11.2 第2课时 正弦定理的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

11.2 第2课时 正弦定理的应用 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点的距离为 (　　) A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析：选A　由题意知∠ABC=30°. 由正弦定理得=， 所以AB===50(m). 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2-cos 2C=1，4sin B=3sin A，a-b=1，则c的值为 (　　) A. B.7 C.37 D.6 解析：选A　由2cos2-cos 2C=1，得1+cos(A+B)-(2cos2C-1)=2-2cos2C-cos C=1，即2cos2C+cos C-1=0，解得cos C=或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A及正弦定理，得4b=3a，结合a-b=1，得a=4，b=3.由余弦定理，知c2=a2+b2-2abcos C=42+32-2×4×3×=13，所以c=. 3.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，bsin A=(3b-c)sin B，且cos A=，则下列说法不正确的是 (　　) A.a+c=3b B.tan A=2 C.△ABC的周长为4c D.△ABC的面积为c2 解析：选C　由bsin A=(3b-c)sin B角化边可得ba=(3b-c)b，所以a+c=3b，故A正确. 因为cos A=，所以sin A==.所以tan A==2，故B正确. △ABC的周长为a+b+c=4b，故C错误. 根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得a2=b2+c2-bc，将a=3b-c代入上式可得b=c，代入a+c=3b可得a=c，所以△ABC的面积为bcsin A=c2，故D正确. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为b(bsin B-asin A-csin C)，则B= (　　) A. B. C. D. 解析：选D　因为△ABC的面积为b(bsin B-asin A-csin C)，所以absin C=b(bsin B-asin A-csin C)，即asin C=bsin B-asin A-csin C.由正弦定理得ac=b2-a2-c2，即a2+c2-b2=-ac.所以cos B==-.因为B∈(0，π)，所以B=. 5.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A-sin Bsin C=0，则的取值范围为 (　　) A.　B.　C.　D.(-1，1) 解析：选A　由正弦定理及sin2A-sin Bsin C=0，得a2=bc.根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，得a2=(b-c)2+2bc(1-cos A).令p==，则b-c=2pa.因此a2=4p2a2+2a2(1-cos A)，即4p2=2cos A-1.由题意可知A是锐角，所以0<cos A<1.因此0≤p2<.所以-<p<. 6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，且a=，cos A=，则△ABC的面积等于 (　　) A. B. C.2 D. 解析：选A　因为b2-bc-2c2=0， 所以(b-2c)(b+c)=0.又b+c>0，所以b=2c. 又a2=b2+c2-2bccos A，即()2=b2+c2-2bc·，将b=2c代入，解得c=2，b=4. 因为cos A=，所以sin A=. 所以S△ABC=bcsin A=×4×2×=. 7.(5分)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为　　　 km.(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)  解析：因为AB=1 000×=(km)，所以BC=·sin 30°=(km)，航线离山顶的高度为h=×sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).所以山顶的海拔高度约为18-11.4=6.6(km). 答案：6.6 8.(5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为　　　　.  解析：由正弦定理知=，结合条件得c==2.又sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=，所以△ABC的面积S=bcsin A=+1. 答案：+1 9.(5分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+2c=2acos B，a=8，△ABC的面积为4，则b+c的值为　　　　.  解析：根据余弦定理得b+2c=2a×，整理得b2+c2-a2=-bc.∴cos A==-.∵A∈(0，π)，∴A=.又△ABC的面积为4，∴bcsin A=bc×=4，解得bc=16.根据余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，即64=b2+c2-2bccos =b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-16，∴(b+c)2=80，∴b+c=4. 答案：4 10.(10分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明：2a2=b2+c2;(5分) (2)若a=5，cos A=，求△ABC的周长.(5分) 解：(1)证明：因为A+B+C=π， 所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B. 同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A，由正弦定理可得2a2=b2+c2. (2)由(1)及a2=b2+c2-2bccos A，得a2=2bccos A，所以2bc=31.因为b2+c2=2a2=50，所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81，得b+c=9. 所以△ABC的周长l=a+b+c=14. 11.(10分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上. (1)求渔船甲的速度;(5分) (2)求sin α.(5分) 解：(1)由题意知∠BAC=120°，AB=6，AC=5×2=10. 在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos 120°=196，解得BC=14，所以v甲==7 n mile/h.所以渔船甲的速度为7 n mile/h. (2)在△ABC中，AB=6，∠BAC=120°， BC=14，∠BCA=α.由正弦定理得=，即sin α===. 12.(15分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD=1. (1)若∠ADC=，求tan B;(7分) (2)若b2+c2=8，求b，c.(8分) 解：(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=，解得DC=2，所以BD=DC=2，a=4.因为∠ADC=，所以∠ADB=. 在△ABD中，由余弦定理得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7，所以c=. 在△ABD中，由正弦定理得=， 所以sin B==，所以cos B==.所以tan B==. (2)因为D为BC的中点，所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理得 cos B==， 整理得2BD2=b2+c2-2=6，得BD=，所以a=2.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC===-， 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc =bc= =， 解得bc=4.则由解得b=c=2. 学科网（北京）股份有限公司 $