精品解析：辽宁大连市第四十八中学2026届高三下学期校内二模数学试题

大连市第四十八中学2025~2026学年下学期高三校内二模 高三数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内. 第Ⅰ卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a+bi=，其中i是虚数单位，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 25 3. 函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. e 4. 已知直线，甲说：过，乙说：过，丙说：过，丁说：，若其中仅有一人判断错误，则此人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 某校举行数学文化节活动，准备从5名同学中选2人作为宣传员，则甲被选中的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若直线4kx-4y=(k-1)π与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则（ ） A. B. mπ C. 2mπ D. 4mπ 8. 已知，其中向量，是两个不共线向量，若的面积为6，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 对于的展开式，下列说法正确的有（ ） A. 有理项有3项 B. 第4项的系数为 C. 常数项为 D. 各项系数之和为 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 有无数条对称轴 B. 没有对称中心 C. 在有三个零点 D. 的最大值为1 11. 数学家称为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有（ ） A. B. 黄金椭圆离心率 C. 设直线OQ的倾斜角为θ，则 D. 交点Q坐标为(b,ωb) 第Ⅱ卷 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 12. 已知正项等差数列的前项和为，若，，则___________. 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴和直线y=x都相切，则满足要求的一个圆C的标准方程是___________. 14. 已知点D，E是边长为12的等边三角形△ABC的两边AB，AC的中点，沿DE折叠△ADE，使得二面角A-DE-B为60°，则四棱锥A-BCDE外接球的表面积为___________. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列{an}的前n项和为Sn，. （1）证明：数列{an-1}是等比数列； （2）设的前n项和为Tn，求Tn. 16. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值. （2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，. ①求的分布列及均值； ②求的均值取最大值时，正整数的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长. 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点. （1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) （2）若，求实数a的值. 19. 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试证明在上有且仅有三个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第四十八中学2025~2026学年下学期高三校内二模 高三数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内. 第Ⅰ卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的结论及包含关键判断． 【详解】因为，所以，所以 故选：D 2. 已知a+bi=，其中i是虚数单位，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘除法运算，化简求出实部虚部即可得解. 【详解】由题意可知 所以. 故选：C 3. 函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数几何意义可得在点处切线斜率，根据两直线垂直，斜率相乘得-1，即可求得答案. 【详解】，则在点处切线斜率， 因为与垂直的斜率， 所以，解得. 故选：A 4. 已知直线，甲说：过，乙说：过，丙说：过，丁说：，若其中仅有一人判断错误，则此人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】先分别就甲、乙、丙、丁分别正确时求出对应的条件，然后就甲、乙、丙、丁分别错误进行推导，由此可得出结论. 【详解】若甲正确，则；若乙正确，则；若丙正确，则；若丁正确，则. 若甲错，则，则乙、丙、丁正确，可得，，，合乎题意； 若乙错，则，则甲、丙、丁正确，可得，，但，矛盾； 若丙错，则，则甲、乙、丁正确，可得，，但，矛盾； 若丁错，则，则甲、乙、丙正确，可得，，但，矛盾. 综上所述，甲错. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查合情推理，解题的关键在于对四人谁错逐一进行分析，进行合情推理，观察结论是否错误，进而得出结论. 5. 某校举行数学文化节活动，准备从5名同学中选2人作为宣传员，则甲被选中的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型求解 【详解】 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断奇偶性，再考查时的函数值的正负，排除判断即可得解. 【详解】因为，所以为偶函数，排除A， 当有， 所以且， 则，排除BD， 故选：C 7. 已知函数，若直线4kx-4y=(k-1)π与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则（ ） A. B. mπ C. 2mπ D. 4mπ 【答案】A 【解析】 【分析】将直线和变形可得，直线与均关于点对称，根据对称性，即可求得答案. 【详解】由题意可知，直线变形为，， 易知直线与均关于点对称， 则. 故选：A 【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的对称性，两函数图象均关于点对称，则交点也对称，根据对称性的性质，即可求得答案，属中档题. 8. 已知，其中向量，是两个不共线向量，若的面积为6，则的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，设的中点分别为A，B，可得，则可得两三角形高之比，进而可得两三角形面积比，即可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 设的中点分别为A，B， 则， 所以， 设边上高为，边上高为， 因为，， 所以， 又， 所以，所以. 故选：D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 对于的展开式，下列说法正确的有（ ） A. 有理项有3项 B. 第4项的系数为 C. 常数项为 D. 各项系数之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式的展开式，分别根据二项式有理项、第项的系数、常数项、各项系数之和的性质进行判断即可. 【详解】因为， 所以有理项有项； 令，解得，所以第项为常数项，其系数为， 令，可得各项系数和为 故选：BC. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 有无数条对称轴 B. 没有对称中心 C. 在有三个零点 D. 的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的周期，验证函数为偶函数，即可知其有无数条对称轴可判断A；验证为对称中心可判断B；求出函数的零点可判断C；求出函数的最大值可判断D. 【详解】，为周期函数， 对于A，，为偶函数，关于y轴对称，由周期性知函数有无数条对称轴，故A正确； 对于B，，，，关于对称，故B错误； 对于C，当时，令，解得：，故C正确； 对于D，，令，则，，求导，令，得，可知当时函数单调递增，当时函数单调递减，当时函数单调递增，故可知当时，函数取得最大值1，故正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法： （1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值. 11. 数学家称为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有（ ） A. B. 黄金椭圆离心率 C. 设直线OQ的倾斜角为θ，则 D. 交点Q坐标为(b,ωb) 【答案】AC 【解析】 【分析】A：由方程的根可判断正误；B：由题设，根据椭圆参数关系及离心率即可判断正误；C：由圆的性质有且，，结合同角平方关系、倍角正弦公式可判断正误；D：由C易得Q点纵坐标为且，即可判断正误. 【详解】A：方程的一个根为，正确； B：由题意知，，则，错误； C：易知，且，则，所以，即，两边平方得，即，正确； D：由，结合知：Q点纵坐标为，而，错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据黄金椭圆、焦点圆定义及椭圆参数关系，计算离心率、夹角正弦值以及判断交点坐标. 第Ⅱ卷 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 12. 已知正项等差数列的前项和为，若，，则___________. 【答案】155 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可得解. 【详解】正项等差数列中， ，解得， 则，则， 所以. 故答案为：155 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴和直线y=x都相切，则满足要求的一个圆C的标准方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件求出直线的倾斜角为，进而求出点的坐标，即可得结论. 【详解】因为的倾斜角为，所以直线的倾斜角可以为，则可取， 此时圆的半径为1，对应的圆的方程为. 故答案为： 14. 已知点D，E是边长为12的等边三角形△ABC的两边AB，AC的中点，沿DE折叠△ADE，使得二面角A-DE-B为60°，则四棱锥A-BCDE外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系，确定球心的位置在中点的正上方，设坐标利用求解 【详解】以DE中点为原点，DE所在直线为y轴，垂直于DE为x轴，垂直于平面DECB为z轴建立如图所示建立空间坐标系，则 易知底面的外接圆圆心为中点， 所以球心在中点的正上方，设， 由，所以，解得， 所以，表面积. 故答案为： 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列{an}的前n项和为Sn，. （1）证明：数列{an-1}是等比数列； （2）设的前n项和为Tn，求Tn. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）得当时，，两式相减得再构造等比数列可证；（2）利用裂项相消求和 【详解】解：（1）由得， 由得当时，，两式相减得 即， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，所以； 由得 【点睛】数列求和的基本方法：等差等比公式法，错位相减法，裂项相消法（注意所剩项数），分组求和法 16. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值. （2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，. ①求的分布列及均值； ②求的均值取最大值时，正整数的值. 【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）①分布列答案见解析，；②的值为2. 【解析】 【分析】（1）可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望； （2）①可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列； ②利用基本不等式可求出. 【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2. ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （2）①由题意，知的可能取值为0，1，2. ，， ，所以的分布列为 0 1 2 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号. 所以取最大值时，的值为2. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结果； （2）以为原点，建立空间坐标系，设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出线面夹角，得到关于t的方程，求解即可. 【详解】（1）证明：在四棱锥中，平面平面，， 又平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直 角空间坐标系，设，则， 由，，，， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为，得， 取，则 设直线与平面所成角为，则有， 即，化简得：， 解得：或，即或. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角： 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点. （1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) （2）若，求实数a的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）设直线方程，与联立得韦达定理，选①向量坐标化得；选②，将斜率表示出来代入求值得定值0；选③：利用焦半径公式代入求值得定值3；（2）设，得直线，得，同理得，由整理得由的任意性得 【详解】解：（1）设过点的直线方程为，与联立消去得， 所以 ①. ②. ③. （2）设，则，所以， 即， 令，则，同理：， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 由点的任意性知，且，所以 【点睛】本题关键考查韦达定理的整体应用，注意设而不求的合理应用 19. 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试证明在上有且仅有三个零点. 【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间. （2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可. 【详解】， 令，则或. 时，，单调递增， 时，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 的单调递增区间是， 递减区间是. （2）， 因为，所以是的一个零点. 所以是偶函数， 即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可. ①当时， 令，即或. 时，单调递减， 且， 时，，单调递增， 且 在有唯一零点 ②当时，由于，. 而在单调递增， 所以恒成立，故在无零点， 所以在有一个零点， 由于是偶函数，所以在有一个零点，而， 综上在有且仅有三个零点. 【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $