15.3 第2课时 独立事件-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦相互独立事件这一核心知识点，系统梳理其定义、概率公式及重要结论，通过对比表格明晰与互斥事件的关系，构建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接前期概率知识，为复杂问题解决奠基。 该资料采用习题讲评式教学，以判断事件独立性、计算保险购买概率等例题为载体，结合思维建模总结方法，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　独立事件[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.本课时的重点是理解相互独立事件的定义及意义，能够应用相互独立事件的概率公式解决问题. 2.本课时的难点是掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 1.相互独立事件的定义 一般地，对于两个随机事件A，B，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么称A，B为相互独立事件. 2.相互独立事件的概率公式 A，B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B). 3.重要结论 (1)若A，B相互独立，则，B相互独立. (2)独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2).一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 4.相互独立事件与互斥事件的关系 A，B关系 概率记法 A，B互斥 A，B相互独立 至少一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() 同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 都不发生 P( ) 1-[P(A) +P(B)] P()P() 恰有一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) 至多一个发生 P(B+A+ ) 1 1-P(A)P(B) 　　　　　　　　　　题型(一)　相互独立事件的判断 [例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”. 解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件. |思|维|建|模| 两种方法判断两事件是否具有独立性 定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响 公式法 检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立 [针对训练] 1.判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件. (1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”. (2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”. 解：(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件. (2)样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，事件A={2，4，6}，事件B={3，6}，事件AB={6}， ∴P(A)==，P(B)==，P(AB)==×，即P(AB)=P(A)P(B).故事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件. 题型(二)　相互独立事件概率的计算 [例2]　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. 解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与与B，与都是相互独立事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6. (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C=AB，所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则D=B，所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3. [变式拓展] 本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少? 解：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 法一　则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件， 所以P(E)=P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8. 法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件， 所以P(E)=1-P( )=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8. |思|维|建|模| 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生. [针对训练] 2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4；第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5. (1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率； (2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率. 解：(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1， 设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格， 则P(E)=P(A1)=0.5×0.4=0.2. (2)分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，事件F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，则P(A)=0.5×0.6=0.3，P(B)=0.6×0.5=0.3，P(C)=0.4×0.5=0.2， 所以P(F)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434. 题型(三)　相互独立事件概率的综合应用 [例3]　为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率. 解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B， 甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)=××=. 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误， 其概率为P(B)=××+××+××=. 故甲队总得分为3分与1分的概率分别为. (2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D， 事件C即甲队有2人答对，其余1人答错， 则P(C)=××+××+××=. 事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错， 则P(D)=××+××+××=. 由题得事件C与事件D相互独立， 所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为P(CD)=P(C)P(D)=×=. |思|维|建|模| 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. [针对训练] 3.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a，b，c(a，b，c∈(0，1))，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率； (2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. 解：记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)=a，P(B)=b，P(C)=c. (1)三门课程的考试，至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC，应聘者用方案一考试通过的概率 P1=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+abc=ab+bc+ac-2abc. 应聘者用方案二考试通过的概率 P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=(ab+bc+ac). (2)因为a，b，c∈(0，1)， 所以P1-P2=(ab+bc+ac)-2abc=[ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)]>0， 故P1>P2，即采用方案一，该应聘者考试通过的概率大. 学科网（北京）股份有限公司 $