14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体的集中趋势参数”，通过家电厂家寿命宣传的情境导入，引导学生发现平均数、中位数、众数的统计含义，衔接抽样知识，搭建从样本数据到总体估计的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动，结合分层抽样、频率分布直方图等实例，通过“定义-公式-典例-跟踪训练”的逻辑链培养数据分析和数学运算素养。通性通法总结帮助学生掌握方法，丰富实例让学生用数学语言表达现实问题，助力教师高效教学与学生能力提升。

14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 1 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）（数据分析、数学运算）. 2.理解集中趋势参数的统计含义（数学运算、数学建模）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产 品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：（单位：年） 　　甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 　　乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 　　丙：3，3，4，7，9，10，11，12. 【问题】　三家厂家的广告中从不同的角度宣传称其产品的使用寿命为8 年，利用所学的知识，你能说明为什么吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　平均数（均值） 1. （算术）平均数：一组数据的 除以数据个数所得到的数. 2. 总体均值（平均数）：一般地，我们把总体中所有数据的 ⁠ 称为总体均值，又称为总体平均数.对于n个数据a1，a2，…，an，其 平均数记为 ＝ . 和　 算术平均 数　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数 为 ⁠； （2）如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…， ，第j层 的样本量为nj，样本平均数为 ，j＝1，2，…，k，记 nj＝n，则所有 数据的样本平均数为 ＝ ＝ （nj ）. x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　 3. 平均数的计算公式 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　众数与中位数 1. 众数：一般地，我们将一组数据中出现 ⁠的数据叫作该组数 据的众数. 2. 中位数：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据 的个数为奇数，那么排在 的数据就是这组数据的 ⁠； 如果数据的个数为偶数，那么排在正中间的两个数据的平均数即为这组数 据的中位数. 次数最多　 正中间　 中位数　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不唯一，可 以有一个，也可以有多个（如1，2，2，3，3，4，5，6这组数的众数是2 和3），还可以没有（如1，2，3，4，5，6这组数就没有众数）；（2）一 组数据的众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中 的数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高 1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.5 m，由此可推断我国13岁 男孩的平均身高为（　　） A. 1.54 m B. 1.55 m C. 1.56 m D. 1.57 m √ 解析： 　 ＝ ＝1.56（m）.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 中位数是一组数据中间的数 B. 众数是一组数据中出现次数最多的数 C. 如果在n个数据中，x1，x2，…，xn出现的频率分别为f1，f2，…，fn， 则 ＝ D. 平均数反映了总体的平均水平 √ √ 解析： 　对于A，如果一组数据的个数为奇数，中位数是排在正中间的 数据；如果一组数据的个数为偶数，中位数是排在正中间的两个数据的平 均数，故A错误；对于C， ＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn，故C错误；B、D正 确.故选B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 一组样本数据为19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这 组数据的众数为 ，中位数为 ⁠. 解析：把这组数据按从小到大的顺序排列为10，12，12，14，14，14， 17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14. 14　 14　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜平均数的计算 角度1　运用公式求平均数 【例1】　（链接教科书第245页例1）某班45名同学的年龄（单位：岁） 如下： 14　15　14　16　15　17　16　15　16　16　15　15 17　13　14　15　16　16　15　14　15　15　14　15 16　17　16　15　15　15　16　15　13　16　15　15 17　14　15　16　16　15　14　15　15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 求全班的平均年龄. 解：法一（利用平均数公式）　 ＝ ×（14＋15＋…＋15）＝ ×684 ＝15.2（岁）. 即全班的平均年龄为15.2岁. 法二（利用平均数的简化公式）　取a＝15，将已知各数减去15，得 －1　0　－1　1　0　2　1　0　1　1　0　0　2　－2　－1　0　1　1　0　 －1　0　0　－1　0　1　2 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1　0　0　0　1　0　－2　1　0　0　2　－1　0　1 1　0　－1　0　0 '＝ ×（－1＋0＋…＋0）＝ ×9＝0.2， ＝ '＋a＝0.2＋15＝15.2. 即全班的平均年龄为15.2岁. 法三（利用加权平均数公式）　 ＝ ×（13×2＋14×7＋15×20＋ 16×12＋17×4）＝ ×684＝15.2（岁）. 即全班的平均年龄是15.2岁. 1　0　0　0　1　0　－2　1　0　0　2　－1　0　1 1　0　－1　0　0 数学·必修第二册（SJ） 目 录 16 通性通法 平均数的计算方法 （1）定义法： ＝ （x1＋x2＋…＋xn）； （2）在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a的左右 摆动时，用简化公式： ＝ ＋a； （3）利用加权平均数公式：在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2 次，…，xk出现fk次（f1＋f2＋…＋fk＝n），则这n个数的平均数为 ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 角度2　运用频率计算平均数 【例2】　（链接教科书第245页例2）从高三年级中抽出50名学生参加数 学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图. 试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩. 解：平均成绩为45×（0.004×10）＋55×（0.006×10）＋65× （0.02×10）＋75×（0.03×10）＋85×（0.024×10）＋95× （0.016×10）＝76.2（分）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 在频率分布直方图中，平均数可用各组区间的组中值与对应频率之积进 行估计. 2. 若一组数据的个数未知，但每一数据所占比例已知，可用频率平均 数公式. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 角度3　分层抽样的均值 【例3】　（链接教科书第246页例3）在某校高一年级的800名学生中，男 生有360名，女生有440名.现采用样本量比例分配的分层抽样方法，从中 抽取样本量为60的样本，计算出男生样本的平均数为171 cm，女生样本的 平均数为160 cm，则总样本的平均数为 cm. 解析：依题意，分配比例为 ＝ ，所以男生应抽360× ＝27（名）， 女生应抽440× ＝33（名），所以总样本的平均数为 ＝ ×171＋ ×160＝164.95（cm）. 164.95　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　分层抽样的均值与加权平均数的计算方法类似，先确定不同层的平均 数和权重，再应用公式计算. 　　分两层的均值可直接利用公式 ＝ × ＋ × ，其中M， N分别为相应层抽取的样本量. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地 人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为 万元. 解析： ＝ ×8＋ ×10＝9.2（万元）. 9.2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下： [12.5，14.5），6，0.06；[14.5，16.5），16，0.16；[16.5，18.5）， 18，0.18；[18.5，20.5），22，0.22；[20.5，22.5），20，0.20； [22.5，24.5），10，0.10；[24.5，26.5]，8，0.08. 试估计总体的平均数. 解：法一　 ×（13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20 ＋23.5×10＋25.5×8）＝19.42. 故估计总体的平均数约为19.42. 法二　13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20 ＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42. 故估计总体的平均数约为19.42. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜众数与中位数的计算 【例4】　（链接教科书第250页例6）（1）某学习小组在某次数学测验 中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分 和75分的各1人，则该小组成绩的众数、中位数分别是（　　） A. 86、85 B. 85、86 C. 85、85 D. 90、85 解析：从小到大排列为75，80，85，85，85，85，90，90，95， 100，观察可知，众数、中位数分别为85、85. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）某校从参加高一年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学 成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. ①求这次测试数学成绩的众数； ②求这次测试数学成绩的中位数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：①由题图知众数为 ＝75，即这80名学生这次测试数 学成绩的众数为75分. ②设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为 0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝ 0.03×（x－70），所以x≈73.3，即这80名学生这次测试数学成绩的 中位数为73.3分. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须 先排序. 2. 用频率分布直方图估计众数、中位数 （1）众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数； （2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个 面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为－8，－1，4，x，10，13，且这 组数据的中位数是7，那么这组数据的众数是（　　） A. 7 B. 6 C. 4 D. 10 解析： 　因为－8，－1，4，x，10，13的中位数是7，所以 （x＋4）＝ 7，解得x＝10，所以这组数据有两个10，其他数据都有1个，所以这组数 据的众数是10. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某 市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了 100名同学进行身高测量，得到频率分布直方图（如图），其中右侧三组 小长方形面积满足2S2＝S1＋S3. 则下列说法正确的是（　　） A. 身高在[130，140）范围内的频率为0.18 B. 身高的众数的估计值为115 cm C. 身高的中位数的估计值为125 cm D. 身高的平均数的估计值为121.8 cm √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵前三组的频率分别为0.04，0.08，0.34，∴后三组的频率 和为1－（0.04＋0.08＋0.34）＝0.54.∵右侧三组小长方形面积满足2S2 ＝S1＋S3，设[130，140）的频率为x，∴3x＝0.54，可得x＝0.18，而 [140，150]的频率为0.06，则[120，130）的频率为0.3，A正确；由直方 图知：频率最高的区间为[110，120），∴身高的众数的估计值为115 cm， B正确；设中位数为a，∵前三组的频率和为0.46，第四组的频率为0.3， ∴中位数a在区间[120，130）内，由0.46＋（a－120）×0.03＝0.5得a ＝120＋ ≈121.3 cm，C错误；由题意：身高的平均数为95×0.04＋ 105×0.08＋115×0.34＋125×0.3＋135×0.18＋145×0.06＝121.8 （cm），D正确.故选A、B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜利用集中趋势参数估计总体 【例5】　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行锻练，两群市民的年 龄如下（单位：岁）： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计 量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ 解： 甲群市民年龄的平均数为 ＝15（岁）， 中位数为15岁，众数为15岁. 平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年 龄特征. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计 量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 解： 乙群市民年龄的平均数为 ＝15（岁）， 中位数为6岁，众数为6岁， 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的 年龄特征，而平均数的可靠性较差. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 众数、中位数、平均数的意义 （1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”， 其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样 本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数 据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大； （2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题， 当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表（每个岗位仅有一人）： 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 6 000元 900元 700元 800元 640元 640元 820元 （1）计算所有人员的周平均收入； 解： 周平均收入＝ ×（6 000＋900＋700＋800＋640＋640＋ 820）＝1 500（元）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）这个平均收入能反映打工人员周收入的一般水平吗？为什么？ 解： 这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工 人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对 平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员. （3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入 水平吗？ 解： 去掉老板的收入后的周平均收入＝ ×（900＋700＋800＋640 ＋640＋820）＝750（元）.这能代表打工人员的周收入水平. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体 B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D. 一组数据的众数不唯一 √ √ √ 解析： 　平均数不大于最大值，不小于最小值.故B错误.故选A、 C、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2.10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10， 15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有 （　　） A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. c＞a＞b D. c＞b＞a √ 解析： 　a＝ ＝14.7，因为这组数据中， 17出现的次数最多，所以c＝17.这些数据由小到大排列依次是10，12， 14，14，15，15，16，17，17，17，因此b＝15，所以c＞b＞a.故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知甲组样本数据分别为4，6，9，11，x，且平均数为7，若乙组样本 数据为7，11，17，21，2x－1，则乙组样本数据的平均数为 ⁠. 解析：因为7＝2×4－1，11＝2×6－1，17＝2×9－1，21＝2×11－1，而 甲组样本数据4，6，9，11，x的平均数为7，所以乙组样本数据7，11， 17，21，2x－1的平均数为2×7－1＝13. 13　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确 使用的情况下，使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进 行抽查，抽查的各8个产品使用寿命的统计结果如下（单位：年）： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表： 平均数 众数 中位数 甲厂 乙厂 丙厂 解： 甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5. （2）估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量； 解： 甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙 厂利用了平均数或众数或中位数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 解： 选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家 相比，丙厂水平都比较高或持平. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－ 3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组 数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝ 1.故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 一个射击选手连续射击10次，成绩如表所示： 成绩/环数 10 9 8 7 次数 2 4 3 1 则该选手射击成绩的中位数为（　　） A. 8 B. 9 C. 9.5 D. 8.7 解析： 　将射击成绩按升序排列可得：7，8，8，8，9，9，9，9，10， 10，所以该选手射击成绩的中位数为第5个数据和第6个数据的平均数，即 为 ＝9.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩 时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个 有效评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（　　） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 极差 √ 解析： 　从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评 分，其平均数、极差、众数都可能会发生改变，不变的数字特征是中位 数.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 下列关于平均数、中位数、众数的说法正确的是（　　） A. 中位数可以准确地反映出总体的情况 B. 平均数可以准确地反映出总体的情况 C. 众数可以准确地反映出总体的情况 D. 平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 √ 解析： 　中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺 点，故A错误；平均数较好地反映样本数据全体的信息，但是样本数据质 量较差时使用平均数描述数据的中心位置就会与实际情况产生较大差异， 故B错误；众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略 使得无法客观反映总体特征，故C错误；由以上理由可知D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图， 记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a， b，c，则（　　） A. b＞c＞a B. a＞b＞c C. ＞b D. ＞c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 由频率分布直方图可知：众数a＝ ＝75；中位数应落在 [70，80）区间内，则有：0.004×10＋0.018×10＋0.04×（b－70）＝ 0.5，解得b＝77；平均数c＝0.004×10× ＋0.018×10× ＋ 0.04×10× ＋0.032×10× ＋0.006×10× ＝2.2＋11.7＋ 30＋27.2＋5.7＝76.8.所以b＞c＞a.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕某校高一年级1 000名学生在一次测试中数学成绩的频率分布 直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则 （　　） A. a＝0.008 B. 约有200人的成绩不低于110分 C. 约有60人的成绩低于70分 D. 本次考试的平均分约为93.6分 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，（0.002＋0.004＋0.014＋0.020＋a＋0.002）×20 ＝1，解得a＝0.008，故A正确；对于B，（0.008＋0.002）×20×1 000＝ 200，则约有200人的成绩不低于110分，故B正确；对于C，（0.002＋ 0.004）×20×1 000＝120，故约有120人的成绩低于70分，故C错误；对于 D，（0.002×40＋0.004×60＋0.014×80＋0.020×100＋0.008×120＋ 0.002×140）×20＝93.6，故本次考试的平均分约为93.6分，故D正确.故 选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学 成绩的平均值，用分层抽样的方法从重点班抽出20人，从普通班抽出40 人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二 总体数学成绩的平均值为 分. 解析：总体数学成绩平均值为 ＝105（分）. 105　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数 的 倍，则该数据的平均数为 ⁠. 