专项3 四边形-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

铺路卷 湾之旅 ZBR·八年级数学下 炒为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（三） 四边形 题型一 四边形的性质与判定 1.已知：如图，平行四边形ABCD中，E,F分别是边AB,CD的 中点 (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若AD=AE=2,∠A=60°，求四边形EBFD的周长. 编 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O,分别过点B, C作BE∥AC,CE∥BD,BE与CE交于点E. (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)当∠ABD=60°，AD=2√5时，求菱形ABCD的面积. 爵 D 指 3.如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边 AB,CD,DA上，连接CF. (1)求证：∠HEA=∠CGF; (2)当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形. D 题型二探究线段间的和、差、相等关系 4.在△ABC中，AB=AC,点D在BC边所在的直线上，过点D作DE ∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点F. (1)当点D在BC边上时，如图1，求证DE+DF=AC; (2)当点D在BC边的延长线上时，如图2；当点D在BC边反向 延长线上时，如图3，请分别写出图2、图3中DE,DF,AC之间的 数量关系，不需要证明； (3)若AC=6,DE=2,则DF= 图1 图2 图3 5.【操作发现】 (1)如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折 叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点 G.猜想线段GF与GC的数量关系是 【类比探究】 (2)如图2，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不 变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，将(1)中的矩形ABCD改为正方形，边长AB=8,其 他条件不变，求线段GC的长. D B B4---- 图1 图2 图3 THE ROAD TO 题型三採究条件问题 6.如图，△ABC为等边三角形，D,F分别为BC,AB上的点，且CD =BF. (1)求证：△ACD≌△CBF: (2)以AD为边作等边三角形△ADE,点D在线段BC上的何处 时，四边形CDEF是平行四边形. 。23· 7.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠， 点A的对应点为点F: (1)如图1，当点F恰好落在BC边上时，判断四边形ABFE的形 状，并说明理由， (2)如图2，当点F在矩形ABCD内部时，延长BF交DC边于点 G.①试探究线段BG,AB,DG之间的数量关系，并说明理由. ②当G点分CD边的比为1：3时，试探究矩形ABCD的边长AD 和AB之间的数量关系，并说明理由. 4------ E 图1 图2 题型四探究动点问题 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10,过点A作AD BC,且点D在点A的右侧，点P从点A出发沿射线AD方向以 每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方 向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E,使得QE= 2,连接PE,设点P的运动时间为t秒 (1)若PE⊥BC,求BQ的长. (2)请问是否存在t的值，使以A,B,E,P为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。 。24 9.已知，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线 EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O. (1)如图1，连接AF,CE,求证四边形AFCE为菱形，并求AF 的长； (2)如图2，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q 自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm, 设运动时间为t秒 ①问在运动的过程中，以A,P,C,Q四点为顶点的四边形有可能 是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可 能，请说明理由； ②若点Q的速度为每秒0.8cm,当A,P,C,Q四点为顶点的四 边形是平行四边形时，求t的值， 图1 图2 10.如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线 段A0上（不与点A,O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且 PE交边CD于点E. (1)求证：PE=PB; (2)如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于 点F,在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不 易错 分析 变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由； (3)用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系，并说明 理由. 图1 图2 做题 心得 题型五四边形中的翻折问题 11.如图，在口ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC 的延长线上的点E处.若∠B=60°，AB=1,则口ABCD的周长 为() A.4 B.5 C.6 D.7 C D 20° D B C 第11题图 第12题图 12.如图，已知矩形ABCD,将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的 对应点为C,若∠ADC'=20°，则∠BDC的度数为() A.55° B.50° C.60° D.65°(2)1 =√n+1-√n; √n+1+n (3)原式=1+√2-1+√5-√2+…+√2023-√2022= √/2023. 追梦专项总结突破卷（二） 1.C 2.A【解析】设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x. D是BC的中点，.BD=3,在Rt△NBD中，x2+32=(9 x)2,解得x=4.即BW=4.故选A. 3.B【解析】：四边形ABCD为矩形，AB=8,.LB=∠C =∠D=90°，AD=BC,CD=AB=8.DE=5,∴.CE=CD- DE=3..:矩形ABCD沿AE所在直线折叠，.AF=AD, EF=DE=5,在Rt△CEF中，CF=√52-32=4，设BF=x, 则AF=x+4,在Rt△ABF中，AB2+BF=AF2,即82+x2=(x +4)2,解得x=6,.AD=AF=x+4=10.故选B. 4.C 【解析】根据折叠可知：△DCP≌△DEP,.DC=DE I∠EOF=∠BOP =4,CP=EP.在△0EF和△OBP中，∠E=∠B=90°，∴ OF=OP △OEF≌△OBP(AAS),∴.OE=OB,EF=BP,.BF=EP= CP,设BF=EP=CP=x,则AF=4-x,BP=3-x=EF,DF=x +1,∠A=90°，.Rt△ADF中，AF2+AD2=DF,即(4- )+3=(x+1),解得=2 Fs12 5 6⑥ 2 【解析】连接BM:四边形ABCD为正方形，AB= 4,∠A=∠D=90°，AD=CD=AB=4.:,点E是CD边的 中点，.DE=2,设AM=x,则DM=4-x,BM2=4+x2, ME2=22+(4-x)2,由折叠性质可得BM=ME,.42+x2= 22+(4-x)2,解得x= 2 DM=AD-AM=7. 2·ME= DMP+DE-65 2 7.解：(1)四边形ABCD为长方形，∴.AD=BC,∠B=90° AB=DC,由折叠，得AD=AF,DE=EF..AF=10cm.又. AB=8cm,在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2= AF2,.82+BF2=102,.BF=6cm,.FC=10-6=4(cm). (2)设EC的长为xcm,则DE=(8-x)cm.在Rt△EFC 中，根据勾股定理，得FC2+EC2=EF2,∴.42+x2=(8-x)2, 解得x=3,故EC的长为3cm. 8.B【解析】如图所示：由于圆柱体的B 底面周长为10cm,则AD=10×2=5 (cm).又因为CD=AB=12cm,所以A AC=√12+52=13(cm).故蚂蚁从，点A出发沿着圆柱体 的表面爬行到，点C的最短路程是13cm.故选B. 9.C 10.√74【解析】因为平面展开图不唯一，故分情况分别 计算，再从各个路线中确定最短的路线.①展开前面和 右面由勾股定理得AB2=(5+3)2+42=80:②展开前面 和上面由勾股定理得AB2=（4+3)2+52=74:③展开左 面和上面由勾股定理得AB2=(5+4)2+32=90.所以最 短路径的长为AB=√74cm. 11.45 12.解：如图所示，则AB=20+4=24(m),连接AC..四边形 ABCD是长方形，AB=24m,宽AD=BC=10m,AC= √AB+BC=√24+102=26(m),.蚂蚱从A点爬到 C点，它至少要走26m的路程. 追梦之旅铺路卷·八年级 R M 13.100或28【解析】①若AC为斜边.AB=8,BC=6,. AC=√WAB2+BC2=√/82+62=10，..10×10=100：②若 AC为直角边.AB=8,BC=6,.AC=√AB2-BC= √/82-62=2√7...27×2√7=28. 14.√J13或√J10【解析】①当点P靠近，点B时..·∠ACB =90,AC=BC=3.PB=BC=1,∴CP=2,÷AP= √AC+PC=√I3,②当点P靠近，点C时，∠ACB= 大 90°，AC=BC=3.:PC=3BC=1,MA=√AC+PC= √I0.综上所述：AP的长为√3或√10. 案 153或或1【解折】：乙ABC=90,AB=3,BC=4, AC=√AB+BC2=5,①当AB=AP=3时，△ABP是等腰 三角形，△BCP不是等腰三角形，②当AB=BP=3,且P 在AC上时，△ABP是等腰三角形，△BCP不是等腰三 角形，作△ABC边AC的高BD,:SaMC=2AC·BD= ·c0:8c=长0p 1 AC Y丽-D:-号产=}A=20=®音 CB=CP=4,即AP=1时，△CBP是等腰三角形，△ABP 不是等腰三角形，其他情况不成立，综上所述，AP=3或 1 5 16.4 【解析】连接BE,:DE垂直平分AB,AE=BE,设 AE=BE=x,则CE=8-x.在Rt△BCE中.BC2+CE2= BE6+(8-x)2=,解得x=25 4 17.17dm 追梦专项总结突破卷（三） 1.（1)证明：在□ABCD中，AB=CD,AB∥CD.,·E,F分别是 B.CD的中点心BEAB,DP=)CD.BE=DE. 四边形EBFD是平行四边形. (2)解：AD=AE,∠A=60°，.△ADE是等边三角形. DE=AD=2.:E是AB的中点，.BE=AE=2,.四边形 EBFD的周长为2(BE+DE)=8. 2.(1)证明：.·CEBD,BE∥AC,∴.四边形OBEC是平行四 边形.又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,.∠BOC= 90°.∴.四边形OBEC是矩形； (2)解：AC⊥BD,∠ABD=60°，AD=25,.0D=√3，A0 =0C=3.:四边形ABCD是菱形，.S菱形BGD=4S△AOD=4× 2x3x5-6 3.证明：(1)连接GE.四边形EFGH为菱形，四边形AB CD为正方形，.GF∥HE,AB∥CD.·.∠AEG=∠CGE, ∠HEG=∠FGE,∴.∠HEA=∠CGF; (2)·四边形ABCD是正方形，.∠D=∠A=90°..四边 形EFGH是菱形，∴.HG=HE,在Rt△HAE和Rt△GDH中 HE=GH.Rt△HME≌Rt△GDH(HL),.∠AHB= (AH=DG ∠DGH,又.·∠DHG+∠DGH=90°，∴.∠DHG+∠AHE= 90°，∴.∠GHE=90°，∴.菱形EFGH为正方形； 4.(1)证明：DE∥AC,DF∥AB,.∠FDC=∠B,四边形 AEDF是平行四边形，∴.DE=AF,又.·AB=AC,.∠B= 下·ZBR·数学第12页 ∠C,.∠FDC=∠C,.DF=FC,∴.DE+DF=AF+FC= AC; 解：(2)图2中：AC+DF=DE,图3中，AC+DE=DF (3)4或8 5.獬：(1)GF=GC (2)成立，理由如下：连接CF,易知BE=EF=EC,∠B= ∠AFE,∴.∠EFC=∠ECF..∠B+∠BCD=180°，∠AFE+ ∠EFG=180°，∴.∠BCD=∠EFG.∴.∠GFC=∠GCF,. GF=GC: (3)由于正方形是特殊的平行四边形，.GF=GC仍成 立，AB=AD=BC=8,∠D=90°.设GC=x,则GF=x,GD=8 -x,AG=8+x.在Rt△ADG中，根据勾股定理，得AD2+DG =AG2,即82+(8-x)2=(8+x)2,解得x=2.即GC长为2. 6.(1)证明：.△ABC为等边三角形，∴.∠B=∠ACD=60° (AC=BC AC=BC,在△ACD和△CBF中，{∠ACD=∠B,.△ACD CD=BF 案 ≌△CBF(SAS); (2)解：D在线段BC上任意位置（但D,C不重合），四边 形CDEF是平行四边形.△ACD≌△CBF,.∠BCF= ∠DAC,AD=CF..:△ADE是等边三角形，·.∠ADE= 60°，AD=DE,∴.DE=CF,∠ACD=∠ADE=60°，∠ACD+ LCAD=∠ADB,.∠DAC=∠BDE.∠BCF=∠DAC, ∠BDE=∠BCF,.DECF..∴.四边形CDEF是平行四边 形 7.解：(1)四边形ABFE是正方形，理由如下：.：四边形AB- CD为矩形，∴.LBAE=LABF=90°，由折叠性质得∠EAB =∠EFB=90°，.四边形ABFE为矩形.又AB=BF, 四边形ABFE为正方形； (2)①BG=AB+DG,理由如下：连接EG,由图形的翻折可 知，EF=AE,BF=AB,∠EFB=∠A=90°，∴.∠EFG= LEDG=90°.点E是AD的中点，.AE=ED,.EF= ED.又.'EG=EG,∴.Rt△EFG≌Rt△EDG(HL),∴.DG= FG,∴.BG=BF+FG,即BG=AB+DG; ②AD=√3AB或AB=AD,理由如下：当CG:DG=1:3时 设CG=m,则DG=3m,.AB=CD=BF=4m,BG=4m+3m =7m,在Rt△BCG中，AD=BC=√BG-CG=45m=4m ×√3，∴.AD=√3AB;当DG:CG=1:3时，设DG=n,则CG= 3n,∴.AB=CD=BF=4n,BG=4n+n=5n,在Rt△BCG中， AD=BC=√BG-CG=4n,.AD=AB.综上，矩形ABCD 的边长AD和AB之间的数量关系为AD=√3AB或AD= AB. 8.解：(1)如图：过A作AM⊥BC于M, P D 设AC交PE于N.∠BAC=90°， ∠B=45°，∴.∠C=45°=∠B.∴.AB= AC,:.BM=CM,:.AM=-BC=5.B ADBC,∴.∠PAN=∠C=45°.，·PE⊥BC,.∴PE=AM=5, PE⊥AD,.△APN和△CEN是等腰直角三角形，.PN= AP=t,CE=NE=5-t.:CE=2t-2,∴.5-t=2t-2,解得t= 16 3BQ=10-2×3 =3 (2)存在，t=4秒或12秒；理由如下：①当点Q,E在线段 BC上时，若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形 则AP=BE,∴.t=10-2t+2,解得t=4,②当点Q、E在线段 CB的延长线上时，若以A,B,E,P为顶点的四边形为平 行四边形，则AP=BE,.t=2t-2-10,解得t=12,综上所 述，t=4秒或12秒. 9.解：(1)EF是AC的垂直平分线，∴.AE=EC,AF=FC. 在矩形ABCD中，AO=OC,∠EAC=∠BCA,∠AOE= ∠COF,.△AOE≌△COF(ASA),.AE=CF,∴.AE=CF =EC=AF,∴.四边形AFCE为菱形，设AF=x,则FC=x, BF=8-x,在Rt△ABF中，x2=4+(8-x)2,解得x=5,则 AF=5; 追梦之旅铺路卷·八年级 (2)①在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边 形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点 时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形，由(1)可 知，AF=5,P点运动的时间是：t=(5+3)÷1=8(s).Q的 速度是：4÷8=0.5(cm/s),即当A、P、C、Q四点为顶点的 四边形是矩形时，运动的时间为8s,此时O的速度是 0.5cm/s; ②分为三种情况：)P在AF上，0≤t≤5..点P的速度 为每秒1cm,点Q的速度为每秒0.8cm,∴.Q只能在CD 上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不可能是平 行四边形；i)当P在BF上时，5<t≤8，Q在DE上，A、P C、Q四点为顶点的四边形有可能是平行四边形；如图. :AQ=8-(0.8t-4),CP=PF+FC=PF+AF=t,∴.8-(0.8t 2 -4)=t,t= 3;m)当P在AB上时，8<t≤12，Q在DE或 CE上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行 四边形，综上所述，=20 10.(1)证明：过点P作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点 N..·PB⊥PE,∴.∠BPE=90°，∴.∠MPB+∠EPN=90° :四边形ABCD是正方形，.∠BAD=∠D=90°.AD∥ MN,∴.∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°...四边形 BMNC为矩形，.BM=CN.∠MPB+∠MBP=90°， ∠EPN=∠MBP.在Rt△PNC中，∠PCW=45°，∴.△PWC 是等腰直角三角形，∴PN=CN,∴.BM=PN,∴.△BMP≌ △PNE(ASA),∴.PB=PE: (2)解：在P点运动的过程中，P℉的长度不发生变化 理由：连接OB,:点O是正方形ABCD对角线AC的中 点，.OB⊥AC,∴.∠AOB=90°，.·EF⊥AC,∴.∠AOB= ∠EFP=90°，∴.∠OBP+∠BPO=90°..·∠BPE=90°，. ∠BP0+∠OPE=90°，∴.∠OBP=∠OPE.由(1)得PB= PE,∴.△OBP≌△FPE(AAS),∴.OB=PF.·AB=2, △AB0是等腰直角三角形，.OB=√2..PF的长为定 值2； (3)解：PC=PA+√2EC.理由：，∠BAC=45°，.△AMP 是等腰直角三角形，.PA=√2PM.由(1)知△BMP≌ △PNE,∴.PM=NE,.PA=√2NE..·△PCN是等腰直角 三角形，∴.PC=√2NC=√2(NE+EC)=√2NE+√2EC= PA+√2EC. 11.C12.A 追梦专项总结突破卷（四） 1.C2.C3.B4.C 5.解：(1)①0 ②-12或12 (2)描点，画出函数的图象如图： V -31 0 54321 【2345x ....2 (3)①4 ②函数y=-lx+4的图象关于y轴对称.（答案不唯一） 6.B【解析小：直线1的解析式为y= 3x,A(0,1),B 下·ZBR·数学第13页