专题03 诱导公式及三角恒等变换（期中真题汇编，安徽专用）高一数学下学期

专题03 三角函数诱导公式及三角恒等变换 5大高频考点概览 考点01 弧度制 考点02 任意角定义 考点03三角函数的诱导公式 考点04两角和与差的公式 考点05 二倍角及辅助角公式 考点01 弧度制 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知扇形的半径为r，弧长为l，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：，，整理可得，代入结合二次函数运算求解. 【详解】由题意可知：，， 整理可得，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 二、填空题 2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正方体的棱长为1，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，若，则点在侧面内运动路径的长度______．    【答案】/ 【分析】确定点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求弧长即可. 【详解】取中点E，连EM，PE，如图，因是正方体的棱中点，    则PE//CD，而CD⊥平面，则有面，平面， 于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1， 因此，点M在侧面内运动路径是以E为圆心，1为半径的圆在正方形内的圆弧， 如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为.    故答案为： 3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是__________． 【答案】/ 【分析】利用弧度与角度之间的转化规则计算. 【详解】因，则. 故答案为： 考点02 任意角概念 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，点P与点Q重合 D．当点与点重合时，点的坐标可以为 【答案】ACD 【分析】根据任意角的定义求出运动秒后，点的坐标，则可判断ABC选项；D利用诱导公式化简，即可结合C选项判断. 【详解】运动秒后，点， 由题意可知，点的初始位置为， 则运动秒后， 则， 则时，，故A正确； 时，， 故B错误； 当时，， 即，故C正确； 因， 则由C选项可知，秒后点与点在点处重合，故D正确. 故选：ACD 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用三角函数线证明当时，即可判断AC，再由和诱导公式判断BD. 【详解】当时，， 在单位圆中，点，设，则， 过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T， 由，得， 设扇形的面积为， 由图知，即， 即， 对于AC，由，得，AC正确； 对于B，，得，则，B错误； 对于D，由，则， 则，D正确. 故选：B 3．（24-25高一下·安徽·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知式两边平方，可得，将所求式进行配方后，代入结论计算即得. 【详解】由两边取平方，可得，解得， 则. 考点03 三角函数的诱导公式 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由三角形的诱导公式对选项一一化简即可得出答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 二、解答题 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上． (1)若角终边上一点P的横坐标为，求和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：，结合任意角三角函数的定义运算求解； （2）由题意可知：，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 所以，. （2）由题意可知：， 所以. 3．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知点为角θ终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义求解即可； （2）根据诱导公式化简目标式子，结合（1）的数值求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，． （2）由诱导公式，可得， 所以原式． 考点03 两角和与差公式 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可. 【详解】因为，所以，且， 所以，， 又因为，所以， 则. 故选：C. 2．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可. 【详解】因为，所以，且， 所以，， 又因为，所以， 则. 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， ， 在中， ， ， 为线段上的一点，，且易得， . 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为. 故选：C 4．（24-25高一下·安徽·期中）已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（    ） A． B．外接圆面积的最大值为 C．的最小值为8 D． 【答案】BD 【分析】根据三角形的内角和及和差化积可计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、D；根据三角形三边的性质可判断选项C. 【详解】因为，所以， 因为，所以，则， 所以，即， 得，即，故A错误； 设外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以，则，故的外接圆面积的最大值为，故B正确； 因为，故D正确； 因为，所以，由上述结论可知，所以，故C错误. 故选：BD. 5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得， 所以， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 二、填空题 6．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为_____. 【答案】 【分析】利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值. 【详解】由 ， 可得. 故答案为：. 三、解答题 7.（24-25高一下·安徽·期中）已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到关于的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）先由二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式计算，结合角的范围即可得出答案. 【详解】（1）已知，且， 所以，解得：或， 因为，所以. （2）因为，所以， 又因为， 所以. 因为，，， 所以，所以. 8．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合两角和差的正弦公式化简可得出.结合角的范围，即可得出答案； （2）根据已知可设，则.根据余弦定理化简即可得出.然后根据等面积，代入化简求解得出的值，即可得出各边长，求出周长. 【详解】（1）因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. （2）在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）（ⅰ）由，平方进而可求解； （ⅱ）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得，， ， ， ， 又，得， 又，故. （2） （ⅰ）， ， 解得. . （ⅱ）， ，得， 又，即，，当且仅当，等号成立. . 10．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，，的平分线交于点，求线段的长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角； （2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得； （3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围 【详解】（1） 即 因 ，则，故，解得 . （2）由（1）已得 由为的平分线，可得 设，由可得 ， 即 解得 ，即. （3）      方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点， 当点在之间时， 为锐角三角形 ∴，即，因，则得，        的面积的取值范围为. 方法二：由正弦定理，可得 ∵均为锐角   解得 故 可得 故 又 ，的面积的取值范围为 11．（24-25高一下·安徽·期中）已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到关于的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）先由二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式计算，结合角的范围即可得出答案. 【详解】（1）已知，且， 所以，解得：或， 因为，所以. （2）因为，所以， 又因为， 所以. 因为，，， 所以，所以. 12．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若是的一条内角平分线，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角转化，再结合两角差正弦计算求解； （2）应用角平分线结合面积公式得出，再应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 即， 即， ， . （2）由题意得，， 由，得， 即，即， ①. 由余弦定理，得， 即②. 联立①②，得或（舍）， 的周长为. 13．（24-25高一下·安徽滁州·期中）记的内角的对边长分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，最后由两角和的正弦公式展开即可求解； （2）利用正弦定理得得，由余弦定理得，最后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 化简得， 因为，即，所以， 得，因为， 所以，又， 所以. （2）由正弦定理得， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 即， 所以， 所以的面积为. 考点04 二倍角及辅助角公式 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得，又， 则，于是， 由余弦定理得，解得，则， 而，则， 所以的面积. 故选：D 2．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数，则（   ） A． B．直线是曲线的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．存在，使得成立 【答案】AC 【分析】先利用三角恒等变换化简函数成余弦型函数，再根据选项内容逐一判断即可. 【详解】对于A， ，故 A 正确； 对于B，当 时 故B错误； 对于C，当 时 ， 因在上单调递增，则在上单调递增，故C正确； 对于D，若则是函数的一个周期， 因的最小正周期为π，所以 即 显然不存在整数，使得 ，故 D错误. 故选：AC. 二、填空题 3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围. 【详解】由余弦定理，和 可得 即，由正弦定理，（*）， 因 代入（*）化简得：，即， 因，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由 令，因函数 在上单调递增， 则，故的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．    (1)用表示PA的长度； (2)求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理列出关于的表达式，化简即可. （2）先求出，再根据三角形面积得到关于的表达式，利用二倍角和辅助角等公式化简，最后根据的取值范围即可求解. 【详解】（1）由，则，则， 在中，由正弦定理有，即， 化简，得. （2）由面积公式得， 由以上可得 ， 又，且，则，， ，则， 故的取值范围为. 5．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”. (1)若，证明：. (2)已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：. (3)在中，线段为的两条内角平分线，点分别在边上，，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据向量的“协方差”的定义即可证明； （2）根据向量的夹角公式即得，利用同角三角函数的基本关系得代入化简得即可得证； （3）由（2）得，由得，设，则，利用正弦定理求解，再根据同角三角函数的基本关系得，最后利用二倍角即可求解. 【详解】（1）证明：因为，由题意得， 所以，即， 因为为非零向量，所以. （2）因为， 所以， 同理， 因为， 所以. （3）因为， 所以， 所以， 设，则， 在中，由正弦定理，得，解得,由，，解得， 故， 所以. 6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为，当时，若，求的值； (2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由“相伴函数”定义和题设求得，利用同角的三角函数关系式求得，再利用拆角变换与差角公式计算即可； （2）将函数化成，由题意推得，化简可得，由代入化简得，利用双勾函数的单调性即得； （3）由题意先求出，作于点，利用三角形的外心性质与向量数量积的几何意义化简得，代入所求式，利用正弦定理将其化成，借助于三角函数的性质即得. 【详解】（1）依题意，， 由，可得， 因，则，故， 于是； （2）依题意，，其中，， 因函数在时取得最大值，则，解得， 即，则，， 由 ， 因，函数在上单调递减， 故当时，取得最小值，此时取得最小值为； （3）依题，则，因，则. 如图作于点，因点为的外心，则， 如图， ， 则， 由正弦定理，，则，则， 因，则当时，取得最大值为. 7．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解； （3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围. 【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； （3）由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，， (1)若，（）是关于的方程两根，其中， ①求A； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①根据一元二次方程根与系数关系，结合消元法、配方法、辅助角公式进行求解即可； ②根据费马点的性质，结合平面向量数量积的定义、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据二倍角的余弦公式、两角和差的正弦公式化简已知三角等式，再结合费马点的性质、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）①由题意得： ，是关于方程的方程的两个不等实根， ， ，由于，，故，均为锐角，，  ， 因为均为锐角，所以，而也为锐角， ， ； ②由①知，，则的三个角都小于，由费马点定义知：， 设，，，由得：   ，整理得， 所以． （2）由，得， 即，又，，则， 于是，整理得，即， 又，，有，则， ， 由点为的费马点，得， 设，，， （，，）， 由，得， 由余弦定理得， ， ， 相加得得， 整理得，于是，当且仅当，即时取等号， 又，因此，而，解得，所以实数的最小值为． 9．（24-25高一下·福建福州·月考）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解； （2）由已知可得，两边完全平方即可求解； （3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以； （2）因为D为中点，所以， 所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故； （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 10．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设． (1)用表示的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先用角表示的内角，再根据正弦定理表示，再根据三角形面积公式，结合三角恒等变换，即可求解； （2）根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，,, 中，，由正弦定理，， 所以，， ， 所以， （2），， ，所以当时，的最大值为1， 此时的最大值是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数诱导公式及三角恒等变换 5大高频考点概览 考点01 弧度制 考点02 任意角定义 考点03三角函数的诱导公式 考点04两角和与差的公式 考点05 二倍角及辅助角公式 考点01 弧度制 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知扇形的半径为r，弧长为l，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，正方体的棱长为1，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，若，则点在侧面内运动路径的长度______．    3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是__________． 考点02 任意角概念 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，点P与点Q重合 D．当点与点重合时，点的坐标可以为 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·安徽·期中）若，则（   ） A． B． C． D．. 考点03 三角函数的诱导公式 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上． (1)若角终边上一点P的横坐标为，求和； (2)求． 3．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知点为角θ终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 考点03 两角和与差公式 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（24-25高一下·安徽·期中）已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（    ） A． B．外接圆面积的最大值为 C．的最小值为8 D． 5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 二、填空题 6．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为_____. 三、解答题 7.（24-25高一下·安徽·期中）已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 8．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 10．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，，的平分线交于点，求线段的长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 11．（24-25高一下·安徽·期中）已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 12．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若是的一条内角平分线，，求的周长. 13．（24-25高一下·安徽滁州·期中）记的内角的对边长分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 考点04 二倍角及辅助角公式 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽·期中）已知函数，则（   ） A． B．直线是曲线的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．存在，使得成立 二、填空题 3．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 三、解答题 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．    (1)用表示PA的长度； (2)求的面积的取值范围． 5．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，满足，则称为这两个向量的“协方差”. (1)若，证明：. (2)已知向量的夹角为，向量的夹角为，且.证明：. (3)在中，线段为的两条内角平分线，点分别在边上，，且，求. 6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为，当时，若，求的值； (2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 7．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，， (1)若，（）是关于的方程两根，其中， ①求A； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 9．（24-25高一下·福建福州·月考）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 10．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设． (1)用表示的面积； (2)求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $