10.1.2 复数的几何意义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

１０． １． ２　 复数的几何意义 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表 示复数及它们之间的一一对应关系． ２．掌握实轴、虚轴、模及共轭复数等概念． ３．掌握用向量的模来表示复数的模的方法并能够解决与 模有关的问题． １．通过复数的几何意义，体会直观想 象的素养． ２．借助复数的几何意义解题，培养数 学运算的素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复平面和复数的几何意义 　 　 １．复平面： 建立直角坐标系来表示复数的平面称为　 　 　 　 　 ，ｘ轴称为　 　 　 　 　 ，ｙ轴称为　 　 　 　 　 ． 实轴上的点都表示　 　 　 　 　 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 　 　 ２．复数的几何意义 　 　 提醒： Ž8<èŽÀ/WCˆ-R 0 ： 7 （１） ŽÀ-F,}bSFÀ2 ； （２） Ž8</-0 Ｚ -§4} （ａ，ｂ）， ÙP} （ａ，ｂｉ）， ò—}¾Ž8</-F¨„-©>ªO } １， ¨„-©>ªO} １， ÙP} ｉ． F¨¡¨-«0¬"0 ， 0 （０，０） 2£ŽÀ ０； （３） F¨„-0ÓÔFÀ ， ¨„-0 （ ­0 ） ÓÔ¡À ． ŽÀ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ） *- ｚ ) ®N£‘® ， Ž8</-0 Ｚ（ａ，ｂ） )®N£Š® ． $%+ ●/012 １．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． （　 　 ） （２）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． （　 　 ） （３）复数ｚ ＝ － １ － ２ｉ（ｉ为虚数单位）在复平面内对应的点位于第三象 限． （　 　 ） ２．已知复数ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ（ｍ∈Ｒ，ｉ为虚数单位）在复平面内对应 的点在第四象限，则实数ｍ的取值范围是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．（－ ３，１） Ｂ．（－ １，３） Ｃ．（１，＋ ∞） Ｄ．（－ ∞，－ ３） 知识点２　 复数的模与共轭复数 　 　 １．共轭复数 　 　 （１）如果两个复数的实部　 　 　 　 　 ，而虚部　 　 　 　 　 　 ，则称这 两个复数互为　 　 　 　 　 　 复数．复数ｚ的共轭复数用ｚ表示． 　 　 （２）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于　 　 　 　 　 对称；反之， 如果表示两个复数的点在复平面内关于　 　 　 　 　 对称，则这两个复数互 为共轭复数． 　 　 ２．复数的模 　 　 设ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则向量→ＯＺ ＝（ａ，ｂ）的长度称为复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ 的　 　 　 　 　 （或绝对值），复数ｚ的模用｜ ｚ ｜表示，因此｜ ｚ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ． ［思考］ ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　３．