15.2 第2课时 古典概型的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦古典概型的综合应用，系统梳理“放回”与“不放回”抽样的样本空间构建、概率计算，实际应用问题的数据处理，以及与向量、三角函数等知识的交汇，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 以抽奖、超市采购等真实情境引入问题，培养用数学眼光观察现实世界。通过分类讨论样本点、列表格呈现数据，发展数学思维的逻辑性，课中助力教师系统授课，课后“思维建模”与针对训练帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第2课时　古典概型的综合问题[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　“放回”与“不放回”问题 [例1]　班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品. (1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点； (2)哪种方案获得奖品的可能性更大?并说明理由. 解：(1)记1，2，3号红球分别为A1，A2，A3，4，5号黄球分别为B1，B2， 按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个； 按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，A3)，(B2，B1)，共20个. (2)方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”， 则事件A包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共4个样本点， 故P(A)==； 方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”， 则事件B包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A3，A1)，(A3，A2)，(B1，B2)，(B2，B1)，共8个样本点， 故P(B)==； 方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为x，y， 则所有可能发生的事件对应的二元有序数组(x，y)表示如下表，共25个样本点， (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) 在方案三中，设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点， 故P(C)==； 因为P(A)=P(B)<P(C)，所以选择方案三获得奖品的可能性更大. |思|维|建|模| 解决有序和无序问题应注意两点 (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误. (2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的. 　　[针对训练] 1.从两个白球(记为B1和B2)和两个黑球(记为G1和G2)这四个球中依次选取两个小球. (1)分别写出“有放回、不放回”方式选取的样本空间； (2)求“有放回”方式选取一个白球和一个黑球的概率. 解：(1)有放回选取的样本空间Ω={(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}. 不放回选取的样本空间Ω={(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}. (2)根据(1)中所求，有放回选取的可能性有16种， 其中满足要求的可能性有如下8种(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2). 又有放回的选取的每种情况都是等概率的，故根据古典概率的概率计算公式可得，满足题意的概率为=. 题型(二)　古典概型的实际应用问题 [例2]　某超市计划购进1 000 kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱(每箱20 kg)统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格： 项目 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 第8箱 第9箱 第10箱 烂果个数 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元. (1)以样本估计总体，试问采购员购进1 000 kg苹果需要多少元? (2)若采购员检查完前3箱(即第1~3箱)苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1 000 kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率. 解：(1)由题表可知，这10箱苹果中，没有烂果的有7箱，出现一个烂果的有3箱， 所以这10箱苹果的价格为120×7+110×3=1 170元. 故采购员购进1 000 kg苹果需要1 170×=5 850元. (2)设第i(i=4，5，6，7，8，9，10)箱分别记为A，B，C，D，E，F，G(其中A，F，G这3箱各有一个烂果)， 从7箱中任选2箱，所有的情况为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种，其中没有A，F，G的有6种情况， 故采购员按照这个价格采购苹果的概率为=. |思|维|建|模| 　　解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解. 　　[针对训练] 2.某著名小吃店高峰时段面临用餐排队问题，店主打算扩充店面，为了确定扩充的面积大小，店主随机抽查了过去若干天内高峰时段的用餐人数，所得数据统计如图所示. (1)求高峰时段用餐人数的平均数以及方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)现用分层抽样的方法从高峰时段用餐人数在[30，40]的天数中随机抽取5天，再从这5天中随机抽取3天，求至少有2天的高峰时段用餐人数在[30，35)的概率. 解：(1)由频率分布直方图得=22.5×0.1+27.5×0.4+32.5×0.3+37.5×0.2=30.5. ∴s2=(22.5-30.5)2×0.1+(27.5-30.5)2×0.4+(32.5-30.5)2×0.3+(37.5-30.5)2×0.2=6.4+3.6+1.2+9.8=21. (2)∵用餐人数在[30，35)对应的频率为0.3，在[35，40]对应的频率为0.2， ∴5天中，用餐人数在[30，35)的天数为3天，可记为a，b，c，在[35，40]的天数为2天，可记为A，B，则任取3天，所有的情况有(a，b，c)，(a，b，A)，(a，b，B)，(a，c，A)，(a，c，B)，(a，A，B)，(b，c，A)，(b，c，B)，(b，A，B)，(c，A，B)，共10种， 其中至少2天的高峰时段用餐人数在[30，35)的情况有(a，b，c)，(a，b，A)，(a，b，B)，(a，c，A)，(a，c，B)，(b，c，A)，(b，c，B)，共7种， 故至少有2天的高峰时段用餐人数在[30，35)的概率为. 题型(三)　古典概型与其他知识相结合 [例3]　(1)已知向量a=(x+1，1)，b=(-8，x2+15)，在集合{0，1，2，3，4，5，6}中随机取值作为x，则a⊥b的概率为 (　　) A. B. C. D. (2)从sin，sin，cos，sin，cos这五个式子中任取两个，则这两个式子的值不相等的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：(1)当a⊥b时，a·b=-8(x+1)+x2+15=x2-8x+7=0，解得x=1或x=7. 所以集合{0，1，2，3，4，5，6}中随机取值作为x， 则a⊥b的概率为. (2)因为sin=sin=sin，cos=cos=sin， 所以sin=cos=sin；cos=cos=sin. 记sin，sin，cos，sin，cos这五个式子依次为a，b，c，d，e，则从五个式子中任取两个的样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，其中这两个式子的值不相等的样本点有(a，b)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(c，e)，(d，e)，共6个. 记A=“这两个式子的值不相等”， 所以P(A)==. 答案：(1)A　(2)C |思|维|建|模| 　　对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算. [针对训练] 3.已知A={1，2，3}，B={x∈R|x2-ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概率是 (　　) A. B. C. D.1 解析：选C　因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如表所示). 　　a b　　 1 2 3 1 (1，1) (1，2) (1，3) 2 (2，1) (2，2) (2，3) 3 (3，1) (3，2) (3，3) 因为A∩B=B，所以B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 当B=∅时，a2-4b<0，满足条件的a，b为a=1，b=1，2，3；a=2，b=2，3；a=3，b=3. 当B={1}时，满足条件的a，b为a=2，b=1. 当B={2}，{3}时，没有满足条件的a，b. 当B={1，2}时，满足条件的a，b为a=3，b=2. 当B={2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b. 综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为. 4.在区间(-1，5)与(1，5)内各随机取1个整数，设两数之和为M，则log2M>2成立的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　设从区间(-1，5)，(1，5)中随机取出的整数分别为x，y，则样本空间为Ω={(0，2)，(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(0，3)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(0，4)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)}，共15种情况，不等式log2M>2等价于M>4，设事件A表示log2M>2，则A={(3，2)，(4，2)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)}，共9种情况，所以P(A)==. 学科网（北京）股份有限公司 $