专题01 解三角形（期中真题汇编，安徽专用）高一数学下学期

专题01 解三角形 3大高频考点概览 考点01正弦定理解三角形 考点02余弦定理解三角形 考点03解三角形的面积 考点01 正弦定理解三角形 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度AB，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得“望淮塔”塔顶A的仰角为60°，则“望淮塔”高（   ） A． B． C． D．60m 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（    ）    A． B． C． D．   6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）的内角A，B，C的对边分别为，则下列命题正确的有（    ） A．若，，，则有唯一解 B．若，则， C．已知的外接圆的圆心为O，，，M为BC上一点，且有， D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 7．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则三角形有两解 C．若面积为，则. D．若，则一定为等腰直角三角形 8．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 9．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 二、填空题 10．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 11．（24-25高一下·安徽·期中）在中，，，求的最大值_________. 三、解答题 12．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求三角形周长的取值范围； (3)求三角形面积的最大值. 13．（24-25高一下·广东·月考）已知的内角所对的边分别是， (1)已知，求角和． (2)已知，解三角形． 14．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若是的一条内角平分线，，求的周长. 15．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 考点02 余弦定理解三角形 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 2．（24-25高一下·安徽池州·期中）已知三个内角的对应边分别为，且.则下列结论正确（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为 C． D．的取值范围为 3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，，则的外接圆的面积为 D．若是锐角，，则为锐角三角形 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为（    ） A．13 B． C．19 D． 二、填空题 6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若，设点为的费马点，则__________. 7．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，是正四面体棱，的中点，正四面体棱长为4，则异面直线，所成角的余弦值为_________． 三、解答题 8．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，已知，是边上一点，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的长. 9．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 考点03 解三角形的面积 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题错误的是（    ） A．用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台 B．若向量，的夹角为钝角，则 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．设点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为1：3 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，点O满足，，则的面积为________. 5．（24-25高一下·安徽池州·期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为__________. 6．（24-25高一下·安徽滁州·期中）有长度分别为的线段各1条，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的四边形，如图，，则组成的四边形面积的最大值为__________. 三、解答题 7．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设． (1)用表示的面积； (2)求的最大值． 8．（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 9．（24-25高一下·安徽滁州·期中）记的内角的对边长分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 10．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 11．（24-25高一下·安徽·期中）如图，四边形是圆的内接四边形，且，，． (1)求的大小； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 12．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，，的平分线交于点，求线段的长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．    (1)用表示PA的长度； (2)求的面积的取值范围． 35 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解三角形 3大高频考点概览 考点01正弦定理解三角形 考点02余弦定理解三角形 考点03解三角形的面积 考点01 正弦定理解三角形 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【分析】利用余弦函数的单调性可判断A；由正弦定理可判断B；分析的正负可判断C；由正弦定理、两角和的正弦展开式可判断D． 【详解】对于A，，函数在上单调递减， 所以，故A正确； 对于B，，由正弦定理可得，，故B错误； 对于C，， ，，为三角形的内角， 且三角形中最多只有一个钝角， ，可知，，均为锐角，得到为锐角三角形，故C正确； 对于D：，且， 所以由正弦定理可得， 又， 因此， ，，则或， 当时，三角形为等腰三角形， 当时，，三角形为直角三角形， 综上，三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度AB，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得“望淮塔”塔顶A的仰角为60°，则“望淮塔”高（   ） A． B． C． D．60m 【答案】C 【分析】在中由正弦定理求出，再解直角，就可以得到 【详解】在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 再在直角中，， 故选：C. 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中由正弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】在中，由正弦定理， 得， 在中，. 故选：A 5．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，求得，根据正弦定理即可求得，进而可求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理，得， 由题意得20， 在中，由余弦定理，得， 故两点之间的距离为. 故选：D.   6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）的内角A，B，C的对边分别为，则下列命题正确的有（    ） A．若，，，则有唯一解 B．若，则， C．已知的外接圆的圆心为O，，，M为BC上一点，且有， D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理即可判断A、B项；根据三角形外心的性质分别得到，将用基底表示，再计算，即可判断C项；先由正弦定理进行边角互化，求得，设，则由余弦定理，求出和，利用正弦定理求得，再利用三角形等面积求得，最后作比即可. 【详解】对于A，由正弦定理，，可得，因，故角有两解，故A错误； 对于B，由，可得，由正弦定理，，因，故得， 又因为，因函数在上单调递减，故，即B正确； 对于C，如图，因的外接圆的圆心为O，则， 同理可得， 又因， 故，故C正确； 对于D，因，由正弦定理，， 设，由余弦定理，， 因，则， 又由正弦定理，，即， 又且， 故得，故，即D正确. 故选：BCD . 7．