（２０２４·新课标全国Ⅱ卷）已知ｚ ＝ － １ － ｉ，则ｚ ＝ （　 　 ） Ａ． ０　 　 　 　 Ｂ． １ Ｃ．槡２ Ｄ． ２ ４．若复数ｚ１ ＝ ３ ＋ ａｉ，ｚ２ ＝ ｂ ＋ ４ｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），且ｚ１与ｚ２互为共轭复数，则ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ的模为　 　 　 　 ． 思考：如何理解复数 的模？ 提示：１． À-0Oxd ： ŽÀ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ） - v ｜ ａ ＋ ｂｉ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２， \.ÀPkN[Š ‘ ， óéê-vÓÔF À ， WIN[Š‘ ． ２． /W0Oxd ： ÓÔ ŽÀ-0 Ｚ ÿ0- rs ． 3456%789 ●:;<%ŽšŽ›AœPCP/0 １．已知复数ｚ ＝（ａ２ － １）＋（２ａ － １）ｉ，其中ａ∈Ｒ．当复数ｚ在复平面内 对应的点满足下列条件时，求ａ的值（或取值范围）． （１）在实轴上； （２）在第三象限； （３）在直线ｙ ＝ ｘ上． 　 　 ［分析］　 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足 的条件，建立关于ａ的方程或不等式，即可求得实数ａ的值（或取值范围）． ［归纳提升］ 归纳提升：１． ŽÀ¡Ž 8</0-2£RS- F,uŽÀ-F”—} i2£0-¯§4VŽ À-”—}i2£0 -°§4Z ２． LMŽÀ®Ž8</ 2£0±²-š›_  À‚ÈoF‚ÑÒÉ NVWvwŽÀ¡0- 2£RSV³ÿŽÀF ”¡”£±²-š ›VG¯d$°È¥É oPQ?È¥É_X  À‚ÈoF‚ÑÒÉ ． $%! 〉 /CD1 １．（１）复数ｚ ＝ ３ － ５ｉ（ｉ为虚数单位）在复平面内对应的点位于 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．第一象限　 　 　 　 　Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 （２）已知ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ在复平面内对应的点在第四象限，则实 数ｍ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．（－ ３，１）　 Ｂ．（－ １，３） Ｃ．（１，＋ ∞）　 Ｄ．（－ ∞，－ ３） ●:;E%ŽPžJŸ ２．（１）在复平面内，复数１０ ＋ ７ｉ，－ ６ ＋ ｉ对应的点分别为Ａ，Ｂ．若Ｃ为 线段ＡＢ的中点，则点Ｃ对应的复数是 （　 ） Ａ． ４ ＋ ８ｉ Ｂ． １６ ＋ ６ｉ Ｃ． ２ ＋ ４ｉ Ｄ． ８ ＋ ３ｉ （２）在复平面内的长方形ＡＢＣＤ的四个顶点中，点Ａ，Ｂ，Ｃ对应的复 数分别是２ ＋ ３ｉ，３ ＋ ２ｉ，－ ２ － ３ｉ，求点Ｄ对应的复数． ［分析］　 根据复数与点、复数与向量的关系求解． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．（１）复平面内向量→ＯＡ对应的复数为１ ＋ ｉ，将→ＯＡ向右平移一个单位长度后 得到向量→Ｏ′Ａ′，则向量→Ｏ′Ａ′与点Ａ′对应的复数分别为 （　 ） Ａ． １ ＋ ｉ，１ ＋ ｉ Ｂ． ２ ＋ ｉ，２ ＋ ｉ Ｃ． １ ＋ ｉ，２ ＋ ｉ Ｄ． ２ ＋ ｉ，１ ＋ ｉ （２）在复平面内，Ｏ为原点，向量→ＯＡ对应的复数为－ １ ＋ ２ｉ，若点Ａ关于直 线ｙ ＝ － ｘ的对称点为Ｂ，则向量→ＯＢ对应的复数为 （　 ） Ａ． － ２ － ｉ Ｂ． － ２ ＋ ｉ Ｃ． １ ＋ ２ｉ Ｄ． － １ ＋ ２ｉ 归纳提升：１． TŽÀ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ È ａ，ｂ “ Ｒ ÉVYŽ À ｚ ®Ž8</2£-´ Ì →ＯＺ ＝（ａ，ｂ）． ２． Ž8</´Ì2£- ŽÀWG¯´Ì-§4 Rm_X ． ３． ^.´ÌPµ¶·8 aVé12£-ŽÀ} PÖ-Vói&0¡¸ 02£-ŽÀWk¹Ö ． $&$ ●:;>%ŽP  ３．（１）若复数ｚ对应的点在直线ｙ ＝２ｘ上，且｜ ｚ ｜ ＝槡５，则复数ｚ ＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １ ＋ ２ｉ Ｂ． － １ － ２ｉ Ｃ． ± １ ± ２ｉ Ｄ． １ ＋ ２ｉ或－ １ － ２ｉ （２）设复数ｚ１ ＝ ａ ＋ ２ｉ，ｚ２ ＝ － ２ ＋ ｉ，且｜ ｚ１ ｜ ＜ ｜ ｚ２ ｜，则实数ａ的取值范 围是 （　 ） Ａ．（－ ∞，－ １）∪（１，＋ ∞） Ｂ．（－ １，１） Ｃ．（１，＋ ∞） Ｄ．（０，＋ ∞） ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．（１）若复数ｚ ＝ ２ａ － １ａ ＋ ２ ＋（ａ ２ － ａ － ６）ｉ是实数，则ｚ１ ＝（ａ － １）＋（１ － ２ａ）ｉ 的模为　 　 　 　 ． （２）求复数ｚ１ ＝ ６ ＋ ８ｉ及ｚ２ ＝ － ９ ＋ ｉ的模，并比较它们模的大小． ●:;n%¡¢ŽHN0v ４．已知ｘ － １ ＋ ｙｉ与ｉ － ３ｘ是共轭复数，求实数ｘ与ｙ的值． ［分析］　 根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求ｘ，ｙ． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ４．如图，在复平面内，点Ａ表示复数ｚ，则图中表示ｚ的 共轭复数的点是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． Ａ Ｂ． Ｂ Ｃ． Ｃ Ｄ． Ｄ 归纳提升：１． ŽÀ-v ÓԎÀ®Ž8</2 £-0ÿ0-rs ． ２． _ŽÀ-vNV£ fgŽÀ-F”¡ ”VƒºOŽÀv-l m>?lm_d ． ３． T\.ŽÀ¶QVé ê-v^g¶QZ# ÝV\.ŽÀ-v¶ QVY\.ŽÀP^g ¶Q ． ４． \.ŽÀP^gkN [Š‘VóŽÀ-v^ gWIN[Š‘ ． 归纳提升： ŽÀ ｚ -» ¼ŽÀO ｚ ½ÓÔV¦ T ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ）， Y ｚ ＝ ａ － ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ）． ®Ž8</V0 Ｚ（ａ，ｂ） 2£ŽÀ ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ａ， ｂ “ Ｒ）； 0 Ｚ ½ （ａ，－ ｂ） 2 £ŽÀ ｚ ＝ ａ － ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ）， 0 Ｚ ] Ｚ ½RpF¨ 2¬ ． $&# XYZ[%\]^ １．给出下列三个命题：① － 槡３ｉ － １( )２ 的实部是 － １２；②２ｉ － １的虚部是２ｉ；③２ｉ的实部是０．其 中真命题的个数为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ２．设复数ｚ ＝ －１ ＋２ｉ（ｉ为虚数单位），则复数ｚ的共 轭复数ｚ在复平面上对应的点位于 （　 　 ） Ａ．第一象限　 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限　 Ｄ．第四象限 ３．已知０ ＜ ａ ＜ ２，复数ｚ ＝ ａ ＋ ｉ（ｉ是虚数单位）， 则｜ ｚ ｜的取值范围是 （　 　 ） Ａ．（１，槡３）　 　 Ｂ．（１，槡５） Ｃ．（１，３）　 　 Ｄ．（１，５） ４．在复平面内，复数－ ３ － ｉ与５ ＋ ｉ对应的向量 分别是→ＯＡ与→ＯＢ，其中Ｏ是原点，则向量→ＯＡ ＋ →ＯＢ对应的复数为　 　 　 　 ，→ＢＡ对应的复数为 　 　 　 　 ，Ａ，Ｂ两点之间的距离为　 　 　 　 ． ５．已知复数ｚ满足２≤ ｜ ｚ ｜≤２槡２，则在复平面中ｚ 对应的点所构成的图形的面积为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［６                     ］ #$"% 复数的运算 １０． ２． １　 复数的加法与减法 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单 应用． ２．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． １．通过复数代数形式的加、减运算的几何意 义，培养直观想象的素养． ２．借助复数代数形式的加、减运算，提升数学 运算的素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数代数形式的加、减法 　 　 １．加法、减法法则 　 　 （１）设ｚ１ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ｚ２ ＝ ｃ ＋ ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ），则ｚ１ ＋ ｚ２ ＝（ａ ＋ ｃ）＋（ｂ ＋ ｄ）ｉ，ｚ１ － ｚ２ ＝ 　 　 　 　 　 ． 　 　 （２）两个共轭复数的和一定是实数． 　 　 ２．加法运算律 　 　 设ｚ１，ｚ２，ｚ３∈Ｃ，有（１）ｚ１ ＋ ｚ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ， 　 　 （２）（ｚ１ ＋ ｚ２）＋ ｚ３ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 提醒：１． ŽÀ-¾¿*g ， \ŽÀ¶¾¿ ， }F”¡F”¶¾¿ ， ”¡”¶¾¿ ， ŽÀ -¾¿WöÀÿ$.ŽÀ¶¾¿-q; ； 7 ２． \.ŽÀ-] （ ª ） }ŽÀ ， ó\.À-] （ ª ） P^g}À ． $&% ａ≠２，故选Ａ． ３． Ｄ　 因为ｘ２ ＋ １ ＝ ０，所以ｘ２ ＝ － １，而（± ｉ）２ ＝ － １．故选Ｄ． ４．槡５ － ８ｉ　 复数槡槡５ｉ － ５的虚部为槡５，复数８ｉ２ 槡 槡＋ ２ｉ ＝ － ８ ＋ ２ｉ的 实部为－ ８．故答案为槡５ － ８ｉ． ５． １ 　 因为复数（ｍ２ － １）＋ （ｍ２ － ｍ － ２）ｉ为纯虚数，所以 ｍ２ － １ ＝ ０， ｍ２ － ｍ － ２≠０{ ，解得ｍ ＝ １．故答案为１． １０． １． ２　 复数的几何意义 必备知识　 探新知 知识点１　 １．复平面　 实轴　 虚轴　 实数　 实轴　 虚轴 ２． Ｚ（ａ，ｂ） 对应练习 １．（１）√　 （２）× 　 （３）√ ［提示］　 （２）虚轴上的点除原点外所对应的复数都是纯虚数． （３）ｚ ＝ － １ － ２ｉ对应的点Ｚ（－ １，－ ２），位于第三象限． ２． Ａ　 由复数ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ在复平面内对应的点在第 四象限，得ｍ ＋ ３ ＞ ０， ｍ － １ ＜ ０{ ，解得－ ３ ＜ ｍ ＜ １．故选Ａ． 知识点２　 １．（１）相等　 互为相反数　 共轭　 （２）实轴　 实轴　 ２．模 对应练习 ３． Ｃ　 若ｚ ＝ － １ － ｉ，则ｚ ( )＝ － １ ２ ( )＋ － １槡 ２ 槡＝ ２．故选Ｃ． ４． ５　 因为ｚ１ ＝ ３ ＋ ａｉ，ｚ２ ＝ ｂ ＋ ４ｉ互为共轭复数， 所以ａ ＝ － ４， ｂ ＝ ３{ ， 所以ｚ ＝ － ４ ＋ ３ｉ， 所以｜ ｚ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋ ３槡 ２ ＝ ５． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：复数ｚ ＝（ａ２ － １）＋（２ａ － １）ｉ在复平面内对应的点是 （ａ２ － １，２ａ － １）． 　 　 （１）若ｚ对应的点在实轴上，则有２ａ － １ ＝ ０，解得ａ ＝ １２ ． 　 　 （２）若ｚ对应的点在第三象限，则有ａ ２ － １ ＜ ０， ２ａ － １ ＜ ０{ ，解得－ １ ＜ ａ ＜ １２ ，即ａ的取值范围为－ １，( )１２ ． 　 　 （３）若ｚ对应的点在直线ｙ ＝ ｘ上，则有２ａ － １ ＝ ａ２ － １，解得 ａ ＝ ０或ａ ＝ ２． 对点训练 １．（１）Ｄ　 （２）Ａ　 （２）ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ对应点的坐标为 （ｍ ＋ ３，ｍ － １），该点在第四象限，所以ｍ ＋ ３ ＞ ０， ｍ － １ ＜ ０{ ，解得－ ３ ＜ ｍ ＜ １．故选Ａ． 　 　 例２：（１）Ｃ　 （２）－ ３ － ２ｉ　 （１）两个复数对应的点分别为 Ａ（１０，７），Ｂ（－ ６，１），则Ｃ（２，４）．故其对应的复数为２ ＋ ４ｉ． 　 　 （２）记Ｏ为复平面的原点， 由题意得→ＯＡ ＝（２，３），→ＯＢ ＝（３，２），→ＯＣ ＝（－ ２，－ ３）． 设→ＯＤ ＝（ｘ，ｙ），则→ＡＤ ＝（ｘ － ２，ｙ － ３），→ＢＣ ＝（－ ５，－ ５）． 由题意知，→ＡＤ ＝→ＢＣ， 所以ｘ － ２ ＝ － ５， ｙ － ３ ＝ － ５{ ，解得ｘ ＝ － ３，ｙ ＝ － ２{ ， 故点Ｄ对应的复数为－ ３ － ２ｉ． 对点训练 ２．（１）Ｃ　 （２）Ｂ　 （１）由题意知→Ｏ′Ａ′ ＝→ＯＡ，∴ →Ｏ′Ａ′对应的复数为 １ ＋ ｉ，而点Ａ′对应的复数为１ ＋（１ ＋ ｉ）＝ ２ ＋ ｉ． （２）∵ Ａ（－ １，２）关于直线ｙ ＝ － ｘ的对称点为Ｂ（－ ２，１）， ∴向量→ＯＢ对应的复数为－ ２ ＋ ｉ． 　 　 例３：（１）Ｄ　 （２）Ｂ　 （１）依题意可设复数ｚ ＝ ａ ＋２ａｉ（ａ∈Ｒ），由 ｜ ｚ 槡｜ ＝ ５得ａ２ ＋４ａ槡 ２ 槡＝ ５， 　 　 解得ａ ＝ ± １，故ｚ ＝ １ ＋ ２ｉ或ｚ ＝ － １ － ２ｉ． 　 　 （２）因为｜ ｚ１ ｜ ＝ ａ２槡＋ ４，｜ ｚ２ 槡 槡｜ ＝ ４ ＋ １ ＝ ５，所以ａ２槡＋ ４ ＜ 槡５．即ａ２ ＋ ４ ＜ ５，所以ａ２ ＜ １．即－ １ ＜ ａ ＜ １． 对点训练 ３．（１）槡２９　 （２）见解析　 （１）∵ ｚ为实数，∴ ａ２ － ａ － ６ ＝ ０． ∴ ａ ＝ － ２或３． ∵ ａ ＝ － ２时，ｚ无意义，∴ ａ ＝ ３． ∴ ｚ１ ＝ ２ － ５ｉ． ∴ ｜ ｚ１ 槡｜ ＝ ２９． （２）因为ｚ１ ＝ ６ ＋ ８ｉ，ｚ２ ＝ － ９ ＋ ｉ，所以｜ ｚ１ ｜ ＝ ６２ ＋ ８槡 ２ ＝ １０， ｜ ｚ２ ｜ ＝ （－ ９）２ ＋ １槡 ２ 槡＝ ８２．因为 槡１０ ＞ ８２，所以｜ ｚ１ ｜ ＞ ｜ ｚ２ ｜ ． 　 　 例４：ｉ － ３ｘ的共轭复数为－ ３ｘ － ｉ，所以ｘ － １ ＋ ｙｉ ＝ － ３ｘ － ｉ， 即ｘ － １ ＝ － ３ｘ， ｙ ＝ － １{ ， 解得ｘ ＝ １ ４ ， ｙ ＝ － １{ ． 对点训练 ４． Ｂ　 因为互为共轭复数的两点关于实轴对称，而点Ａ与点Ｂ关 于实轴对称，所以图中表示ｚ共轭复数的点是Ｂ．故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 － 槡３ｉ －( )１２ ＝ １２ 槡－ ３ｉ，其实部为１２ ，故①错；２ｉ － １的虚 部为２，故②错；２ｉ的实部是０，故③正确． ２． Ｃ　 因为ｚ ＝ － １ ＋ ２ｉ，所以ｚ ＝ － １ － ２ｉ，则复数ｚ的共轭复数ｚ 在复平面上对应的点的坐标为（－ １，－ ２），位于第三象限．故 选Ｃ． ３． Ｂ　 ｜ ｚ ｜ ＝ ａ２槡＋ １，因为０ ＜ ａ ＜ ２，所以１ ＜ ａ２ ＋ １ ＜ ５，所以 ｜ ｚ ｜∈（１，槡５）． ４． 槡２　 － ８ － ２ｉ　 ２ １７　 在复平面内，复数－ ３ － ｉ与５ ＋ ｉ对应的 向量分别是→ＯＡ与→ＯＢ，其中Ｏ是原点，所以→ＯＡ ＝（－ ３，－ １）， →ＯＢ ＝（５，１），所以→ＯＡ ＋→ＯＢ对应的复数是２． 又→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ ＝（－ ８，－ ２）， 所以→ＢＡ对应的复数是－ ８ － ２ｉ，Ａ，Ｂ两点之间的距离为｜→ＢＡ ｜ ＝ 槡２ １７． ５． ４π　 根据题意可知复数ｚ满足２≤ ｜ ｚ ｜≤ 槡２ ２，则由复数模的几 何意义知，ｚ对应的点所构成的图形为半径为２和槡２ ２的两个 同心圆所围成的圆环，则其面积为π［（槡２ ２）２ － ２２］＝ ４π． １０． ２　 复数的运算 １０． ２． １　 复数的加法与减法 必备知识　 探新知 知识点１　 １．（ａ － ｃ）＋（ｂ － ｄ）ｉ　 ２． ｚ２ ＋ ｚ１ 　 ｚ１ ＋（ｚ２ ＋ ｚ３） 对应练习 １．（１）√　 （２）√　 （３）× 　 （４）× ［提示］　 （１）虚部互为相反数或者相等的两个虚数的和或差 为实数． （２）根据复数加法法则可得． （３）复数与复数相加减后结果可以是复数． （４）可以推广到多个复数相加的情形． ２． Ａ　 原式＝（１ － ２）＋（－ １ － １ ＋ ３）ｉ ＝ － １ ＋ ｉ． 知识点２　 １ →． ＯＺ 对应练习 ３． Ｄ　 依题意有→ＣＤ ＝→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ，而（３ ＋ ｉ）－（－ １ ＋ ３ｉ）＝ ４ － ２ｉ，即→ＣＤ对应的复数为４ － ２ｉ．故选Ｄ． ４． １ － ｉ　 Ｚ１Ｚ → ２ ＝ ＯＺ → ２ － ＯＺ → １ ＝（３ － ４ｉ）－（２ － ３ｉ）＝ １ － ｉ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）－ ２ － ｉ　 （２）槡２　 （１）（２ － ３ｉ）＋（－ ４ ＋ ２ｉ）＝（２ － ４）＋（－ ３ ＋ ２）ｉ ＝ － ２ － ｉ． 　 　 （２）ｚ１ － ｚ２ ＝［（３ｘ － ４ｙ）＋（ｙ － ２ｘ）ｉ］－［（－ ２ｘ ＋ ｙ）＋（ｘ － ３ｙ）ｉ］＝［（３ｘ － ４ｙ）－（－ ２ｘ ＋ ｙ）］＋［（ｙ － ２ｘ）－（ｘ － ３ｙ）］                                                                       ｉ ＝ —１８９—