11.2 第1课时 正弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

11.2　正弦定理 第1课时　正弦定理[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解正弦定理的推导过程. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 1.正弦定理 2.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A=，sin B=，sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. (5)asin B=bsin A，asin C=csin A，bsin C=csin B. |微|点|助|解| 　　对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形. (　　) (2)在△ABC中，若c2>a2+b2，则△ABC为钝角三角形. (　　) (3)在△ABC中，若已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的类型问题，则求解时都只有一个解. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2.在△ABC中，A=60°，BC=，则△ABC外接圆的半径为 (　　) A. B.1 C.2 D.3 解析：选B　设R为△ABC外接圆的半径，则由正弦定理，得2R===2，解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. 3.在△ABC中，A=45°，c=2，则AC边上的高等于　　　　.  解析：AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 答案： 4.在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B=b，则A=　　　　.  解析：在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B=sin B，∵sin B≠0，∴sin A=.又A为锐角，∴A=. 答案： 题型(一)　已知两角和一边解三角形 [例1]　在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，求A，c. 解：由已知，得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由=，得c== ==4(+1). 所以A=45°，c=4(+1). |思|维|建|模| 已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角; (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边. 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解. [针对训练] 1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对边长是 (　　) A.4 B.12 C.4 D.12 解析：选D　若设120°角所对的边长为x，则由正弦定理可得=，于是x===12，故选D. 2.在△ABC中，若B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析：选C　根据题意得A=180°-135°-15°=30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理=，得b===5. 题型(二)　已知两边及一角解三角形 [例2]　在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，解三角形. 解：∵=， ∴sin C===. ∵0°<C<180°，∴C=60°或C=120°. 当C=60°时，B=75°，b===+1; 当C=120°时，B=15°，b===-1. ∴b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°. [变式拓展] 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”，试判断角A有几个值? 解：∵=，∴sin A===. ∵c=>2=a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. |思|维|建|模| 1.已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角，注意是否有两组解; (2)用三角形内角和定理求出第三个角; (3)根据正弦定理求出第三条边. 2.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [针对训练] 3.已知△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么此三角形 (　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析：选C　由正弦定理和已知条件得=，∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C. 4.在△ABC中，a=1，b=，A=30°，求边c的长. 解：由=，得sin B==. ∵a<b，∴B>A=30°，∴B=60°或B=120°. 当B=60°时，C=180°-60°-30°=90°. 此时，c= ==2. 当B=120°时， C=180°-120°-30°=30°.此时，c=a=1. 综上所述，c=1或2. 题型(三)　判断三角形的形状 [例3]　设△ABC的三个内角A，B，C满足2B=A+C，又sin2B=sin Asin C， 则这个三角形的形状是　(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析：选B　因为△ABC的三个内角A+B+C=π，而2B=A+C，则B=，又sin2B=sin Asin C， 由正弦定理得b2=ac，由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得ac=a2+c2-ac，整理得(a-c)2=0，即a=c，又B=，所以△ABC是等边三角形. |思|维|建|模| (1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系;②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. [针对训练] 5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A-sin B+=0，则△ABC的形状一定为 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析：选B　在△ABC中，sin A-sin B+=0，则由正弦定理得(sin A-sin B)+=·(sin A-sin B)=0.因为三角形中，A，B，C∈(0，π)，所以sin C>0⇒+1≠0.所以sin A=sin B⇒a=b，则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $