9.2.3 第1课时 向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

9.2.3　向量的数量积 第1课时　向量的数量积[教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过物理中功等实例，理解向量数量积的概念及意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.掌握平面向量数量积运算律及运算性质，并能解一些简单问题. 逐点清(一)　向量的数量积 [多维理解] 1.向量的数量积 定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积 记法 记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 2.向量的夹角、垂直及模 (1)设两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ=. (2)a⊥b⇔a·b=0(a，b是两个非零向量). (3)a·a=|a|2或|a|=. |微|点|助|解| (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数. (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定. [微点练明] 1.已知|a|=，|b|=2，a与b的夹角是120°，则a·b等于 (　　) A.3 B.-3 C.-3 D.3 解析：选B　由平面向量数量积的定义可得a·b=|a||b|cos 120°=×2×=-3. 2.已知|a|=3，|b|=2，若a·b=-3，则a与b夹角的大小为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：选C　因为|a|=3，|b|=2， a·b=-3，所以cos<a，b>===-.因为0°≤<a，b>≤180°，所以<a，b>=120°. 3.若a与b满足|a|=|b|=1，<a，b>=60°，则a·a+a·b等于 (　　) A. B. C.1+ D.2 解析：选B　由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=，故选B. 4.已知等边三角形ABC的边长为1，设=a，=b，=c，那么a·b+b·c+c·a= (　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析：选D　在等边三角形ABC中，有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. 5.已知向量a，b的夹角为，且|a|=，|b|=1，则|a+2b|= (　　) A.1 B. C.2 D. 解析：选A　|a+2b|====1. 逐点清(二)　投影向量 [多维理解] 1.投影向量的定义 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.设向量a，b的夹角为θ，则=. 2.向量数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. |微|点|助|解| (1)a与b平行时，a在b上的投影向量是其本身；a⊥b时，a在b上的投影向量为0. (2)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. [微点练明] 1.已知|a|=1，|b|=2，其中a，b的夹角为，则a在b上的投影向量的模为 (　　) A.1 B. C. D. 解析：选D　由题意，a在b上的投影向量的模为|a|cos=1×=. 2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且|b|=2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b= (　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析：选C　a·b=|b||a|cos<a，b>=|b||2e|=2×2=4.故选C. 3.已知O为正三角形ABC的中心，则向量在向量上的投影向量为 (　　) A.- B. C.- D. 解析：选C　取AB中点D，连接OD，因为O为正三角形ABC的中心，所以OD⊥AB，则向量在向量上的投影向量为=-，故选C. 4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a·b=-3，则b在a上的投影向量为 (　　) A.-a B.-a C.-a D.-a 解析：选A　设向量a，b的夹角为θ， 因为|a|=2，|b|=3，a·b=-3， 所以a·b=|a||b|cos θ=2×3cos θ=-3， 所以cos θ=-， 所以b在a上的投影向量为 |b|cos θ·=3cos θ·=3×·=-a. 逐点清(三)　数量积的运算律及运算性质 [多维理解] 1.向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 2.向量数量积的运算性质 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)当a与b同向时，a·b=|a||b|，当a与b反向时，a·b=-|a||b|. (3)|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b共线，即a∥b时等号成立. |微|点|助|解| (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b=b·c不能推出a=c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. [微点练明] 1.(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 (　　) A.0·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 解析：选AB　0·a=0，A错误； (a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B错误；a·b=0⇒a⊥b，C正确；(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2，D正确.故选AB. 2.已知向量a，b夹角的余弦值为-，且|a|=4，|b|=1，则(a-b)·(b-2a)= (　　) A.-36 B.-12 C.6 D.36 解析：选A　(a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4×1×-1-2×16=-36.故选A. 3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，b·(2a-b)=-18，则a与b的夹角等于 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：选D　由b·(2a-b)=2a·b-b2=2a·b-12=-18，得a·b=-3，则cos<a，b>===-.因为0°≤<a，b>≤180°，所以a与b的夹角等于150°. 4.若单位向量a，b满足(a-2b)·(a+b)=-，则|a-b|等于 (　　) A.1 B. C. D. 解析：选C　因为a，b为单位向量，所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=-a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|===，故选C. 5.已知向量a，b满足|a|=，|b|=2，且a⊥(a-b)，则a与b的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：选A　因为a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=0，即|a|2-|a||b|cos<a，b>=0，解得cos<a，b>=.又因为0°≤<a，b>≤180°，所以a与b的夹角为30°，故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $