专题04 平面向量（期中真题汇编，安徽专用）高一数学下学期

专题04 平面向量 3大高频考点概览 考点01平面向量数量积 考点02投影数量与向量 考点03平面向量运算及共线定理 地 城 考点01 平面向量数量积 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（    ）     A． B．1 C． D． 6．（24-25高一下·安徽·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 7．（24-25高一下·安徽·期中）已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知任意两个不共线向量、，，，，，则（   ） A． B．、、三点共线 C．若，则点为的中点 D．若，则 二、填空题 11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知正方形的边长为1，点满足，则______. 三、解答题 12．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在中，已知，点为边的中点，相交于点． (1)求； (2)求； (3)求． 13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知平行四边形中，，，，点为线段的中点. (1)设，，用，表示； (2)求； (3)点在线段上，，求的值. 14．（24-25高一下·安徽·期中）已知单位向量的夹角为，且向量. (1)求的值； (2)若与共线，求实数的值； (3)求. 地 城 考点02 投影数量与向量 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 三、解答题 6．（24-25高一下·安徽·期中）在直角坐标系中，已知点，，，点满足，， (1)求； (2)求在上的投影向量的坐标. 7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，四边形是圆的内接四边形，且，，． (1)求的大小； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 地 城 考点03 平面向量运算及共线定理 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角 C．若，则的值为 D．若，则 4．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽·期中）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知正八边形为正八边形的中心，其中，则下列命题正确的是（   ）． A． B． C．在上的投影向量为 D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4 9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D．与夹角的余弦值为 11．（安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，，，则的最小值为（    ） A．3 B．8 C． D．9 12．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 二、填空题 13．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知向量，则__________. 14．（24-25高一下·安徽·期中）已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是_____. 15．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，满足：，，．m，，则的最小值为__________． 三、解答题 16．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，， (1)若，求实数； (2)若，求实数. 17．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，在矩形中，点是线段上一动点（含端点），是上靠近点的三等分点. (1)设，求的值； (2)若，求的取值范围. 27 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量 3大高频考点概览 考点01平面向量数量积 考点02投影数量与向量 考点03平面向量运算及共线定理 地 城 考点01 平面向量数量积 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项，作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到；B选项，作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，，故，由欧拉线定理可知，，故C项正确；D选项，由余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而. 【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心， 可得， 所以，故A正确； B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图， 易知点分别是的中点， 则 ，故B项错误； C选项，因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 即，所以，则，故C项正确； 对D选项，作于，则为中点， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则 ，故D项错. 故选：AC 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作，利用向量的减法运算和数量积化简，将问题转化为求的最值，再利用正弦定理和三角函数范围即可求最值. 【详解】过点作，垂足分别为， 因为是外接圆的圆心，则为的中点， 则， 由正弦定理得， 等号当且仅当时成立， 则， 所以的最大值为. 故选：C 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意将两组向量中所有的排列可能全部列出，可得所有可能取值中的最小值，解方程可得结果. 【详解】设与的夹角为， 有以下3种可能： （1）； （2）； （3）， 易知（2）最小，则， 解得，由，得. 故选：A 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（    ）     A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，先证明，再根据正八边形的性质，求得的长和，利用向量数量积的定义即可求得. 【详解】 如图2，连接，因，，则， 因，故， 在中，因，则， 在中，，则， 由可得，则， 故 . 故选：C. 6．（24-25高一下·安徽·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据向量数量积的几何意义，结合给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再利用二次函数的值域求解即得. 【详解】∵ 是两个互相垂直的单位向量， ∴ 可令 ， 因为向量满足，，所以. 所以. 所以，当 时等号成立. 故选：B 7．（24-25高一下·安徽·期中）已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，两边平方，由向量数量积运算得，再由夹角公式求解. 【详解】因为，所以 ， 即，得 ， 设与的夹角为θ，则， 因为，所以 . 故选：C 8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积运算法则，分别求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量满足，，， 可得，， 所以. 故选：D. 9．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值. 【详解】如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形. 则四边形关于直线对称，故点在四边形的四条边上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可， 因为，易知，即，则， ①当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； ②当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； 综上，的最小值为， 故选：C . 10．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知任意两个不共线向量、，，，，，则（   ） A． B．、、三点共线 C．若，则点为的中点 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用共线向量的基本定理可判断B选项；分析可知，求出的值，可判断C选项；利用平面向量垂直的数量积表示可判断D选项. 【详解】对于A选项，， ， 所以，， 无法判断的符号，无法确定与的大小关系，A错； 对于B选项，由题意可得， ， 所以，，故、、三点共线，B对； 对于C选项，若为的中点，则， 因为，， 所以，，解得，C错； 对于D选项，若，则，故，D对. 故选：BD. 二、填空题 11．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知正方形的边长为1，点满足，则______. 【答案】/ 【分析】建立坐标系，求出点的坐标，利用模长公式可得答案. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点，，，，， 则，，因此，. 故答案为：    三、解答题 12．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在中，已知，点为边的中点，相交于点． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和已知条件，两边平方，利用向量的运算求得的长，然后根据向量关系求得； （2）建立直角坐标系，求出点的坐标，利用向量的夹角的坐标运算公式求； （3）根据三点共线得，通过向量线性运算，将用和表示，从而将表示成，最后利用共线向量定理得到，求出的值再根据模长和数量积的运算可得. 【详解】（1）， ∴，又∵，∴，∴． （2）如图，以为原点，直线为轴建立直角坐标系. 依题得到：，，，， 设点，由可得：， 即，解得：，所以， ，， 则，， 由． （3）三点共线，所以存在使得，， ， ， 又三点共线，所以，即． ， 所以 . 13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知平行四边形中，，，，点为线段的中点. (1)设，，用，表示； (2)求； (3)点在线段上，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则和向量数乘即可得到答案； （2）利用向量数量积公式即可计算； （3）设，.根据求出即可. 【详解】（1）； （2）， ， . . （3）设，， ， ， 解得，所以. 14．（24-25高一下·安徽·期中）已知单位向量的夹角为，且向量. (1)求的值； (2)若与共线，求实数的值； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由数量积定义计算即可； （2）由题意求出，，根据共线列式即可求； （3）利用平方的方法计算即可. 【详解】（1）由题意得，. . （2）由题意得，， ， 因为不共线，所以，解得. （3）由（2）得，， . 地 城 考点02 投影数量与向量 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果. 【详解】由，得， 由，得， 则， 因此在上的投影向量为． 故选：A． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以量，，， 则在向量上的投影向量为为. 故选：D. 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AB 【分析】ABC选项，由于，从而AB正确，C错误；D选项，利用投影向量求解公式得到D错误. 【详解】因为，所以， 在A中，因为，所以，故A正确； 在B中，因为，所以，故B正确； 在C中，因为，所以与的夹角为，故C错； 在D中，在方向上的投影向量为，故D错. 故选：AB 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义计算可得，进而可求夹角的大小. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 解得，所以，解得. 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【分析】根据投影向量的公式计算即可求解. 【详解】∵，，∴，，， ∴向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高一下·安徽·期中）在直角坐标系中，已知点，，，点满足，， (1)求； (2)求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将向量坐标代入已知式，求解方程组即得； （2）分别求出与的坐标，代入投影向量计算公式即可. 【详解】（1）由，，可得， 即，则有，解得， 故. （2）由（1）可得，因， 则，， 于是在上的投影向量为， 则在上的投影向量的坐标为，即. 7．（24-25高一下·安徽·期中）如图，四边形是圆的内接四边形，且，，． (1)求的大小； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理以及即可求出，再用余弦定理计算即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可； （3）过点作，过点作，则在方向上的投影向量为， 通过即可求数量积. 【详解】（1）连接，由题意知，，则， 在，中，由余弦定理得，，， 则，解得， 所以， 因为，所以． （2）由（1）可知，， 则四边形的面积为 ． （3）过点作，垂足，则为的中点，所以， 过点作，垂足，则， 故， 所以在方向上的投影向量为， 所以． 地 城 考点03 平面向量运算及共线定理 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得答案. 【详解】向量，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角 C．若，则的值为 D．若，则 【答案】AC 【分析】由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得且， 所以当且时与的夹角为锐角，故B错误； 对于C，因为，所以，解得，故C正确； 对于D，由题意得，. 因为，所以，解得， 当时，，， 此时，，，故D错误. 故选：AC. 4．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可求出向量的坐标. 【详解】因为向量，，则. 故选：B. 5．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：C. 6．（24-25高一下·安徽·期中）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律求出的等价条件，即可判断得出答案. 【详解】因为，. 所以. 综上所述，“”是“”的充分必要条件． 故选：C． 7．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】由题意得，， 因为，所以，解得. 故选：C. 8．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知正八边形为正八边形的中心，其中，则下列命题正确的是（   ）． A． B． C．在上的投影向量为 D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，正八边形的每条边所对的角均为，且中心到各个顶点的距离都是，由向量的数量积的运算公式，可得判定A错误；连接交于点，得到，集合向量的线性运算法则，可得判定B正确；根据投影向量的计算方法，可判定C正确；设向量与的夹角为，得到，由，得到点在线段上运动时，取得最大值，利用向量的数量积的运算法则，结合正弦的倍角公式，可判定D正确. 【详解】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为，且中心到各个顶点的距离都是， 对于A，由，所以A错误； 对于B，连接交于点，则为的中点，且， 由，所以B正确； 对于C，向量在上的投影向量为，所以C正确； 对于D，设向量与的夹角为，则， 其中表示在方向上的投影向量的模， 在正八边形中，可得，延长交与点， 当点在线段上运动时，向量在方向上的投影向量的模取得最大值，且数量积为正数， 又由为等腰直角三角形，且， 在直角中，， 在等腰中，， 则，所以D正确. 故选：BCD. 9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：建立平面直角坐标系，根据三角函数定义设，然后由平面向量的坐标运算表示出，结合三角恒等变换和三角函数性质即可得解；法二：取的中点为，中点为O，利用极化恒等式化简，结合图形可解. 【详解】方法1：由已知，弧是以为圆心，1为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ， 令，，则， 当时，，， ， 存在，使，即， 当时，的最小值为． 方法2：利用极化恒等式，取的中点为，则， ， 取中点为O，则：， 因为，所以， 当在弧上时，，当且仅当三点共线时取等号， 则 故选：A． 10．（24-25高一下·安徽·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D．与夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】根据向量的加法的坐标运算和模长公式可判断A；根据垂直的坐标运算可判断B；利用夹角余弦及向量共线计算判断C；利用向量坐标求模公式及求向量夹角公式即可判断选项D. 【详解】对于A，，则 ，故A正确； 对于B，因为 所以故B 正确； 对于C，，若与的夹角为锐角， 则得且与不共线（同向）， ，解得：且 则的取值范围为：，故C错误； 对于D，，， ，所以与夹角的余弦值为： ，故D正确. 故选：ABD. 11．（安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，，，则的最小值为（    ） A．3 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】 如图，因为点O是BC的中点，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8. 故选：B. 12．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案. 【详解】设，则由已知可得. 又 ， ， 所以联立得，. 所以 ． 故选：D. 二、填空题 13．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知向量，则__________. 【答案】5 【分析】根据向量模的坐标表示即可得到答案. 【详解】，则. 故答案为：5. 14．（24-25高一下·安徽·期中）已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是_____. 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件得出向量、、的坐标，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出的表达式，进而求出其最小值. 【详解】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系，不妨设，. 设， 已知，，可得：， ，所以. . 根据向量模的计算公式：可得： 因为，所以，则，当且仅当时取等号. 故答案为：. 15．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，满足：，，．m，，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】设，，转化条件为 ，数形结合即可求解.． 【详解】设则，，， 则点A,B分别在x,y轴上运动，点C在单位圆的第一象限（包含与坐标轴正半轴的交点）上，， ，，如图所示， 则， 分别作点C关于关于y轴、x轴的对称点,则均在圆上，为单位圆的直径， 所以， 所以， 当且仅当点A,B在线段上时，等号成立，此时， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 三、解答题 16．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，， (1)若，求实数； (2)若，求实数. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可； （2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】（1）， 由，得， 解得； （2）， 由，得， 解得或3. 17．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，在矩形中，点是线段上一动点（含端点），是上靠近点的三等分点. (1)设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量的线性运算即可； （2）转化为，再根据向量数量积运算律和定义计算得到，最后根据的范围即可得到其范围. 【详解】（1）由题意知， 则，则. （2） 因为，所以的取值范围是. . 27 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $