9.1 向量概念 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.1　向量概念 [课时跟踪检测] 1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 解析：选C　速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小. 2.如图，在正方形ABCD中，与的夹角为 (　　) A.30°　 B.90° 　C.120°　 D.180° 解析：选B　因为ABCD是正方形，所以向量与的夹角是90°. 3.下列结论正确的是 (　　) A.零向量的大小为0，没有方向 B.||=|| C.起点相同的单位向量，终点必相同 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 解析：选B　既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误. 4.在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且==，||=||，则 (　　) A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 解析：选D　由==，||=||，知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD为矩形. 5.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若a≠b，则|a|≠|b| B.若a=b，则a∥b C.若|a|>|b|，则a>b D.若|a|=0，则a=0 解析：选BD　当a=-b时，不满足|a|≠|b|，A错误；若a=b，则a∥b，B正确；若|a|>|b|，则a与b不能比较大小，C错误；若|a|=0，则a=0，D正确. 6.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，||=2，则||等于 (　　) A.1 B. C. D.2 解析：选A　如图，连接AC，由||=||，得∠ABC=∠OCB=30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB=90°.所以||=||=1. 7.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 (　　) A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 解析：选C　每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量. 8.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 解析：选D　根据相同的向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确. 9.(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论一定成立的是 (　　) A.||=|| B.||=|| C.= D.=- 解析：选ABD　∵四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+∠GCE=180°，即D，C，E三点共线，∴AB=EF，CD=FG，AB∥DC∥HG∥HF，即||=||，=-与共线，且||=||，A、B、D正确；若与共线，则必有∠BDC=∠HED，即∠GCE=2∠BDC=2∠HED，该条件不一定成立，如∠GCE=90°时，∠HED≠45°，故与共线不一定成立. 10.(5分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则=　　　　.  答案： 11.(5分)如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量共线的向量为　　　；与向量的夹角为120°的向量为　　　　　　　.(填图中所画出的向量)  解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为；与的夹角为120°的向量为. 答案：　 12.(5分)窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则与相等的向量为　　　　　　　，的相反向量为　　　　　.  解析：因为四边形EFGH为正方形，所以EF=FG=GH=HE，且EF∥HG.又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有.的相反向量有. 答案：　 13.(10分)已知线段AB被n(n≥2)等分，等分点分别为M1，M2，M3，…，Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量?(5分) (2)求互不相等的非零向量的总数，用n表示.(5分) 解：(1)当n=4时，等分点有M1，M2，M3，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点，构成互不相等的非零向量.当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，总共有8个. (2)由(1)知，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，依次类推，当模长为||时，有2个，总共有2n个. 14.(10分)如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S={A，B，C，D，O}，向量集合T={|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数. 解：由题可知，S中任意两点连成的有向线段共有20个，即.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即========.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个. 学科网（北京）股份有限公司 $