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则三角形有两解 C．若面积为，则. D．若，则一定为等腰直角三角形 【答案】AC 【分析】对于A：利用正弦定理化简即可；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：利用面积公式和余弦定理化简即可；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：因为，则，所以，故A正确； 对于选项B：由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以三角形有一解，故B错误； 对于选项C：因为，则，可得， 且，所以，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可得，符合题意， 但为等边三角形，故D错误； 故选：AC. 8．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 【答案】C 【分析】由题意结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即， 于是得，解得，显然9适合题意， 故选：C. 9．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项，作出辅助线，得到=+，由向量数量积公式得到；B选项，作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，，故++=3，由欧拉线定理可知，，故C项正确；D选项，由余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而. 【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心， 可得， 所以，故A正确； B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图， 易知点分别是的中点， 则 ，故B项错误； C选项，因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 即，所以，则，故C项正确； 对D选项，作于，则为中点， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则 ，故D项错. 故选：AC 二、填空题 10．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围. 【详解】由余弦定理，和 可得 即，由正弦定理，（*）， 因 代入（*）化简得：，即， 因，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由 令，因函数 在上单调递增， 则，故的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高一下·安徽·期中）在中，，，求的最大值_________. 【答案】 【分析】首先利用正弦定理求出与关于角、的表达式，然后将转化为只含有角的三角函数表达式，再利用三角函数的性质求出最大值. 【详解】已知在中，，，因为，所以，可得；，可得. 因为三角形内角和为，所以. 则. 把代入上式得：. . 所以 . 对于，根据辅助角公式， 所以，. 则. 因为正弦函数的值域是，所以的最大值为，即. 故答案为： 三、解答题 12．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求三角形周长的取值范围； (3)求三角形面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可； （3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）由正弦定理：， 则， 所以，根据得：. （2）由正弦定理：，所以， ， 注意到，所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. （3）余弦定理：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 13．（24-25高一下·广东·月考）已知的内角所对的边分别是， (1)已知，求角和． (2)已知，解三角形． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）由余弦定理求出角，由正弦定理求出； （2）由三角形内角和求，利用和角公式求得的值，再由正弦定理求出即可. 【详解】（1）由余弦定理，， 因为，所以． 由正弦定理，，可得． （2）已知，，则． 由正弦定理，可得． 又 ， 再由正弦定理，可得． 综上，，，． 14．（24-25高一下·安徽·期中）记的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若是的一条内角平分线，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角转化，再结合两角差正弦计算求解； （2）应用角平分线结合面积公式得出，再应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 即， 即， ， . （2）由题意得，， 由，得， 即，即， ①. 由余弦定理，得， 即②. 联立①②，得或（舍）， 的周长为. 15．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解； （3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围. 【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； （3）由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 考点02 余弦定理解三角形 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得. 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽池州·期中）已知三个内角的对应边分别为，且.则下列结论正确（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为 C． D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围. 【详解】由余弦定理得：，解得：， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 所以，故，故A正确； ， 其中由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以， 故最大值为， ， 所以的最大值为，故B错误； ，故C正确； ， 因为，所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，，则的外接圆的面积为 D．若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】BD 【分析】A利用范围结合三角函数可得；B利用正弦定理化简，再利用余弦定理即可求得为钝角；C利用正弦定理得出外接圆半径即可；D利用以及在上单调递增，可求出. 【详解】因，则， 若，则或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故A错误； 若，结合正弦定理可得， 由余弦定理得， 又，所以为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 设的外接圆的半径为， 因为，，则由正弦定理可得，即， 所以的外接圆的面积为，故C错误； 若，则， 又，得， 因为函数在上单调递增，所以，即， 所以，所以为锐角三角形，故D正确． 故选：BD． 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得， 所以， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为（    ） A．13 B． C．19 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理代入求解即可. 【详解】由余弦定理得， 故. 故选：B 二、填空题 6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若，设点为的费马点，则__________. 【答案】 【分析】先由正弦定理角化边和余弦定理得到，再由费马点定义结合三角形的面积公式和向量数量积的定义式计算可得. 【详解】由正弦定理得，即， 所以， 又，所以， 故的三个角都小于，由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则. 故答案为：. 7．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，是正四面体棱，的中点，正四面体棱长为4，则异面直线，所成角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义找到异面直线的夹角，结合正四面体的性质、三角形中位线的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】如图，取中点，连接，，由是的中点， 可得是的中位线，结合中位线定理得， 因为是的中点，所以， 则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4， 由是的中点，得，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 三、解答题 8．