3 导数的计算（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

2.3导数的计算 1．若，则（   ） A． B． C．0 D． 2．已知，则（    ） A．0 B．1 C． D． 3．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知函数，则（   ） A．4 B． C．2 D． 5．已知函数和直线，那么“直线与曲线相切”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（多选）设为实数，则直线能作为下列曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则________ 9．曲线在点处的切线方程是 __________；曲线在处的切线方程为__________ 10．若直线 与 在处的切线垂直，则 ______. 11．利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 12．已知函数. (1)求曲线的一条与直线平行的切线的方程； (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 1．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 2．已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 3．设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 4．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 5．曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，则函数在处无切线 B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．曲线在处的切线斜率为2，则 D．已知函数，则函数在点处的切线方程为 7．（多选）设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，则（   ） A．的通项公式为 B．是递增数列 C．的最大项为1 D．的值为 8．（多选）设直线、分别是函数在点、处的切线，若，且、分别与轴相交于点、，则（   ） A． B． C． D．直线的斜率为 9．已知曲线：，曲线在横坐标为的点处的切线与曲线的公共点除了切点外，是否还有其他的公共点？ 10．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 11．已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 1．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足，且，则称为函数与的一个“点”．已知，． (1)若，，存在“点”，求的值； (2)对任意，是否存在实数，使得，存在“点”？请说明理由． 2．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.    (1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值； (2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题： （i）求数列的通项公式，并将的长度用表示； （ii）求证：. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3导数的计算 1．C 2．B 3．B． 4．D 5．B 6．BC 7．BC 8． 9． 10． 11．【详解】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. 12．【详解】（1）因为切线与直线平行，所以切线的斜率， 由，得导数， 由，得，则， 又，所以切点坐标为， 所求切线方程为，即. （2）设切点，则，即切线的斜率为， 切线方程为：， 将点代入可得，得， 此时切线方程为，即， 所求切线方程为： 1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．BCD 7．BD 8．AC 9．【详解】对曲线求导得， 当时，切线斜率，切点坐标为， 由点斜式得切线方程，整理得. 联立切线与曲线方程  ，消去得， 因式分解得 ，解得根为（对应切点）和，对应另一个公共点， 因此，除切点外，还存在另一个公共点. 10．【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 11．【详解】（1）因为，所以，故.所以. 因为，. 所以函数在点处的切线方程为： ，即. （2）因为. 由，所以. 所以关于x的不等式在区间上有解，等价于在区间上有解. 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为：. 1．【详解】（1）设“S点”为，，，， 所以，消去得， 记，显然在上是增函数，而， 因此只有一个解，所以． （2）假设对任意，存在实数，使得与有“S点”， 设为，， 所以①，②，由②得③， ①③消去得，，， ①③消去得，在时，， 下面证明对任意，方程在有解， 设，函数在定义域上是减函数， 时，， ，图像连续不断，所以存在使得． 综上，任意，存在实数，使得与有“S点” 2．【详解】（1）由得，则，又，得， 故在处的切线的方程为：， 令，得到，所以，得到， 所以，在处的切线的方程为：， 令，得到，故r的2次近似值为； （2）（i）由，得， ，则，，得， 同理：在点处的切线斜率为， ，将代入得， 所以或， 若，则重合，与题设矛盾，故舍去， 故，故数列是首项为，公比为的等比数列， 得到， 由抛物线的定义可得， 故； （ii）由题意得， 由（i）知， 得， 结合时，， 可得，故， 所以，将代入， 得 . 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3导数的计算 1．若，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由常函数的求导公式即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：C 2．已知，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由导函数直接计算得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：B 3．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值. 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 故选：B． 4．已知函数，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将给定的极限形式转化为导数的定义形式，然后通过求导计算出结果. 【详解】. . 5．已知函数和直线，那么“直线与曲线相切”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用导数求出直线与相切时的充要条件，可得答案. 【详解】设函数和直线的切点坐标为， 则，可得， 所以当时，直线与曲线相切； 即“直线与曲线相切”是“”的必要条件； 当时，直线与也相切， “直线与曲线相切”不是“”的充分条件. 因此“直线与曲线相切”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（多选）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 7．（多选）设为实数，则直线能作为下列曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对各项函数求导，进而判断是否存在，即可得答案. 【详解】A：，故无论取何值，都不可能等于2，错； B：，令，解得，所以直线能作为该曲线的切线，对； C：，令，解得，所以直线能作为该曲线的切线，对； D：，故无论取何值，都不可能等于2，错. 故选：BC 8．已知函数，则________ 【答案】 【分析】对函数进行求导后代入计算即可. 【详解】，把代入， ． 故答案为： 9．曲线在点处的切线方程是 __________；曲线在处的切线方程为__________ 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故答案为：；. 10．若直线 与 在处的切线垂直，则 ______. 【答案】 【分析】求导得，代入得到切线斜率，再根据直线垂直于斜率关系即可得到答案. 【详解】，，则，解得. 故答案为：. 11．利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数定义直接运算即可. （2）由导数定义直接运算即可. （3）由导数定义直接运算即可. 【详解】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. 12．已知函数. (1)求曲线的一条与直线平行的切线的方程； (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线平行知切线斜率，利用导数几何意义构造方程求得切点坐标，进而得到所求切线方程； （2）设切点坐标，利用切线斜率构造方程可求得，进而得到切线方程. 【详解】（1）因为切线与直线平行，所以切线的斜率， 由，得导数， 由，得，则， 又，所以切点坐标为， 所求切线方程为，即. （2）设切点，则，即切线的斜率为， 切线方程为：， 将点代入可得，得， 此时切线方程为，即， 所求切线方程为： 1．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积. 【详解】函数，求导得，设切点为，则， 依题意，，解得，因此切点，切线斜率， 切线方程为，由得两直线交点，如图：    而切线与轴交于点，则， 所以所求三角形面积为. 故选：A 2．已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质求解. 【详解】 当时，， 所以， 故选：D． 3．设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于，对求导，依据切线斜率为切点处导数值，利用直线的斜率求得此时的点坐标，再用点到直线的距离公式求最小距离即可. 【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于， 设此时，，，则此时点处的切线斜率， 因为，所以，解得，，， 综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小， 最小距离为. 故选：B. 4．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 5．曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 6．（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，则函数在处无切线 B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．曲线在处的切线斜率为2，则 D．已知函数，则函数在点处的切线方程为 【答案】BCD 【分析】利用导数概念，函数在某点处的切线意义，即可判断各选项. 【详解】对于A，若，则函数在处的切线斜率为0，故选项A错误； 对于B，函数的切线与函数的图象可以有两个公共点， 例如函数，在处的切线为， 该切线与函数的图象还有一个公共点，故选项B正确； 对于C，因为曲线在处的切线斜率为2，所以， 又，故选项C正确； 对于D，因为函数的导函数，所以，又， 所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为， 化简得，故选项D正确. 故选：BCD. 7．（多选）设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，则（   ） A．的通项公式为 B．是递增数列 C．的最大项为1 D．的值为 【答案】BD 【分析】先求在点处的切线方程，令得即可判断A，比较 与0的大小即可判断BC，由累乘法即可判断D. 【详解】由得，切线方程为，令得，故A错误； 由，，即，故B正确； 由，故C错误； 由累乘法有，故D正确， 故选：BD． 8．（多选）设直线、分别是函数在点、处的切线，若，且、分别与轴相交于点、，则（   ） A． B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；由结合对数运算可判断B选项；求出两切线方程，可求出点、，结合平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用斜率公式可判断D选项； 【详解】不妨设，设，则， 由题意可知，， 若、，则，矛盾； 若、，则，矛盾. 所以，必有，所以，由， 可得，故A正确； 不恒为，故B错误； 由题意可得，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， ，， 所以，直线的方程为，即， 所以，点， 故，故C正确； 又，故D错误. 故选：AC. 9．已知曲线：，曲线在横坐标为的点处的切线与曲线的公共点除了切点外，是否还有其他的公共点？ 【答案】有 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再联立切线方程与曲线方程判断除切点外是否还有其他公共点. 【详解】对曲线求导得， 当时，切线斜率，切点坐标为， 由点斜式得切线方程，整理得. 联立切线与曲线方程  ，消去得， 因式分解得 ，解得根为（对应切点）和，对应另一个公共点， 因此，除切点外，还存在另一个公共点. 10．若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】(1)；； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 11．已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求，再根据导数的几何意义求函数的切线方程. （2）先把问题转化成在区间上有解，再结合基本不等式可求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，故.所以. 因为，. 所以函数在点处的切线方程为： ，即. （2）因为. 由，所以. 所以关于x的不等式在区间上有解，等价于在区间上有解. 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为：. 1．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足，且，则称为函数与的一个“点”．已知，． (1)若，，存在“点”，求的值； (2)对任意，是否存在实数，使得，存在“点”？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）设“S点”为，然后可得，然后解出即可； （2）假设对任意，存在实数，使得与有“S点”， 设为，然后可得，，消去得，然后可得，消去得，然后证明对任意，方程在有解即可. 【详解】（1）设“S点”为，，，， 所以，消去得， 记，显然在上是增函数，而， 因此只有一个解，所以． （2）假设对任意，存在实数，使得与有“S点”， 设为，， 所以①，②，由②得③， ①③消去得，，， ①③消去得，在时，， 下面证明对任意，方程在有解， 设，函数在定义域上是减函数， 时，， ，图像连续不断，所以存在使得． 综上，任意，存在实数，使得与有“S点” 2．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.    (1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值； (2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题： （i）求数列的通项公式，并将的长度用表示； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用导数求出曲线的切线方程，即可得r的2次近似值； （2）①先求出在点处的切线斜率为，可得切线方程，从而得，即可求得的表达式；由抛物线的定义可得；②利用进行放缩，结合等比数列的前n项和公式，可证命题. 【详解】（1）由得，则，又，得， 故在处的切线的方程为：， 令，得到，所以，得到， 所以，在处的切线的方程为：， 令，得到，故r的2次近似值为； （2）（i）由，得， ，则，，得， 同理：在点处的切线斜率为， ，将代入得， 所以或， 若，则重合，与题设矛盾，故舍去， 故，故数列是首项为，公比为的等比数列， 得到， 由抛物线的定义可得， 故； （ii）由题意得， 由（i）知， 得， 结合时，， 可得，故， 所以，将代入， 得 . 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $