9.4向量应用学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第二册问题导学单·第9章——平面向量 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第9章 平面向量 9.4 向量应用 【学习目标】 1．能用向量方法解决简单的几何问题； 2．能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题； 3．体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 【温顾·习新】 知识点一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 【研讨·拓展】 一、平面几何中的向量方法 思考　(1)要证明AB⊥CD，从向量的角度如何证明？ (2)怎样用向量的方法证明AB∥CD? (3)如何利用向量方法求直线AB与CD所成的角？ (4)如何利用向量的方法求线段的长度？ 做一做　(1)已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 (2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　) A． B． C．(3，2) D．(1，3) 【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． 【变式1-1】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，D为斜边AB的中点． (1)求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． 【变式1-2】试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和． 【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 二、向量在物理中的应用 思考　在物理中力的合成与分解体现了向量的哪种运算？ 做一做　(1)作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________． (2)飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________ km/h． 角度1　矢量分解合成问题 【例2】加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(　　)(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732) A．63 B．69 C．75 D．81 【变式2-1】一条河的宽度为d，一只船从A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行驶速度的大小为(　　) A．v－v B．|v1|2－|v2|2 C． D． 角度2　做功问题 【例3】如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 【变式3-1】若物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W为(　　) A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 【总结提炼】 一、牢记2个知识点：1．平面几何中的向量方法；2．向量在物理中的应用． 二、掌握2种数学方法：化归转化，数形结合． 三、注意2个易错点：1．注意选取恰当的基底；2．建立坐标系，准确求出点的坐标． 【拓展强化】 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． 2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　) A．40 N B．10 N C．20 N D．10 N 3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A．7 J B．10 J C．14 J D．70 J 4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　) A． B．2 C．3 D．2 5．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝(　　) A． B． C． D． 6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 7．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 8．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必通过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 9．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　) A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 10．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B．若·＝·(－)＝0，则点O为△ABC的垂心 C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心 D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心 11．若在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是________． 12．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________． 13．在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则向量与的夹角为________，四边形ABCD的面积为________． 14．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________． 15．如图，已知△ABC的面积为，AB＝2，·＝1，求边AC的长． 16．如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC． ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 $$