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在中，已知，是边上一点，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，直接利用余弦定理，即可求得的值； （2）由（1）得到，求得，在中，利用正弦定理，即可求得的长； （3）在中，求得，再由正弦定理，求得，进而求得的长. 【详解】（1）解：在中，， 由余弦定理，可得. （2）解：由（1）知：， 因为，所以，所以. 在中，， 由正弦定理，可得. （3）解：在中，， 所以， 在中，由正弦定理， 可得， 所以. 9．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合两角和差的正弦公式化简可得出.结合角的范围，即可得出答案； （2）根据已知可设，则.根据余弦定理化简即可得出.然后根据等面积，代入化简求解得出的值，即可得出各边长，求出周长. 【详解】（1）因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. （2）在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 考点03 解三角形的面积 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题错误的是（    ） A．用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台 B．若向量，的夹角为钝角，则 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．设点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为1：3 【答案】AB 【分析】由棱台的概念可判断A，由向量夹角与数量积的关系可判断B，由正弦定理可判断C，设设，，得到为的重心，进而可判断D. 【详解】A.用平行于棱锥底面得平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台，故A错误； B.若向量，的夹角为钝角，则，且，解得且，故B错误； C.若，，且有两解，则，即的取值范围是，故C正确. D.设，， 由得， 则为的重心， 设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，，故D正确. 故选：AB 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得，又， 则，于是， 由余弦定理得，解得，则， 而，则， 所以的面积. 故选：D 3．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：D. 二、填空题 4．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，点O满足，，则的面积为________. 【答案】 【分析】利用题设，求得，推得点为的重心，从而得到，两边取平方后，代入已知，解得，求出的面积，即可求出的面积. 【详解】由和正弦定理、余弦定理， 可得，即，因，则， 由，可知点为的重心，设分别为与和与的交点，如图所示， ，故， 两边取平方，， 因，，则得，解得. 故的面积为：， 因为的面积是的面积的3倍，故的面积是. 故答案为：. 5．（24-25高一下·安徽池州·期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为__________. 【答案】3 【分析】根据题意，结合余弦定理得，，利用基本不等式得，再根据公式求解 【详解】因为， 又，则， 所以（当且仅当时取等号）. 则， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·安徽滁州·期中）有长度分别为的线段各1条，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的四边形，如图，，则组成的四边形面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】由余弦定理可得，利用三角形面积公式可得四边形面积的表达式，利用三角恒等变换及三角函数的性质可求面积的最大值.. 【详解】连接，由余弦定理知， ，. 又 . 又. 故 ，当且仅当时等号成立， 故四边形面积的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25高一下·安徽淮南·期中）某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，．设． (1)用表示的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先用角表示的内角，再根据正弦定理表示，再根据三角形面积公式，结合三角恒等变换，即可求解； （2）根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，,, 中，，由正弦定理，， 所以，， ， 所以， （2），， ，所以当时，的最大值为1， 此时的最大值是. 8．（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据余弦定理结合已知得出.进而在以及中，根据余弦定理可推得，求解得出，进而求出，代入面积公式即可得出答案； （2）设，在中，多次使用余弦定理可得出，.然后表示出的面积，化简得出，结合角的取值以及正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）在中，有，，， 由余弦定理可得， ， 所以，. 又易知，则. 设，则， 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 所以有， 所以，， 此时 （2）不妨设， 在中，由余弦定理得. 由正弦定理可得， 整理可得. 又， 所以有， 化简可得. 则 . 又，所以， 所以，当，即时该式取最大值， 所以. 9．（24-25高一下·安徽滁州·期中）记的内角的对边长分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，最后由两角和的正弦公式展开即可求解； （2）利用正弦定理得得，由余弦定理得，最后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 化简得， 因为，即，所以， 得，因为， 所以，又， 所以. （2）由正弦定理得， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 即， 所以， 所以的面积为. 10．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）（ⅰ）由，平方进而可求解； （ⅱ）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得，， ， ， ， 又，得， 又，故. （2） （ⅰ）， ， 解得. . （ⅱ）， ，得， 又，即，，当且仅当，等号成立. . 11．（24-25高一下·安徽·期中）如图，四边形是圆的内接四边形，且，，． (1)求的大小； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理以及即可求出，再用余弦定理计算即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可； （3）过点作，过点作，则在方向上的投影向量为， 通过.即可求数量积. 【详解】（1）连接，由题意知，，则， 在，中，由余弦定理得，，， 则，解得， 所以， 因为，所以． （2）由（1）可知，， 则四边形的面积为 ． （3）过点作，垂足，则为的中点，所以， 过点作，垂足，则， 故， 所以在方向上的投影向量为=- ， 所以.=-3． 12．（24-25高一下·安徽·期中）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，，的平分线交于点，求线段的长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角； （2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得； （3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围 【详解】（1） 即 因 ，则，故，解得 . （2）由（1）已得 由为的平分线，可得 设，由可得 ， 即 解得 ，即. （3）      方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点， 当点在之间时， 为锐角三角形 ∴，即，因，则得，        的面积的取值范围为. 方法二：由正弦定理，可得 ∵均为锐角   解得 故 可得 故 又 ，的面积的取值范围为 13．（24-25高一下·安徽合肥·期中）如图，P是边长为2的正三角形所在平面上一点（点，，，逆时针排列），且满足，记．    (1)用表示PA的长度； (2)求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理列出关于的表达式，化简即可. （2）先求出，再根据三角形面积得到关于的表达式，利用二倍角和辅助角等公式化简，最后根据的取值范围即可求解. 【详解】（1）由，则，则， 在中，由正弦定理有，即， 化简，得. （2）由面积公式得， 由以上可得 ， 又，且，则，， ，则， 故的取值范围为. 35 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $