重庆市南开中学校2026届高三下学期3月底质量检测（七）数学试题

重庆市南开中学高 2026 届高三年级质量检测（七） 数学试题 2026.3 注意事项: 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ,则在复平面内,复数 所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 ,若 ,则实数 A. -2 B. C. 1 D. 2 4. 设正实数 满足 ,则 的最小值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知 ,则 A. B. C. D. 6. 已知数列 满足 ,当 时, ,则数列 的最大项为 A. 第 2 项 B. 第 3 项 C. 第 4 项 D. 第 5 项 7. 过原点 作直线交圆 于 两点,弦 的中点为 ,则点 的轨迹长度为 A. B. C. D. 8. 已知定义在 上的函数 满足: 为偶函数,且 ,若 50,则正整数 的最小值为 A. 21 B. 25 C. 29 D. 33 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 成对数据 和 的一元线性回归模型为 ,依据模型可建立经验回归方程 +á,用回归方程可得到响应变量 的预测值及残差,残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果. 对下列四幅残差图的描述正确的是 A. 图甲显示残差的方差随观测时间变大而变大 B. 图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C. 图丙说明残差与观测时间有非线性关系, 应在模型中加入时间的非线性函数部分 D. 图丁说明残差与观测时间有线性相关性, 故满足一元线性回归模型对随机误差的假设 10. 在一个圆台形容器内放入一个球体, 该球恰与圆台的上、下底面及侧面相切, 轴截面如图所示. 设球心为 ,半径为 ,圆台的母线为 ,上、下底面的半径分别为 . 若已知 ,则 A. B. 圆台的侧面积为 C. D. 圆台体积的最大值为 11. 已知双曲线 的一条渐近线为 是双曲线 的左、右焦点,过 的动直线 与双曲线 的左支交于点 ,与右支交于点 ,点 均在 轴上方,设 与 的内切圆半径分别为 ,则 A. 双曲线 的离心率为 B. C. 若 ,则直线 的斜率为 D. 的取值范围是 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ， 的面积为 ，则 _____. 13. 若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为_____. 14. 已知 5 支球队两两之间都要进行一场比赛, 任意两支球队之间的比赛都没有平局, 则有且只有 2 支球队恰好获胜 3 场的情况种数为_____. (用数字作答) 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 . (1)求函数 的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知 ，若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同实根，求 的取值范围. 16. (本小题满分 15 分) 已知正方形 的边长为 ，将 沿 翻折至 ，如图，在二面角 内有一点 ， 满足 ,且 . (1)求证: 平面 ； (2)若二面角 大小为 ，求 与 所成角的余弦值. 17. (本小题满分 15 分) 某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警. 据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为 0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下: 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为 99% (灵敏度)； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为 5% (误报率). 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析. (1)求此次分析触发预警的概率； (2)记事件 为“此次分析触发预警”,事件 为“该用户确实患病”. (i) 求 ; (ii) 结合 (1) 和 (2) (i) 的结果,说明 与 在医学预警中的不同含义,并分析:若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 18. (本小题满分 17 分) 已知动点 分别在直线 和 上,且 为 的中点,记点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)设点 在曲线 上， ，且 的外心 在直线 上. (i) 若直线 过点 ,求直线 的方程; (ii) 求点 到直线 距离的最大值. 