9.4 向量应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

9.4　向量应用[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法. 2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法. 题型(一)　平面向量在物理中的应用 [例1]　如图，一条河两岸平行，河的宽度AC= km，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程AB=2 km，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|，水流的速度v2的大小为|v2|=2 km/h.求： (1)|v1|; (2)船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值. 解：(1)因为船只在河内行驶的路程AB=2 km，行驶时间为0.2 h，所以船只沿AB方向的速度为|v|==10 km/h. 由AC= km，AB=2 km，根据勾股定理可得BC==1 km，所以∠BAC=30°，即<v2，v>=60°. 由v=v1+v2，得v1=v-v2， 所以|v1|== ==2. (2)因为v=v1+v2，所以v2=(v1+v2)2， 即100=(2)2+2×2×2cos<v1，v2>+22，解得cos<v1，v2>=.即船在静水中的速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为. 　　|思|维|建|模|　向量方法解决物理问题的步骤 　　[针对训练] 1.设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为，如图所示. (1)求F3的大小; (2)求F2与F3的夹角. 解：(1)由题意|F3|=|F1+F2|， 因为|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为， 所以|F3|=|F1+F2|==. (2)设F2与F3的夹角为θ，因为F1=-(F2+F3)，两边平方得1=4+3+2×2×cos θ，所以cos θ=-.所以θ=. 题型(二)　向量在平面几何证明中的应用 [例2]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点. 求证：AF⊥DE. 证明：法一　设=a，=b， 则|a|=|b|，a·b=0. 又=+=-a+b，=+=b+a，所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二　如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，=(2，1)，=(1，-2). 因为·=(2，1)·(1，-2)=2-2=0， 所以⊥，即AF⊥DE. |思|维|建|模| 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线; ②利用向量的模证明线段相等; ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 ①基向量法： 选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明. ②坐标法： 先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　　[针对训练] 2.如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 证明：∵⊥⊥，∴∥. 设=λ(λ≠0)，则=λ.同理=λ. 于是=-=λ(-)=λ， ∴∥，即HG∥EF. 题型(三)　利用平面向量求几何中的长度问题 [例3]　已知Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n. (1)若D为AB的中点，求证：CD=AB; (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示). 解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A(0，m)，B(n，0). ∵D为AB的中点，∴D. ∴||= . ∵||=， ∴||=||，即CD=AB. (2)∵E为CD的中点，∴E. 设F(x，0)，则==(x，-m). ∵A，E，F三点共线，∴设=λ. 即(x，-m)=λ，则 解得λ=，x=.∴F. ∴||= ，即AF= . |思|维|建|模| 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解.若a=(x，y)，则|a|=. 　　[针对训练] 3.如图，在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长. 解：设=a，=b，则=a-b，=a+b. ∵||=|a-b|= ===2， ∴5-2a·b=4，∴a·b=. 又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2 =1+4+2a·b=6，∴||=，即AC=. 学科网（北京）股份有限公司 $