专题07 复数（期中真题汇编，安徽专用）高一数学下学期

专题07 复数 3大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的运算 考点03复数的几何意义 地 城 考点01 复数的概念 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解. 【详解】， 所以的共轭复数为. 故选：. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，则（    ） A． B．复数，则 C．复数在复平面内所对应的点位于第一象限 D．复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】CD 【分析】根据复数的概念和性质、四则运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，复数不能比大小，B错误； 对于C，复数在复平面内对应的点是，位于第一象限，C正确； 对于D，方程，其中， 方程的两根为，D正确. 故选：CD 3．（24-25高一下·浙江·期中）设复数为，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由共轭复数的定义，复数的模及复数的运算逐项求解判断. 【详解】对于A，，又，所以，故A正确； 对于B，，又，故B错误； 对于C，，又，故C错误； 对于D，因为，又，故D正确. 故选：AD. 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．若，是复数，则 C．若，是复数，，则 D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面 【答案】BD 【分析】根据复数的概念，可判定A错误；设复数，根据复数的运算法则，求得和，可得判定B正确；由，得到，由，可得判定C错误；根据复数模的几何意义，可判定D正确. 【详解】对于A中，根据复数的概念，可得复数的虚部为，所以A错误； 对于B中，设复数， 可得 因为，所以，所以B正确； 对于C中，设复数， 可得，， 则，， 若，则， 又由，不能推出，所以C错误； 对于D中，复平面内满足条件的复数对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，所以D正确. 故选：BD. 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】通过共轭复数的概念得到共轭复数，进而可求解. 【详解】因为，即对应的点， 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为复数，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的相关概念求出复数的实部和虚部，进而求出的模. 【详解】设，由为纯虚数，为实数， 得，，所以. 故选：A 7．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和相等或相反向量 D．若，则 【答案】AC 【分析】举反例即可说明A，C错误；对于B，只有，才有；对于D，只有，才有，由比判断D. 【详解】对于A，若，，则满足，但此时，故A错误； 对于B，，若，则故B正确； 对于C，若，则满足，此时， 同理，此时和即不是相等何量，也不是相反向量，故C错洖； 对于D，故，此时，故，故D正确. 故选：AC． 8．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】对于A令即可判断，对于B设，计算，求即可判断，对于C令，则，但复数不能比较大小，对于D设，计算和即可判断. 【详解】对于A，令，则，不满足，故A错误； 对于B，设，若，则，所以，即，故B正确； 对于C，令，则不是实数，不能比较大小，故C错误； 对于D，设， 易知， 又，所以，故D正确. 故选：BD. 二、填空题 9．（24-25高一下·安徽池州·期中）若实数满足，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【分析】用复数相等来计算即可. 【详解】由，可得，解得， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是__. 【答案】 【分析】解不等式可求数a的取值范围. 【详解】由复数z的虚部大于0，得 ，解得 故答案为： 【答案】 【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得 . 故答案为： 11．（22-23高一下·河北承德·月考）已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则=______. 【答案】 【分析】根据题意先求出复数，然后代入中计算即可. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 三、解答题 13．（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共轭复数定义可知，再由纯虚数定义可知. （2）将代入，利用复数的除法法则求得，可求. 【详解】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； （2）， 所以. 14．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，其共轭复数为，为实数. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）根据共轭复数的概念代入计算得，最后利用复数的乘方运算即可得到答案； （2）根据共轭复数的概念和复数的乘法运算即可得到方程，解出即可. 【详解】（1），所以. （2），解得或. 15．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 (1)求a； (2)若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列出方程，结合点所在象限可得答案； （2）根据根与系数的关系可求答案. 【详解】（1）由题意知复数z在复平面内对应的点为， 因为点Z在第一象限，所以， 由，得， 即 则 所以. （2）由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根，可知是 的另一个复数根， 因此，解得.    所以 16．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． （2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，再结合复数的模的运算法则即可求解． 【详解】（1）设， 则， 所以，解得， 故. （2）是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得， . 17．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数，则为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的求法即可求解. 【详解】， 故选：D. 地 城 考点02 复数的运算 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【分析】根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据已知得到、，进而求. 【详解】令，，则， 所以，且， 所以，可得，故， 所以. 故选：B 3．（24-25高一下·安徽·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，即可求出. 【详解】， 则. 故选：D. 4．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数 则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】化简复数，再根据求复数的模的公式即可得解. 【详解】因为 所以 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽·期中）若复数，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简得出，进而求解，计算即可得出答案. 【详解】由已知可得， 所以， 则. 故选：A． 7．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数的概念即可得解． 【详解】依题意，，则， 所以的虚部为． 故选：A． 二、解答题 8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，（，是虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先利用复数的除法运算化简，求出，进而可得； （2）把根代入方程，利用复数相等可求答案. 【详解】（1）， ∵是纯虚数，∴，且， 解得，； （2）依题意，，， 即且， 即或. 9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心. (1)求； (2)记的内角的对边分别为，且. ①判断的形状，并说明理由； ②求的面积. 【答案】(1)1 (2)①直角三角形，理由见解析；② 【分析】（1）利用三角形的外心特点得到，结合复数的运算性质可得结果. （2）①利用降幂公式和余弦定理推得，即可得到结果； ②设，则得，可得与复平面的实轴垂直，与复平面的虚轴垂直，求出的值，得到的长，即可求的面积. 【详解】（1）点是的外心，，即， 由，得， 在第一象限，，故. （2）①， ， . 由余弦定理知，两式相加可得， ，故是直角三角形. ②设，则，， ， 与复平面的实轴垂直， 由①得，，则与复平面的虚轴垂直，， 在第一象限，，故， ， . ， ， 的面积为. 地 城 考点03 复数的几何意义 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）下列关于复数的说法中，正确的是（   ） A．若复数满足满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 B．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等 C．若，则为实数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】设，化简结合已知以及复数的几何意义可得出A项；举例即可判断B项；设，，代入化简即可判断C项；求解得出的所有复数根，逐个验证即可判断D项. 【详解】对于A项，设， 则，， 所以有，. 因为，所以有， 整理化简可得，由复数几何意义知，复数在复平面对应的点在直线上，A正确； 对于B，当时，为纯虚数，其实部和虚部不相等，故B错误； 对于C，设，，则， 则，故C正确； 对于D，因为，所以，即，解得或. 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，，故D正确． 故选：ACD. 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化简复数，进而求得，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，则， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（    ） A． B．点的集合是圆 C． D． 【答案】BCD 【分析】结合题意，通过取反例排除A项；由复数的几何意义可判断B项；设（），利用复数的乘法运算可判断C项；根据复数的几何意义，结合两向量差的模的性质即可推得D项. 【详解】对于A，设 符合题意，但，故A错误； 对于B，由，可得对应的点的轨迹是圆，故B正确； 对于C，设（），由可得， 则，故C正确； 对于D，设复数对应的向量分别为，则， 因，故得，即D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，为实数，则（    ） A．可能为实数 B．可能为纯虚数 C．若在复平面内所对应的点在第三象限，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的乘法求出复数，分别从复数的组成，几何意义以及模长定义，逐一判断各选项即得. 【详解】因. 对于A，当时，，故A正确； 对于B，因，且，故不可能为纯虚数，即B错误； 对于C，因复数在复平面内所对应的点的坐标为，依题意，，故C正确； 对于D，由，可得，化简得，解得，故D正确. 故选：ACD. 二、填空题 5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义列出不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由题意，复数对应的点在第二象限，需满足： 解得且，故的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设是复数且，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离. 由图可知，. 故答案为：. 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 复数 3大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的运算 考点03复数的几何意义 地 城 考点01 复数的概念 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，则（    ） A． B．复数，则 C．复数在复平面内所对应的点位于第一象限 D．复数是方程在复数范围内的一个解 3．（24-25高一下·浙江·期中）设复数为，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）下列命题正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．若，是复数，则 C．若，是复数，，则 D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25高一下·安徽·期中）已知为复数，为纯虚数，为实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 7．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和相等或相反向量 D．若，则 8．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 二、填空题 9．（24-25高一下·安徽池州·期中）若实数满足，其中为虚数单位，则__________. 10．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是__. 11．（22-23高一下·河北承德·月考）已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则=______. 12．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 三、解答题 13．（24-25高一下·安徽池州·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； 14．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，其共轭复数为，为实数. (1)若，求； (2)若，求的值. 15．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 (1)求a； (2)若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 16．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 17．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数，则为（    ） A．1 B．2 C． D． 地 城 考点02 复数的运算 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数 则（    ） A． B．1 C． D．2 5．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．（24-25高一下·安徽·期中）若复数，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 7．（24-25高一下·安徽安庆·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数，（，是虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值. 9．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心. (1)求； (2)记的内角的对边分别为，且. ①判断的形状，并说明理由； ②求的面积. 地 城 考点03 复数的几何意义 一、选择题 1．（24-25高一下·安徽·期中）下列关于复数的说法中，正确的是（   ） A．若复数满足满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 B．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等 C．若，则为实数 D．若，则 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·安徽·期中）已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（    ） A． B．点的集合是圆 C． D． 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知，其中为虚数单位，为实数，则（    ） A．可能为实数 B．可能为纯虚数 C．若在复平面内所对应的点在第三象限，则 D．若，则 二、填空题 5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 6．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设是复数且，则的最大值为______． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $