14.3.2 频率分布直方图-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦频率分布直方图核心知识点，系统梳理列频率分布表、绘制直方图与折线图的方法，通过基础训练衔接频数与频率关系，再进阶到作图实践及应用分析，构建从数据处理到统计推断的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，结合健身减肥等现实情境例题，引导学生用数学眼光观察数据分布规律，通过思维建模总结作图步骤与性质培养数学思维。课中助力教师分层教学，课后针对训练帮助学生巩固，提升数据意识与应用能力。

14.3.2　频率分布直方图[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、折线图. 2.学会应用频率分布直方图分析个体在总体中的分布位置，体会频率分布直方图的特点. 1.频率分布直方图 把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了直方图.我们将这种直方图称为频率分布直方图. 2.频率折线图 将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，并将两边端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图，简称折线图. 基础落实训练 1.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，前三组是不超过80分的频数之和为20，其频率之和为0.4，则抽取的样本的容量为 (　　) A.100 B.80 C.20 D.50 解析:选D　设抽取的样本的容量为n，所以=0.4，即n=50. 2.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为 (　　) A.20 B.27 C.33 D.60 解析:选D　∵n·=27，∴n=60.故选D. 3.某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组:[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95]，绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间[70，85)内的学生有 (　　) A.35名 B.50名 C.60名 D.65名 解析:选D　∵(0.05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)×5=1，∴a=0.04，∴100×(0.06+0.04+0.03)×5=65(名). 题型(一)　频数与频率的关系 [例1]　(多选)肥胖不仅影响了个人形象，还会增加各种疾病发生的机率，近几年，减肥行业风生水起.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房跟踪调查了20名肥胖者，把健身前后他们的体重(单位:kg)制成如下表格. 调查日期 2024年9月1日 体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120] 频率 0 30% 50% 20% 调查日期 2025年1月1日 体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120] 频率 10% 40% 50% 0 对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是 (　　) A.健身后，体重在区间[90，100)内的频数增加值为2 B.健身后，原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少 C.原来体重在[80，90)和[90，100)内的人减肥失败 D.原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果 解析:选AB　原来体重在区间[90，100)内的频数为20×30%=6，健身后体重在此区间内的频数为20×40%=8，频数增加值为2，A正确;原来体重在区间[110，120)内的频数为20×20%=4，而健身后在此区间内的频数为0，说明此前的肥胖者体重都有减少，B正确;健身后体重在区间[100，110)内的频数没有变化，但是并不能说原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果，因为健身前后这个区间的人不一定是相同的，同理，也不能说原来体重在[80，90)和[90，100)内的人减肥失败，C、D均不正确. |思|维|建|模| 　　频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布，在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布. 　　[针对训练] 1.在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于 (　　) 分组 [100，200) [200，300) [300，400) [400，500) [500，600) [600，700] 频数 10 30 40 80 20 m 频率 0.05 0.15 0.2 0.4 a b A.40 B.30 C.20 D.10 解析:选C　∵频率、频数的关系为频率=，∴=.∴a=0.1.∵表中各组的频率之和等于1，∴b=1-0.9=0.1，m=20. 2.一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为　　　　.  解析:因为频率=，所以第二、四组的频数都为72×=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24. 答案:24 题型(二)　画频率分布直方图 [例2]　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位:分)及各组的频数如下: [40，50)，2;[50，60)，3;[60，70)，10;[70，80)，15;[80，90)，12;[90，100]，8. (1)列出样本的频率分布表(含累积频率); (2)画出频率分布直方图; (3)估计成绩在[60，90)分的学生比例. 解:(1)频率分布表如下: 成绩分组 频数 频率 累积频率 [40，50) 2 0.04 0.04 [50，60) 3 0.06 0.1 [60，70) 10 0.2 0.3 [70，80) 15 0.3 0.6 [80，90) 12 0.24 0.84 [90，100] 8 0.16 1.00 合计 50 1.00 (2)频率分布直方图如图所示. (3)学生成绩在[60，90)分的频率为0.2+0.3+0.24=0.74=74%，所以估计成绩在[60，90)分的学生比例为74%. |思|维|建|模| 绘制频率分布直方图的步骤 (1)计算极差:一组数据中最大值与最小值的差; (2)确定组距与组数:组数k=，若k∈Z，则组数为k;若k∉Z，则组数为不小于k的最小整数; (3)分组:通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组是闭区间; (4)列表:一般分四列:分组、频数、频率、; (5)画频率分布直方图:在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积来表示，各小矩形的面积的总和等于1. [针对训练] 3.某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位:分): 48　64　52　86　71　48　64　41　86　79 71　68　82　84　68　64　62　68　81　57 90　52　74　73　56　78　47　66　55　64 56　88　69　40　73　97　68　56　67　59 70　52　79　44　55　69　62　58　32　58 根据所给的数据，回答下列问题: (1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少? (2)将区间[30，100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率折线图. 解:(1)这次测验成绩的最高分是97分，最低分是32分. (2)根据题意，列出样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率 [30，40) 1 0.02 [40，50) 6 0.12 [50，60) 12 0.24 [60，70) 14 0.28 [70，80) 9 0.18 [80，90) 6 0.12 [90，100] 2 0.04 合计 50 1.00 频率分布直方图和频率折线图如图所示. 题型(三)　频率分布直方图的应用 [例3]　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约是多少? 解:(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的， 因此第二小组的频率为 =0.08. 因为第二小组的频率=， 所以样本容量===150. (2)由频率分布直方图可知，该校高一年级全体学生的达标率约为 ×100%=88%. |思|维|建|模| (1)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积=组距×=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. ③=样本容量. (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 　　 [针对训练] 4.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图. 分组 频数 [0，2) 6 [2，4) 8 [4，6) 17 [6，8) 22 [8，10) 25 [10，12) 12 [12，14) 6 [14，16) 2 [16，18] 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的比例; (2)求频率分布直方图中a，b的值. 解:(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10(名)， 所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9. 故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的比例为0.9. (2)课外阅读时间落在[4，6)组内的有17人，频率为0.17，所以a===0.085. 课外阅读时间落在[8，10)组内的有25人，频率为0.25，所以b===0.125. 学科网（北京）股份有限公司 $