19. (本小题满分 17 分) 已知函数 . (1)证明: ； (2)已知数列 满足: ， ， . 记 . (i) 证明: ; (ii) 是否存在小于 的实数 ,使得 对任意的正整数 成立? 若存在,求 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 参考数据: 学科网（北京）股份有限公司 $高2026届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 3 4 5 7 8 10 11 选项 B B D A G G ABC BC ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B【解析】A=(-1,3),A∩B=11,2 2B【部行1：-2.一日+京，复数：所对城的点位于第象限 3.D【斛析】a+b=(3,4+t),3a-b=(5,12-t),由题知3(12-t)=5(4+),解得t=2. 46【保折1片+专=a+b(。+号-5+号，及5+2密耳-9，H仅当a=写吸学 5A【解析】设a+g=0,则cas0-日m(2a-君=m(20-月》=-cm20=1-2cs0=了 6C解a2a得a23时4.gC25-2-二1+ 7结合函数y=的图象知，4=3最大，义>1，枚第4质为最大项 礼一2 一2 7.C【解析】H圆的性质知(OPLP℃，故点P的轨迹是以OC为直径的圆位于圆C内部的一段圆弧， 以c为竹径的调5方花-子)+-号'-， 2 设此圆与圆C的两个交点为M、W,OC中点为D,则ICD川=1DM1=ICM1=1, ∠DC=牙∠MDv-则派y的张度为1-2 8.C【解析】hf(x)+fx+4)=0得fx+8)=-f(x+4)=f(x),f孔x)的周期为8， Hf(x+1)为偶函数知f代1-x）=f(1+x),故y=f代x)的图象关丁x=1对称， .f8)=f(0)=f2)=2,f4)=-f0)=-2,f(6)=-f(2)=-2, .f2)+2f4)+3f6)+4f(8)=0,5f10)+6f12)+7f14)+8f(16)=0,…, 22)-2550)-50,欧使名机21>50，必有>25， 而2机2)=22)=25×2+26x(-2)<0. 2航2)=2-25×2+26×(-2)+27×(-2)<022)=0， 三2)=29(58)=29×2>50，故n的最小值为29， 数学试题参考答案第1页{共8页) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.AB(【解析】详见选择性必修三教材第112页. 10.BG【解析】中过点作圆的切线段等K可知，1=a+b=1,所以A错误； 再由圆台侧面积公式(r,+r2)=(a+b)=T,所以B止确； 梯形屮，H勾股定理得，2=(a+b)2=(a-b)2+(2R)2,求得ab=,所以C正确； 圆台休：V=3m(2+2+)2R=3m(a+b2-d]·2a丽=3m1-ad]·2d, 令x=vae(0,),则V=3(1-2)2=号n(x-, 2 求导得-子m(1-3x)>0在0，})成立， .V(x),无最大值 1.AD【解ih女-，d-。+,阳c=号A止滴： 如图，设M为△AF,F2的内心，△AF,F2的内切圆与三边切于点P,Q,R, .2a=IAF I-IAF2I=(AQ+QF1)-(IARI +IRF2)=1QFI-IRF2I=IPFI-IPF21, IPF I IPF2I =2c, ..IPF I=c-a,IPr2=c+a, 设∠AF1F2=2∠MF1F2=2a,∠AF3F1=2∠MF2F1=2B, 万1=lMP|=F,P·tana=lPf2l·tnB,即i=(c-a)·tana=(c+a）·tanB, 由-ma=m,B正确； 8 1 。1 r1=(c-a）·tna=Sa·tna=5a,.tana=8, 竹线1的斜丰为m2a-C酷渊； 设N为△ABF2的内心，⊙N与△ABF2三边切于点I,J,K, 2a=IBFI-IBF2I=IBI1 +IIF1-IBJI -IJF2I=IIFI-IJF,I =IAI+IAFI-1J21=lAKI+AFI-IKF21, 又2a=IAF2I-IAF,I=|AKI+IKF2I-AF,I,两式州加得AKI=2a, AK=F=+B.INKI=IAKItn LNAK-2atm(a+B). 1=（c-a)·tan&=4.tan=4.tnc(1-tanctan B) r2 2atan(a+B)5 tan(a+B)5 tan a+tan B 代人lmB-号ama得，子-表9-41ano). r265 lan 2a= 。-号银程meea子…e若.D上喻 29 数学试题参考答案第2页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.√13 【解t析S-bnC,即，3-容ab6,ob=4, 由余弦定理，c2=a2+b2-2abc0G=a2+b2-a6=(a+6)2-3ah=25-12=13, 獬得，c=/13, 13.(-8,7) 【解析】求导得r()=（x-1)(3m-1-mx) e 若m=0()=)在(-，1)上单调递增，在(1，+x)上单活递减，符合要求： 若m≠0，令g(x）=(x-1)(3m-1-m,x1=1,x=3-1 当m<0时，x2>x,又因为g(x)是开口向上的抛物线，所以x=1是极大伯点； 当m>0时，内为g()是开口向下的抛物线，欲使x=1是极大值点，只需1>，解得0<m<2: .1 综上：m<2 14.360 【解析】从5支球队中选山两支球队甲、乙恰胜3场，由于甲乙之问存在胜负关系，故甲、乙的选法有 A种， 不妨设甲战胜了乙，甲还需战胜其余3支队伍巾的2支队伍，战有（利选择.这样，乙必然战胜其 余3支队伍.设甲没战胜的队伍是丙，由于是恰有两支球队获胜3场，所以除甲、乙、丙外的两支球 队至少有一文队伍战胜了丙，丙与另外两人的三场比赛共8种结果，减去丙全胜的2种，还有6种 情况.故所求的情况种数为360. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1fx)=sin2x+sin(2x+牙）=sin2x+ in co 2x-in …(3分) fx)的最小正周期为T=T;…(5分) 令2x+石=如，解得x=经，所以)的对称巾心坐标 为B0),ke .…(7分) 数学试题参考答案第3页{共8页) 2)-ij2a+-片 即2x+T=T+2T或2x+可=T+2,…(9分) 6-6 66 解得x=m或x=于+m,即-0= 3,=T,… (11分) 若方程划怜有2个解。 则呀≤m<m… …(13分) 16.(1)证明：取AC中点O,连接OP,OB',OD,H于PA=P℃，DA=DC,B'A=B'C,山等腰三角形三线合 一性可得P()⊥C,D(0⊥C,B(0L1C,…(2分) 义因为PO,D0C面POD,可得AGL面POD,从而AC LPD,… (4分) 问样的，又囚为D0,BOC面D0B,可得ACL面DOB,从而AC⊥BD,…(6分) 又因为PD,BDC面PB'D,可得CL平面PBD.…(7分) (2)解：由于正方形BD,所以OA=(O(=OD,又因为PA=PC=PD, 由(1)有P010A,所以P02=PA2-A02=PD-D02,从而有P010D,…(8分） 以O为原点，以OC,OD,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空问直布坐标系如图，·(9分) 由于二面布R'-AC-D的平面布为∠月0M=号T,由()可知PD.0,B共面， 又因为PB'=1可得P0=3, 所以P00(-1.0,0.D01.0)80,-2 ）,…(10分》 8上(0，-7，-)而=(1,1,0】，所求角的余弦为：…(12分 1 PBi.AD 2 √2 cos 0=1 4 (15分) PB·I4D11·V2 17.解：(1)事件B为“州户患病”，事件A为“分析触发预警” H题知：P(B)=0.005,P(B)=0.995,P(A|B)=0.99,P(A1B)=0.05. 由企概卒公式： P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB) (2分) =0.005×0.99+0.995×0.05=0.00495+0.04975=0.0547, 所以，触发预警的概率为0.0547.… (6分) 数学试题参考答案第4页{共8页) (2)()山叶斯公式： PB10_P(BP(AIB-000495=0.0905=9.059%,…(11分) P(A) 0.0547 所以，在预警条件下确实患病的概率约为9.05%. (i)含义解释： 由()P(B引A)≈9.05%，表示“在手坏报警的条件下H户确实患病”的概率，它衡量了预警结果的可 靠性，回答了“预警是不意味着真忠病”的个人风险问题； P(A|)=99%是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率，反映了该手环识别真 实病例的能力；…(I3分)》 决策参若分析：对收到预警的个人而言，P(B引A)≈9.O5%的参考价值更大、更白接. 迎由：该值从群体基础患病率(0.5%)显荠提升至9.05%，构成了明确的个人健康风险信号，H户 应结合白身症状，将此作为是个需要进一步医疗检查的关键依据.而P(A|B)=99%描述的是该手 环的整体件能，无法直接量化个人当前险，故对个人就诊决策的参考相对间接.·(15分)》 18解：1没4，号，.，号。.h题得(-产++户-8D。…(2分) 物=身+公 2 设H(少o),则 √2（无4-） 代人①得86+2号-8，即+=1， yo= 4 线C的方程为着+y2-1. (4分)》 (2)设直线PQ方程为出=ty+m,P(x1,y1）,Q(x2,y2), 得(2+4)y2+2y+m2-4=0,…(5分) 2+4032=22-4 H4>0得-m2+4>0,1+为=-2m 2t4 (7分) 由条件P巾重线方卷为：y-》-怎品(：-)3 2)即y=-+23 x-2y② 同理可行0的中垂线为：y=-西+2- 就一y3(③…(8分》 3y1y2(y2-Y1) 3y1y23(m-2） 联立②③消去y可得x=2(+2)y2-(+2)m厅2(m+2)2(+4), x=-7可得2+9m-10=0(*） (10分) 数学试题参考答案第5页{共8页) ()由N1,0),即m=1时，由()可得P=乃，直线P0的方得为=±， 2y+1;…(12分)》 --1+ 225-30,……(14分） r2t2+9m-10=0 由 可得：0≤2<32,1≤2+1<33， t2-m2+4>0 d号当1-0时时取龄大值 …(17分) 另解： 设外心T(-专a),到1，P,Q距离相等得： ,1、2 1 2 (+）+(01=a）=(t3)+(y2-0,… 化简得曾=+疗+导-2a+g=号+听+导-2+行 1 所以=4-4+7+3(，+m)-2， 则-3+3，-2ay+3m+号=0.同理-3号+子-2a+3m+号=0，…(8分) 2 4 1是-3y2+ 3-2ar+3m」 4 写m+3=0两根，…(9分） 有y5=m43(m+2】 t+4 =-一3一得2+9m-10=0(。)后同前面解法.…(10分) 19.解：(1)达一f(x）>2an台，。.>3ante>3in3 esin<1.(1分】 COS x t∈(0，万)，u(x)=3e(c0sx-s1nx), (3分) 令u()>0,得0<t<平令()<0，得程<<受 a(x)在(0，牙)上单调递增，在（牙，牙）上单调递减， 4(）<u(四）2，e≥8e>2,u(x)<u(4,……(⑤分 数学试题参考答案第6页{共8页) 法二：原不等式等价于e-3sinx>0,设()=6-3sinx,xa(0,牙)，…《1分) '(x)=e-3cosx,u(x)=e+sinx>0,'(x)在(0，)上单调递增， a'(0)=-2,w'(牙)=e,行在e(0,7)使得(xo）=0郎e=3c0s0, …(3分) u(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增， u(x)≥u(x）=e0-3 sin xo=3(cosx0-sinx), u(g=e-,。>e>7,>0, 4,cos >u(x)u)>0. ……(5分) 2)(i)H题tan8.+1=cos分 tan 0, e (1+A)sin 0-e Atan 0-tan 0=(+)n 0-cos= cos 0 故听证不等式等价于c.+(1+入)cos0.-(1+A)sin0,>0. 法-：设g(x)=6+(1+A)cs龙-(1+入)inx,x∈(0,7），即证g(x)>0,…(7分) ..g'(x)=e*-(1+)sin(1+cos &,g"(x)=e*-(1+)cos+(1+)sin x, g"(x）=e+(1+入)sinx+(1+)cos龙>0，… …(8分) g(x)在(0,7)上单调递增，g(牙)=2e>0,g(0)=-<0, 行在∈(0，罗)使得g()=0,g(x)在(0，》上单调递减，在(，受)上单调递塔. “g'(0)=-A<0,8'()=0,g'(x)<0,8(x)在(0，牙)上单调递减， g(x)>g(）=0。… (10分) 法二：所证不等式等价于(1+入)(sin0,.-c0s6n)e8n<1,…(7分) 设g(x)=(1+A)(sinx-cosx)e,xe(0,牙)，即证g(x)<1, g'(x)=2(1+入)e0sx>0,… (9分) g(x)在(0，牙)上单调递增，g(x)<g(牙）=1.… (10分) 数学试题参考答案第7页{共8页) (i)若存在a<入使得tan0.<a”,山(i)入tn0,.-tn0e+1<入+1可得 lan0mlan84+1入+l 入0+川入+开 tan 0n-1 tan 02 A2+1 2A2,其中m>,累和可得 tan Om-1 tan m+ m-1 A 1-1 (13分) 0+1六m品+1 由成<得an众票+1-)=（学”A+告0点， 对固定的，当m→+时，()0，。0，am8<A+ 入-1， …(15分) 牙一方面由(1)知tan0n+1=f代0n)>2tan6., .tan6n>2tan0。-1>22tan0a-2>…>2n-tan0, 但当a充分大时，2m>什矛盾， 故不行在小于A的常数a,使得tan0n<a”对任意的正整数n成立.…(I7分) 数学试题参考答案第8页{共8页)