9.1 向量概念-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第9章 平面向量 9.1向量概念 第1关练速度 10min为准，你的时间： 6.(2023·天津河西区高一月考)设a,b是非零 1.(多选)(2024·四川德阳高一月考)下列命题 向量，ao,b分别是a,b的单位向量，则下列各 中正确的是 式中正确的是 () A.单位向量的模都相等 A.ao=bo B.ao∥bo B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是 lal laol 共线向量 C.161 D.Tbol =1 C.方向相同的两个向量，向量的模越大，则向 7.(2023·广东深圳高一期中)如图所示，在正 量越大 △ABC中，D,E,F均为所在边的中点，则以下 D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点 向量中与ED相等的是 () 必相同 2.设e1,e2是两个单位向量，则下列结论中正确 的是 ( A.e1,e2起点相同 B.e1∥e2 C.le I=le2l D.以上都不对 A.EF B.BE C.FB D.F元 3.(2024·河北石家庄高一月考)分析下列四个 8.如图，已知B,C是线段AD的两个三等分点， 命题并给出判断，其中正确命题的个数是 则与AB相等的向量有 ( B D ①若a∥b,则a=b;②若1al=1b1,则a=b; 9.下列命题是真命题的是 .(填序号) ③若1a1=1b1,则a∥b:④若a=b,则Ial=Ib1. ①若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是 A.0 B.1 C.2 D.3 共线向量； 4.(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线 的交点，则下列结论正确的有 ②若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与CD ( A.A0=0元 B.1AO1=1B01 不是共线向量； C.AO=BO D.A与CD共线 ③向量AB与C⑦是共线向量，则A,B,C,D四 5.(2024·广东东莞高一月考)等边三角形ABC 点必在一条直线上； 中，AB与BC的夹角为 ( ④向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必 A.60° B.-60° C.120° D.150° 在一条直线上 第9章学霸001 10.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向 上一点，且∠0CB=30°，1AB1=2,则1AC1等于 量AB是平行向量，与BC是共线向量，则 () m= 11.把同一平面内所有模不小于1，不大于2的 向量的起点，移到同一点0，则这些向量的 终点构成的图形的面积等于 A.1 B.√2 C.√3 D.2 第2关练准确率日题为准，你做对题 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方 形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A,B. 12.(2024·重庆长寿区高一期末)已知点0在 △ABC所在平面内，满足IOA1=1O=I0心1， 点C为小正方形的顶点，且|AC1=√5.则 则点O是△ABC的 ( ) IBC1的最大值与最小值分别为()》 A.外心B.内心C.垂心 D.重心 13.（2023·天津和平区高一月考)如图所示，四 边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则 下列结论中不一定成立的是 B A.√4I,N5 B.41,5 C.5,3 D.5,2 17.(2024·湖南长沙高一月考)四边形ABCD A.1AB1=1E京 B.AB与FH共线 满足AD=BC,且IAC1=1BD1,则四边形 C.BD与Ei共线 D.CD=FC ABCD是 (填四边形ABCD的形状). 14.（多选)(2023·河北邯郸高一月考)如图， 18.如图所示，E1,E2,F1,F2,G1,G2,H1,H2分别 在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说 是矩形ABCD所在边上的三等分点，若 法正确的有 1AB1=6,1AD1=3,则以图中16个点中的任 意两点为始点和终点的所有向量中，模等 于2且与AB平行的向量有 个，模等 于5的向量有 个 A.与AB相等的向量（不含AB)只有一个 B.与AB的模相等的向量（不含AB)有9个 D C.BD的模是DA的模的3倍 H D.CB与DA不共线 H 15.(2024·山东威海高一月考)在如图所示的 半圆中，AB为直径，点0为圆心，C为半圆 必修第二册·SJ学霸002 19.（2024·山东泰安高一月考)如图，0是正六 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆攻女女 边形ABCDEF的中心，且OA=a,O店=b, 21.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对 0元=c.在以A,B,C,D,E,F,0这七个点中任 角线AC与BD的交点，设点集M={O,A,B, 意两点为起点和终点的向量中，问： C,D},向量的集合T={PQ1P,Q∈M,且P, (1)与a相等的向量有哪些？ Q不重合}，则集合T中有 个元素 (2)b的相反向量有哪些？ (3)与c的模相等的向量有哪些？ 22.（2023·陕西咸阳高一月考)如图所示，某人 从A点出发，向西走了200m后到达B点， 然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向 行走了100√13m到达C点，最后又改变方 向，向东走了200m到达D点，发现D点在 B点的正北方， (1)作出向量AB,BC,CD(图中1个单位长 度表示100m); 20.如图，已知以0为圆心、1为半径的圆上有 (2)求向量DA的模. 8个等分点A,B,C,D,E,F,G,H,以图中标 北 出的9个点为起点和终点作向量 (1)0i与0龙的夹角是多少？ A: 5432.2东 (2)与0D垂直的向量有哪些？ 第9章学霸003第9章 9.1向量概念 第1关（练速度） 1.AD解析：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为 1,故A正确：根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的 两个向量是共线向量，故B错误；向量不能比较大小，故C错误：根 据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终 点必相同，故D正确.故选AD. 2.C解析：单位向量的模相等，都为1，故选C. 3.B解析：对于①，当两个向量平行时，大小和方向可能不相等，即 两个向量不一定相等，故①错误对于②，两个向量模相等，方向不 一定相同，故②错误对于③，两个向量模相等，不一定共线，也可 能垂直或者其他的情况，故③错误对于④，若两个向量相等，则大 小和方向都相同，故④正确.综上所述，只有1个命题为真命题，故 选B. 4.AD解析：因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O 是AC的中点，即有Ad=O元，A正确：平行四边形对角线长不一定 相等，则1Ad1与1B⑦1不一定相等，B不正确；点A,0,B不共线， C不正确：平行四边形ABCD中，AB∥CD,即有AB与CD共线，D正 确.故选AD. 易错提醒 两个共线的向量方向可以相同也可以相反 5.C解析：如图，延长AB到D,则∠CBD为AB与BC的夹角，所以AB 与BC的夹角为120°.故选C. D 6.D解析：两个向量模相等，但是方向可能不同，所以选项A,B 不正确；题中没有明确向量4，b模的大小关系，所以选项C不正 确；因为a,b,分别是a,b的单位向量，所以 16.1,故选D 7.D解析：DE是△ABC的中位线，DE∥CB且DE=CB,则与 2 向量E相等的向量有B下，F乙故选D. 8.B武，C解析：根据题图可知与A相等的向量有B武，C】 9.①④解析：①为真命题，4，B,C,D在一条直线上，向量A,Cd的 方向相同或相反，因此A与C是共线向量；②为假命题，A,B,C,D 不在一条直线上，则A店，C⑦的方向不确定，不能判断A与Ci是否 为共线向量：③为假命题，因为A,Ci两个向量所在的直线可能没 有公共点，所以四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为A, A心两个向量所在的直线有公共点A,且A与A心是共线向量，所以三 点共线故答案为①④. 10.0解析：向量m与向量A是平行向量，则向量m与向量店方向 相同或相反：向量m与向量BC是共线向量，则向量m与向量BC 方向相同或相反，又由A,B,C是不共线的三点，可知向量AB与向 量BC方向不同且不共线，所以m=0. 11.3π解析：由题意可知，这些向量的终点构成的图形是一个圆环， 圆环的小圆半径为1，圆环的大圆半径为2，所以圆环的面积为 ×22-T×12=3π，故答案为3π. 第2关（练准确率） 12.A解析：因为1OA1=1O1=1O元1，即点0到A,B,C的距离相 参考答案 c<<<<c 参考答案 ANSWER 平面向量 等，所以点O是△ABC的外心.故选A 13.C解析：：四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形， .∠DCG+∠CCE=180°，即D,C,E三点共线，即H,G,F三点共 线，.AB=EF,CD=FG,AB∥DC∥HG∥HF,即IA1=IE1,Ci= F元，A与F共线，A,B,D一定成立；对于C:若B与E共线，则 必有∠BDC=∠HED,即∠GCE=2∠BDC=2∠HED,该条件不一 定成立，如∠GCE=90时，∠HED≠45°，故Bi与E共线不一定成 立，故选C. 14.ABC解析：因为A店=D心，所以与A店相等的向量只有D元，所 以A正确；与向量A店的模相等的向量有Di,D心，A花，C成，A,C, C,B式，B,所以B正确；在Rt△A0D中，因为∠AD0=30°，所以 D1=31成1，所以1动1=31D,所以C正确；因为C成=D, 2 所以CB与DA是共线向量，所以D不正确.故选ABC. 15.A解析：由0d1=1O1,得LABC=∠0CB=30°.因为C为半圆 上的点，4B为直径，所以∠4CB=90,所以1=子应1=1故 选A 16.A解析：画出所有的向量A元，如图所 示由所画的图知： ①当点C位于点C1或C2时， 1B武1取得最小值√2+22=√5； ②当点C位于点C5或C6时， 1BC1取得最大值√42+52=√4I 所以|BCI的最大值为√4红，最小值L- 为√5. 17.矩形解析：：A=B元，.AD∥BC且1A⑦1=1B武1，则四边 形ABCD是平行四边形.又A花1=B1,即该平行四边形对角线 长相等，.四边形ABCD是矩形故答案为矩形. 18.2436解析：与A平行包括与A同向和反向，所以模等于2且 与AB平行的向量有12×2=24（个），模等于5的向量有9×4= 36(个). 19.解：(1)由相等向量的定义知，与a相等的向量有Dd,E成，C成. (2)由相反向量的定义知，b的相反向量有0成，C,A市，B戒. (3)由向量模的定义知，与c的模相等的向量有c⑦，0，Fd,0成， Ed,0,Dd,0,Bd,Oi,Ad,A,B成，A市，F,Fi,E,E,D成， D元，ci,c成，Bt 20.解：(1)因为以0为圆心、1为半径的圆 上的8个等分点分别为A,B,C,D,E, F,G,H,所以弧DE所对圆心角是45°， 即有LD0E=45°，所以0i与0龙的夹角 为45°. (2)因为以0为圆心、1为半径的圆上 的8个等分点分别为A,B,C,D,E,F, G,H,所以BF是圆O的直径，OD⊥ BF,CE∥BF∥AG,如图，所以与Oi垂直的向量有O成，B动，O市，Fd, B,F克，CiE元，A心，G 第3关（练思维宽度） 21.12解析：根据题意知，由点0，A,B,C,D可以构成20个向量.其 中有8对向量是相等的，4个向量各不相等，由元素的互异性知集 合T中有12个元索. 学霸001 22.解：(1)如图，A,B式，C即为所求 (2)如图，作向量Di,由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， .1DA1=1Bt1=100√3m 个北 32东 -1-- 9.2向量运算 第1课时向量的加减法 第1关（练速度） 1.B解析：M+P-M=Md-M=N,故选B. 2.ABC解析：A,B,C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向 量模的和相等.故选ABC 3.BCD解析：对于A,A店-(B武+C)=A店-B=A店+A店≠0，A错误； 对于B,A应-A花+Bi-C=C成+B+D心=Ci+D元=0，B正确；对于C, OA-0i+A=Di+A市=0，C正确；对于D,Nd+O币+M成-M=N+ P=0,D正确故选BCD. 4.B解析：A成+F市+C=A店+B武+C=A市，1A店+F花+C市1= A1=21AB1=2.故选B, 5.C解析：由AB=D心，可知此时四边形ABCD为平行四边形，因为 A店-A市1=1A成+A1,所以1D1=1A心1，即对角线长相等，故四边 形ABCD为矩形.故选C 6.C解析：菱形ABCD中，A1=1B武1，.②正确，①不正确又1AB C=1A应+D心1=1A店+A店1=21A应1,1A市+B武1=1A市+A市1= 2A市1=21A1,.③正确又1A+C1=Di+D元1=1D1,Ci- C成1=B1=1D1,.④正确，故选C. 7.A解析：因为A元+C=A店，A花-A店=B武，A店+B武=A花，A元+C1= A心-A1=A应+B武1，所以A1=1B武1=A花1，所以△ABC是等边 三角形故选A. 8.82km东北方向解析：如图所示，作0A=a,A店=b,则a+b= 0A+AB=0B,所以1a+b1=10B1=√/82+82=82(km).因为 ∠A0B=45°，所以a+b的方向是东北方向. B北 02 a (第8题) (第11题) 9.A花A店解析：因为DE∥BC,AB∥CF,所以四边形DFCB为平行 四边形由向量加法的运算法则可知，A店+D凉=A店+B武=A花，A市+ FC=AD+DB=AB.故答案为AC:AB. 10.0解析：因为六边形A1A24344A5A6为正六边形，所以0A+0A= 0A+0A)=0A+0A6=0,即0A+0A+0A+0A+0A+0A6=0.故 答案为0. 11.120°解析：如图，由Pi+P=P元，得四边形PACB是平行四边形， 由点P是△ABC的外心，得PA=PB=PC,则口PACB是菱形，因此 △APC,△BPC都是等边三角形，则∠ACP=∠BCP=60°，所以 ∠ACB=120°.故答案为120° 第2关（练准确率） 12.B解析：对于A:A+(Pi+B)=Pi+店+B或=P,故A不符合题 必修第二册·SJ 意；对于B:P+A应-B戒=Pi-B戒，故B符合题意；对于C:Q心-Q巾+ C或=Q心+Cd+P=P,故C不符合题意；对于D:(A+P元)+(Bi Q心=BA+AB+P元+Cd=P,故D不符合题意.故选B. 13.A解析：，点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，且 Ai=a,Ad=b,0元=c,则-b+c-a=-A+0元-A=C3+0元-Ai= O成-A成=0成+B成=OA故选A 14.A解析：因为a∥b,且1a1>1b1>0,由向量加法法则知向量a+b 与a同向.故选A. 15.C解析：由题意得B武=A心-A店，所以B武=A心-A1,所以11A花 A11≤1A花-A1≤1A心+A1,则3≤1B武1≤9，故C正确故 选C. 重难点拔 三角不等式：11al-lb11≤la±b1≤lal+Ib1,即1a+b1在a,b同向时 取最大值，在a,b反向时取最小值」 16.AC解析：由题意，得向量a=(A应+C)+(B武+D)=A+D=0, 且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确：由a+b=b,所 以B不正确，C正确；由Ia+b1=Ib1,Ia|+Ib|=Ib1,所以Ia+b1= Ia+Ib1,所以D不正确.故选AC. 17.3区解析：如图所示，是水流的方向，花是垂直于河岸的方 5 向，是船的实际航线，因此A市是船在静水中的航行方向，如1= 120m/min,1B1=110m/min,则1G|=√1202-1102= 10√23(m/min),故经过1h的航程为60×10√23=600√23(m), 即3v2 5 km,故答案为3y23 5 0 (第17题) (第18题) 18.号解斩：如图，作平行四边形B0C,则由衣=破-衣】 可得IAd=B式1，故口ABDC为矩形，即A店⊥A元，由于IA1=4, M=3,放=5，当AM1BC时，最小，最小值为3 号故答案为号 19.解：Di=a,Ad=b,C=c,.Ai=A币+Di=b+a=a+b,Ci=Ci+ Di=c+a=a+c,A花=Ai+D元=Ai+(-c)=b-c. 四边形ABCD为平行四边形，.A成=D=-Ci=-c,B成=B+ AE=-AB+AE=c+a+b=a+b+c. 综上，A2=a+b,C2=a+c,A=-c,B=a+b+c,A元=b-c. 20.解：(1)：0i+0元=0+0i=0,.Oi=cd,0成=Dd,四边 形ABCD为平行四边形.又AB1=A⑦1=1，.四边形ABCD为菱 形：DAB=子，∠DABe(0,m）∠DAB=号AMBD 为正三角形：.D心+B武=A成+B武=A心1=2Ad1=3. (2)由(1)可知，1CD+BC1=1BD1=1AB1=1. 第3关（练思维宽度） 21.A解析：在△0AB中，设a=OA,b= 0,则a-b=0i-0成=B,因为1a= 1b1=1a-b1=1,即10A1=10B1= IBAI=1,所以△OAB为等边三角 形，以OA,OB为邻边作平行四边形 0 学霸002