解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷ ＝3，把这组数 据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则 ＝3，解得x＝4，所以这组 数据的平均数为 ＝ ×（1＋2＋2＋4＋5＋10）＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如 下：88，89，89，93，92，9●，92，91，94.记分员在去掉一个最高分和 一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数的个位 数字无法看清.若记分员计算无误，则该数应该是 ⁠. 解析：设该数的个位数字为x，则这个数为90＋x，由题意，知最低分为 88.若90＋x为最高分，则平均分为 ≈91.4≠91，故最 高分为94，则去掉最高分94和最低分88，平均分为 ＝91，解得x＝1，故该数为91. 91　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 某校高一年级举行了一次数学竞赛， 为了解本次竞赛学生的成绩情况，从中 抽取了部分学生的分数（得分取正整数， 满分为100）作为样本（样本容量为n） 进行统计，按照[50，60），[60，70）， [70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图所示），已知得分在[50，60），[90，100]内的频数分别为8，2. （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： 由题意可知，样本容量n＝ ＝50， y＝ ＝0.004， x＝0.1－0.016－0.040－0.010－0.004＝ 0.030. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数. 解：由题中频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数约为75. 设中位数为m，∵（0.016＋0.030）×10＜0.5＜（0.016＋0.030＋0.040）×10，则m∈[70，80）， ∴（0.016＋0.030）×10＋（m－70）×0.040＝0.5， 解得m＝71，即本次竞赛学生成绩的中位数约为71. 本次竞赛学生成绩的平均数约为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1 ＋95×0.04＝70.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2024年的年收入，设这200 个数据的平均数为x，中位数为y，众数为z，如果再加上该市首富的年收 入x201，对于这201个数据，下列说法中正确的是（　　） A. x一定变大，y一定变大，z可能不变 B. x可能不变，y可能不变，z一定不变 C. x可能不变，y一定变大，z可能不变 D. x一定变大，y可能不变，z一定不变 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2023年的年收入，而 x201为该市首富的年收入，则x201会远大于x1，x2，…，x200，故年收入的平 均数x一定变大，中位数y可能不变，也可能稍微变大，众数z一定不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. “小康县”的经济评价标准为：①年人均收入不低于7 000元；②年人 均食品支出（单位：元）不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均 收入如表所示，年人均食品支出如图所示，则该县（　　） 年人均 收入/元 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000 人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3 A. 是小康县 B. 达到标准①，未达到标准②，不是小康县 C. 达到标准②，未达到标准①，不是小康县 D. 两个标准都未达到，不是小康县 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由图表可知年人均收入为（2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8 000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3）÷40＝7 050（元），达到了 标准①；年人均食品支出为（1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10 ＋3 600×9）÷40＝2 695（元），则年人均食品支出占年人均收入的 ×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以该县不是小康县. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条 形图如图所示，下列叙述正确的是 .（填序号） ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ①甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数；②甲运动 员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数；③甲运动员测试成绩的 平均数大于乙运动员测试成绩的平均数. 解析：甲运动员测试成绩：3次7环，8次8环，5次9环，4次10环.所以中位 数为8，众数为8，平均数为 ＝8.5；乙运动员测试成绩： 4次7环，7次8环，4次9环，5次10环.所以中位数为8，众数为8，平均数为 ＝8.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，7，4， 8，10，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所 有可能值组成的集合为 ⁠. 解析：设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为 ，众数是4，因为 这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，若x≤4，则中位数为4，此 时 ＋4＝2×4，解得x＝－9；若4＜x＜7，则中位数为x，此时 ＋ 4＝2x，解得x＝5；若x≥7，则中位数为7，此时 ＋4＝2×7，解得x ＝33.综上可知，丢失数据的所有可能取值为－9，5，33，其构成的集合 为{－9，5，33}. {－9，5，33}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. （1）请填写表格： 平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： 由题图可知，甲打靶的成绩为 2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.乙打靶 的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 甲的平均数是 ×（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8 ＋9＋9＋10）＝7，中位数是 ＝7.5，命 中9环及9环以上的次数是3.乙的平均数是 ×（9＋5＋7＋8＋7＋6＋8 ＋6＋7＋7）＝7，中位数是 ＝7，命中9环及9环以上的次数是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 填表如下： 平均数 中位数 命中9环及9环以上的 次数 甲 7 7.5 3 乙 7 7 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）从下列三个角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？ ②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？ ③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：①由（1）知，甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲的成绩较好. ②由（1）知，甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲的成绩较好. ③从题中的折线图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙在7环上下波动，故甲更有潜力. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $