、二倍角公式）判断角的关系（如等腰、等边、直角）。 化角为边：利用余弦定理将所有角的余弦转化为边的关系，通过因式分解、配方等判断边的关系（如为等腰，为直角）。 （2）最值与范围问题 利用正弦定理将边/角表示为单一变量（如设），结合三角函数的值域（）求解边长、面积的最值。 利用余弦定理结合基本不等式（）求边长、面积的最值（注意等号成立的条件）。 易错01 SSA（两边及一边对角）忽视解的个数 错误：已知，由算出后，只写锐角解、漏算钝角解；或不判断解的个数，直接代入计算。 注意：正弦函数在上不单调，当时，可能为锐角或钝角；先计算，根据角的类型和边的关系，按下表判断解的个数；算出后，必须用验证，不符合则舍去。 1．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 5．（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 易错02 三角形形状判断，漏解 错误：由直接得出，忽略的情况，导致漏解直角三角形。 注意：牢记结论：（等腰三角形）或（直角三角形），两种情况均需考虑，不可遗漏。 6．（多选）已知，，分别是的内角，，的对边，给出下列条件，能推出为等腰三角形的条件有（   ） A． B． C． D． 7．（多选）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 8．（多选）在中，对应的边分别为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 易错03 忽略“三角形存在”的前提条件 错误：判断三角形形状时，未先验证三边是否满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”，直接用正弦或余弦定理计算。例如：判断三边1、2、3构成的三角形形状，直接代入余弦定理，忽略1+2=3，不能构成三角形。 注意：已知三边判断形状时，先验证三边关系（、、），确认能构成三角形后，再判断形状。 9．假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．5，6，7以外，还有其它情况 D．前面三个答案都不对 易错04 大边对大角与正、余弦值关系混淆 错误：混淆大边对大角与正、余弦值的关系，常见错误：①；②。 注意：正、余弦函数在上的单调性：正弦函数在上递增，在上递减，整体满足“”；余弦函数在上单调递减，满足“”。 10．（多选）下列关于的结论中，正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则 11．（多选）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 12．（多选）在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若的面积，则 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 13．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 14．（多选）已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 15．（多选）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 易错05 方位角、仰角、俯角概念不清 错误：混淆方位角、仰角、俯角的定义，例如：将方位角“南偏东30°”当成“东偏南30°”；仰角、俯角找错水平线，误将视线与铅垂线的夹角当作仰角/俯角。 注意：牢记三个角度的定义：①方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度；②仰角：从水平线向上到视线的夹角；③俯角：从水平线向下到视线的夹角；解题时先画出图形，标注角度，再计算。 16．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 17．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 18．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 19．重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 20．下列结论正确的是（    ） A．东南方向与南偏东方向相同． B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是. C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为. D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为. 21．（多选）某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为 ；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为 .货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　） A．A处与D处之间的距离是24 B．灯塔C与D处之间的距离是16 C．灯塔C在D处的南偏西方向 D．D处在灯塔B的北偏西方向 22．如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 23．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米． 易错06 最值问题忽略角/边的范围 错误：求面积、边长的最值时，忽略三角形中角或边的范围，直接套用三角函数最值（如），导致结果不符合题意。例如：求的最大值，直接写，不考虑受、限制，无法取到。 注意：求最值前，先明确变量的取值范围（如、、），再结合正弦函数值域、基本不等式求解，确保最值在取值范围内。 24．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 25．已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则边c的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 29．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 30．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 31．中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 32．已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 1．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 2．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 3．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 7．（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 8．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．对任意，都有 9．（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 10．在中，角、、的对边分别为、、．若，则的最大值为__________． 11．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为__________小时，角的正弦值为__________．    12．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 13．在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 14．已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 解三角形 1.正弦定理：在任意△ABC中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于该三角形外接圆的直径2（为△ABC外接圆半径），即： 常用变形： 边化角：，， 角化边：，， 比例关系： 和角变形：，， 适用场景： 已知两角和任意一边（AAS/ASA），求其余边和角（解唯一） 已知两边和其中一边的对角（SSA），求其余边和角（解可能不唯一） 以已知a、b、A（边a对应角A，边b对应角B）求B为例，由正弦定理得，解的个数判断如下： 角A的类型 边a与、b的关系 解的个数 锐角 0（无解） 1（直角三角形） 2（两解，两个不同的三角形） 1（一解） 直角/钝角 1（一解） 0（无解） 2.余弦定理：在任意△ABC中，三边与对角的关系为（核心是“边的平方等于另外两边平方和减去两边乘积与夹角余弦的2倍”）：；； 推论：；； 适用场景： 已知三边（SSS），求三个角（解唯一，需满足三边关系） 已知两边及其夹角（SAS），求第三边和其余角（解唯一） 已知两边和其中一边的对角（SSA），判断三角形解的个数或求解 3. 三角形中的重要结论 边角关系：大边对大角，大角对大边： 内角和定理：（弧度制），衍生结论：， 三边关系：两边之和大于第三边（，，）；两边之差小于第三边（，，）（判断三角形是否存在） 面积公式：（为对应边上的高） 正弦公式： 外接圆公式：（R为外接圆半径） 海伦-秦九韶公式：，其中 4. 实际应用 （1）测量问题 距离测量：不可达两点间距离、河宽、两建筑物间距离 高度测量：建筑物高度、山峰高度、电线杆高度（利用仰角、俯角） 角度测量：方位角、仰角、俯角（注意方位角的定义：从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度） （2）航海与几何问题 航海中的航向、航程计算（结合正弦定理、余弦定理求解） 多边形、立体几何中三角形的边角求解（将复杂图形转化为三角形） 5. 常见题型与方法 （1）判断三角形形状 化边为角：利用正弦定理将所有边转化为角的正弦，结合三角恒等变换（如和角公式、二倍角公式）判断角的关系（如等腰、等边、直角）。 化角为边：利用余弦定理将所有角的余弦转化为边的关系，通过因式分解、配方等判断边的关系（如为等腰，为直角）。 （2）最值与范围问题 利用正弦定理将边/角表示为单一变量（如设），结合三角函数的值域（）求解边长、面积的最值。 利用余弦定理结合基本不等式（）求边长、面积的最值（注意等号成立的条件）。 易错01 SSA（两边及一边对角）忽视解的个数 错误：已知，由算出后，只写锐角解、漏算钝角解；或不判断解的个数，直接代入计算。 注意：正弦函数在上不单调，当时，可能为锐角或钝角；先计算，根据角的类型和边的关系，按下表判断解的个数；算出后，必须用验证，不符合则舍去。 1．已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 2．在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 3．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: A. 4．（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 5．（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误. 故选：ABD 易错02 三角形形状判断，漏解 错误：由直接得出，忽略的情况，导致漏解直角三角形。 注意：牢记结论：（等腰三角形）或（直角三角形），两种情况均需考虑，不可遗漏。 6．（多选）已知，，分别是的内角，，的对边，给出下列条件，能推出为等腰三角形的条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A中，由，故为等腰三角形； B中，由 ，故为直角三角形,不能确定两直角边是否相等； C中，由 ， 即， ，，故为等腰三角形； D中，由，，， 可得，或，即，或舍去，故为等腰三角形． 故选：ACD 7．（多选）对于，有如下命题，其中正确的有（   ） A．若，则为等腰或直角三角形 B．若，则为钝角三角形 C．，则面积为 D．，则或 【答案】ABD 【详解】对于A：由得或， 解得或，所以为等腰或直角三角形，A正确； 对于B：由，可得， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，B正确； 对于C：由余弦定理，，即， 化简得，解得或， 若，则； 若，则.所以C错误； 对于D：根据余弦定理，即， 所以，又，所以或，D正确. 故选：ABD. 8．（多选）在中，对应的边分别为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 【答案】BCD 【详解】对于A：由，则， 结合，（为外接圆的半径），可得，故A错误； 对于B：由，则， 整理得，而，， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形，故B正确； 对于C：由，而， 若中有一个为钝角，不妨令为钝角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 若中有一个为直角，不妨令为直角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 所以均为锐角，则为锐角三角形，故C正确； 对于D：锐角三角形中，所以， 又在上单调递增，所以，故D正确. 故选：BCD 易错03 忽略“三角形存在”的前提条件 错误：判断三角形形状时，未先验证三边是否满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”，直接用正弦或余弦定理计算。例如：判断三边1、2、3构成的三角形形状，直接代入余弦定理，忽略1+2=3，不能构成三角形。 注意：已知三边判断形状时，先验证三边关系（、、），确认能构成三角形后，再判断形状。 9．假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．5，6，7以外，还有其它情况 D．前面三个答案都不对 【答案】A 【详解】在中，不妨设，角，，所对的边分别为，，， 则，即，得， 整理得， 由题意知，可得，则. 而三角形三边长为连续的三个正整数，结合题意可知， 若，则，，此时，或，，此时，不满足三角形的定义； 所以，若，则，与为整数矛盾， c不可能为1，因此，，代入解得，因此该三角形的三边长为，，. 故选：A 易错04 大边对大角与正、余弦值关系混淆 错误：混淆大边对大角与正、余弦值的关系，常见错误：①；②。 注意：正、余弦函数在上的单调性：正弦函数在上递增，在上递减，整体满足“”；余弦函数在上单调递减，满足“”。 10．（多选）下列关于的结论中，正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A中，由，得， 因为，所以，故为钝角三角形，对； B中，由已知条件，得， 因为，所以，错； C中，因为，所以， 因为，所以，所以不能确定另外两个角是否为锐角，错； D中，在中，，所以，所以，对． 故选：AD 11．（多选）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】BD 【详解】对于A，根据正弦定理得， 化简得，得到或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确； 对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误； 根据余弦定理可得，，因为，所以. 因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确. 故选：BD. 12．（多选）在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若的面积，则 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【详解】在中，，则，故A正确； 的面积， ，即，又，所以，故B正确； 由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 由，得，则是钝角，是钝角三角形，故D正确． 故选：ABD 13．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，因为函数在上单调递减，且，所以，错误； 对于B，若即，则，所以，则为等腰三角形，正确； 对于C，由，而， 若中有一个为钝角，不妨为钝角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 若中有一个为直角，不妨为直角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 所以均为锐角，则为锐角三角形，正确； 对于D，如图， 因为有两解，所以，又，， 所以，即，正确. 故选：BCD. 14．（多选）已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】ABC 【详解】对A，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对B，由和正弦定理可得， 所以，又，所以，正确； 对C，若，则， 即，所以符合条件的有两个，正确； 对D，若，则，即， 因为，所以或， 即或， 当时，，此时为直角三角形； 当时，为等腰三角形. 所以为直角三角形或等腰三角形，错误. 故选：ABC 15．（多选）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 易错05 方位角、仰角、俯角概念不清 错误：混淆方位角、仰角、俯角的定义，例如：将方位角“南偏东30°”当成“东偏南30°”；仰角、俯角找错水平线，误将视线与铅垂线的夹角当作仰角/俯角。 注意：牢记三个角度的定义：①方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度；②仰角：从水平线向上到视线的夹角；③俯角：从水平线向下到视线的夹角；解题时先画出图形，标注角度，再计算。 16．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 17．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【详解】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B 18．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    19．重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【答案】D 【详解】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 20．下列结论正确的是（    ） A．东南方向与南偏东方向相同． B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是. C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为. D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为. 【答案】A 【详解】A选项，东南方向与南偏东方向相同，A选项正确. B选项，若为锐角三角形且， 则，解得，所以B选项错误. C选项，从处望处的仰角为，从处望处的俯角为， 则，所以C选项错误. D选项，俯角是在竖直面内，水平线与向下递降线段直线的角度， 范围是，所以D选项错误. 故选：A 21．（多选）某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为 ；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为 .货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　） A．A处与D处之间的距离是24 B．灯塔C与D处之间的距离是16 C．灯塔C在D处的南偏西方向 D．D处在灯塔B的北偏西方向 【答案】AC 【详解】 由题意可知，， 所以， 对于A，在中，由正弦定理得， 所以，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得， 即，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，故C正确； 对于D，由，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：AC. 22．如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 23．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米． 【答案】 【详解】 过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 易错06 最值问题忽略角/边的范围 错误：求面积、边长的最值时，忽略三角形中角或边的范围，直接套用三角函数最值（如），导致结果不符合题意。例如：求的最大值，直接写，不考虑受、限制，无法取到。 注意：求最值前，先明确变量的取值范围（如、、），再结合正弦函数值域、基本不等式求解，确保最值在取值范围内。 24．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 故选：B. 25．已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 26．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则边c的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，且， ， ，， 由正弦定理得， ， 则当时，边c取得最小值． 27．已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 28．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 29．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 30．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 31．中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理可得：，， ，. （2）[方法一]：由余弦定理得： ， 即.（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]： 设，则，根据正弦定理可知， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 此时周长的最大值为. （3）由余弦定理得： ， 即.（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. 32．已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． 1．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 2．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 3．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 4．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得，所以， 又三角形面积公式，可知，所以， 又，所以， 由正弦定理得 ， 在锐角中，有，因为正切函数在上单调递增， 所以， 从而. 故选：A 5．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 6．（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则的取值范围为 D．若，且三角形有两解，则的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，所以，则为等腰三角形，故B正确； 对于C，， 因为， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以，而， 所以， 由题意直线和的图象有两个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 7．（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．对任意，都有 【答案】ABD 【详解】对于A选项，由，根据正弦定理得，（为外接圆半径），即，则， 故A正确； 对于B，， 所以， 所以， 所以三个数有个或个为负数，又因最多一个钝角， 所以，即都是锐角， 所以一定为锐角三角形，故B正确； 对于C，由正弦定理得，则， 又，则，知满足条件的三角形只有一个，故C错误； 对于D，因为，所以，又函数在上单调递减， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD 9．（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以， 即，所以，由余弦定理可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则， 所以 ， 所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 10．在中，角、、的对边分别为、、．若，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】由和余弦定理，可得，化简得， 故是直角三角形，且， 则，， 由正弦定理，可得， 又因，所以， 所以， 由可得 ， 故当，即时，取最大值 1， 此时取得最大值为. 11．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为__________小时，角的正弦值为__________．    【答案】 2 / 【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.        根据余弦定理得，解得， 故，. 根据正弦定理得，解得， 故答案为：2；. 12．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 13．在中，角，，所对的边分别，，，．函数的图象关于点对称． (1)当时，求的值域； (2)若，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得 ， 所以，因为，所以， 所以 ， 因为，则，所以， 所以的值域为； （2）由（1）得，又，所以， 即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为， 所以，即的面积最大值为. 14．已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）方法一：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则，    设，，在中，由余弦定理得， 即，即，整理得， 因为且，由基本不等式可得， 可得，即， 当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以，故， 综上所述，的周长的取值范围为； 方法二：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则， 设，则有，则，， 由，可得， 在中，，由正弦定理得， 则，， 可得 ， 根据，，所以， 可得，所以， 所以的周长范围为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $