14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“用样本估计总体的集中趋势参数”核心知识点，系统梳理众数、中位数、平均数的定义及性质，通过“逐点清”模块构建从基本概念到频率分布直方图应用再到实际决策的递进学习支架。 资料以“微点练明”辨析概念（如判断正误题），结合典例（如电子产品待机时间分析）培养数据意识与应用能力，体现用数学眼光观察现实、数学思维推理计算、数学语言表达决策。课中辅助教师授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

14.4　用样本估计总体 14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.会求样本数据的众数、中位数、平均数.　 2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势. 逐点清(一)　众数、中位数和平均数 [多维理解] 1.平均数 (1)总体均值:一般地，我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，又称总体平均数.它通常可以代表总体的水平. (2)平均数:称为这n个数据a1，a2，…，an的平均数，一般记为=. (3)性质:一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn. 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数. 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. (　　) (2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据. (　　) (3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)× 2.一组样本数据为19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为 (　　) A.14，14 B.12，14 C.14，15.5 D.12，15.5 解析:选A　把这组数据按从小到大的顺序排列为10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14. 3.(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示: 甲:20，22，27，8，12，13，37，25，24，26 乙:14，9，13，18，19，20，23，21，21，11则下面结论正确的是 (　　) A.甲的极差是29 　B.乙的众数是21 C.甲的平均数为21.4 　D.甲的中位数是24 解析:选ABC　把两组数据按从小到大的顺序排列，得甲:8，12，13，20，22，24，25，26，27，37，乙:9，11，13，14，18，19，20，21，21，23，故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以A正确;乙中出现次数最多的数据是21，所以B正确;甲的平均数为=(8+12+13+20+22+24+25+26+27+37)=21.4，所以C正确;甲的中位数为(22+24)=23，所以D不正确. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表: 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 (　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 解析:选C　根据频数分布表可知，6+12+18=36<50，所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误;亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34，所以低于1 100 kg的稻田占比为=66%，故B错误;稻田亩产量的极差最大约为 1 200-900=300，最小约为1 150-950=200，故C正确;由频数分布表可得，100块稻田亩产量的平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D错误. 逐点清(二)　频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 [多维理解] 1.单峰频率分布直方图中的平均数与中位数 (1)如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多. (2)如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数. (3)如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. 2.频率分布直方图中众数、中位数、平均数的计算 在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和. [微点练明] 1.某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是 (　　) A.70分 B.75分 C.68分 D.66分 解析:选C　0.005×20×30+0.010×20×50+0.020×20×70+0.015×20×90=68(分). 2.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题: (1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数); (2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分. 解:(1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m=75.0. 前3个小矩形面积和为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4<0.5，前4个小矩形面积和为0.4+0.03×10=0.7>0.5，所以中位数n=70+≈73.3. (2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%. 利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 所以估计这次考试物理成绩的平均分是71分. 3.某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案:方案1:规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元;方案2:规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单业务提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替) 解:(1)由频率分布直方图得(0.005+0.005+a+0.03+a+0.015+0.005)×10=1， 解得a=0.02. (2)由题图，知快递公司人均每日完成快递数量的平均数是30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05=62. 方案1日工资为50+62×3=236， 方案2日工资为150+(62-44)×5=240>236. ∴骑手应选择方案2. 逐点清(三)　平均数、中位数、众数的应用 [典例]　甲、乙、丙三家电子厂商在广告中都声称，他们的某型电子产品在正常情况下的待机时间都是12 h，质量检测部门对这三家销售产品的待机时间进行了抽样调查，统计结果(单位:h)如下: 甲:8，9，9，9，9，11，13，16，17，19; 乙:10，10，12，12，12，13，14，16，18，19; 丙:8，8，8，10，11，13，17，19，20，20. (1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数; (2)这三个厂商的推销广告分别利用了上述哪一种数据来表示待机时间? (3)如果你是顾客，宜选择哪个厂商的产品?为什么? 解:(1)根据平均数的计算公式可知， 甲厂数据的平均数是(8+9+9+9+9+11+13+16+17+19)=12; 乙厂数据的平均数是(10+10+12+12+12+13+14+16+18+19)=13.6; 丙厂数据的平均数是(8+8+8+10+11+13+17+19+20+20)=13.4. 甲厂、乙厂、丙厂的众数分别是9，12，8. 甲厂数据的中位数为=10，乙厂数据的中位数为=12.5，丙厂数据的中位数为=12. (2)甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间，乙厂用众数作为该电子产品的待机时间，丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间. (3)我会选乙厂的产品因为乙厂产品的平均数最大，众数最大，中位数最大，所以待机时间更长些，稳定性也较好. |思|维|建|模| 利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 (1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征. (2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值. [针对训练] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位:岁): 甲群:13，13，14，15，15，15，15，16，17，17; 乙群:54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁? 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁? 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征? 解:(1)甲群市民年龄的平均数为×(13+13+14+15+15+15+15+16+17+17)=15(岁)， 中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为(54+3+4+4+5+5+6+6+6+57)=15(岁)， 中位数为5.5岁，众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差. 学科网（北京）股份有限公司 $