15.2 第1课时 古典概型-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦古典概型核心知识点，先梳理概率性质（0≤P(A)≤1，必然事件概率为1，不可能事件为0），再引出等可能基本事件概念，进而定义古典概型（有限样本点、等可能），最终落实概率公式P(A)=事件A包含的样本点数/样本点总数，构建完整知识支架。 该资料采用梯度进阶式教学，从基础判断（如辨析是否为古典概型）到简单计算（如摸球、选学生问题）再到复杂问题（如掷骰子点数之和），结合“微点助解”强调关键（如非古典概型不可用公式）。通过实例培养学生用数学眼光观察等可能现象，用数学思维推理概率计算，用数学语言表达样本点与事件，课中助力分层教学，课后便于学生回顾训练、查漏补缺。

15.2　随机事件的概率 第1课时　古典概型[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解古典概型的概念及特点. 2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题. 1.概率的性质 (1)将事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率，则P(A)满足0≤P(A)≤1. (2)对于必然事件Ω和不可能事件∅，显然P(Ω)=1，P(∅)=0. 2.等可能基本事件 在一次试验中，每个基本事件{ωk}(k=1，2，…，n)发生的可能性都相同，这时也称这些基本事件为等可能基本事件. 3.古典概型 如果一个随机试验满足：(1)样本空间Ω只含有有限个样本点； (2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型. 4.古典概型的概率 在古典概型中，如果样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k=1，2，…，n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)=，即P(A)==. |微|点|助|解| (1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画. (2)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率. (3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m. (4)由于观察的角度不同，样本点的个数可能也不同，因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上，否则会引起混淆并导致错误. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何一个事件都是一个样本点. (　　) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. (　　) (3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的. (　　) (4)用古典概型的概率公式可求“在线段[0，5]上任取一点，此点小于2”的概率. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.下列试验中，属于古典概型的是 (　　) A.种下一粒种子，观察它是否发芽 B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d C.抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 答案：C 3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 (　　) A. B. C. D.1 解析：选C　从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P=. 题型(一)　古典概型的判断 [例1]　(多选)下列是古典概型的有 (　　) A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 解析：选ABD　古典概型的特征：①试验中所有可能发生的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等.显然A、B、D符合古典概型的特征，所以A、B、D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型. 　　|思|维|建|模| 判断一个试验是古典概型的依据及步骤 (1)判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可. (2)判断一个试验是古典概型的步骤 ①明确试验及其结果. ②判断所有结果(样本点)是否有限. ③判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言. [针对训练] 1.下列问题中是古典概型的是 (　　) A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率 C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率 解析：选D　A、B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D. 题型(二)　简单的古典概型的概率计算 [例2]　袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球. 解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点. (1)因为A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}， 所以n(A)=6，从而P(A)===. (2)因为B={(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}， 所以n(B)=8， 从而P(B)==. |思|维|建|模|　求解古典概型的概率“四步”法 [针对训练] 2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P==，故选D. 3.某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率. 解：合格的4听分别记作：1，2，3，4，不合格的2听分别记作：a，b，只要检测的2听有1听不合格的，就表示检测出了不合格产品.依次不放回的取2听饮料共有如下30个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，a)，(4，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，b)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，a).其中含有不合格产品的情况有(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，b)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，a)，共18种； 所以检测出不合格产品的概率为P==0.6. 题型(三)　较复杂的古典概型的概率计算 [例3]　先后抛掷两枚质地均匀的骰子. (1)求点数之和为7的概率； (2)求掷出两个4点的概率； (3)求点数之和能被3整除的概率. 解：如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等. (1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)， 故P(A)==. (2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4)， 故P(B)=. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个，分别为(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)， 故P(C)==. |思|维|建|模| 　　在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便. [针对训练] 4.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上.现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座. (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率. 解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来. 由图可知，所有的等可能样本点共有24个. (1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件M包含1个样本点，所以P(M)=. (2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件N包含9个样本点，所以P(N)==. (3)设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件S包含8个样本点，所以P(S)==. 学科网（北京）股份有限公司 $