9.2.1 第2课时 向量的减法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　向量的减法[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算. 2.理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算. 1.向量的减法 定义 若b+x=a，则向量x叫作a与b的差，记为a-b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法 减法法则 在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b， 如图所示.这就是说，当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a-b 2.向量减法的性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量，于是-0=0. (2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a+(-a)=(-a)+a=0. (3)若a+b=0，则a=-b，b=-a. |微|点|助|解| (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，-=，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (2)=-. (　　) (3)a-b的相反向量是b-a. (　　) (4)|a-b|<|a+b|. (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.在△ABC中，=a，=b，则= (　　) A.|a+b| B.a-b C.b-a D.-a-b 答案：C 3.在▱ABCD中，-+= (　　) A. B. C. D. 答案：A 题型(一)　向量减法法则的应用 [例1]　(1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d. (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 解：(1)如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则a-b=，c-d=. (2)法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. |思|维|建|模| 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a，b，如图①所示，作=a，=b，利用向量减法的三角形法则可得a-b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示，作=a，=b，=-b，则=a+(-b)，即=a-b. [针对训练] 1.如图，已知正方形ABCD的边长等于1，=a，=b，=c，试作向量a-b+c. 解：如图，连接BD， 则=a-b， 作向量=c， 连接DE， 则=+=a-b+c. 题型(二)　向量的加、减运算 [例2]　化简下列各式： (1)(+)+(--)； (2)--； (3)(-)-(-). 解：(1)法一　原式=+++ =(+)+(+) =+=. 法二　原式=+++ =+(+)+ =++ =+0=. (2)法一　原式=-=. 法二　原式=-(+) =-=. (3)法一　(-)-(-) =(+)-(+) =-=0. 法二　(-)-(-) =(-)-(-) =-=0. 法三　在平面内任取一点O， 则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)]=--+-++-=0. |思|维|建|模| 化简向量和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点. [提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧. [针对训练] 2.在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式不正确的是 (　　) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b 解析：选B　a+b=+==c，故A正确；a-b=-=+==-d，故B错误；b-a=-==d，故C正确；c-a=-===b，故D正确. 3.化简：(1)--++； (2)(++)-(--). 解：(1)--++=++++=+=. (2)(++)-(--)=++-++=(+)+(-)+(+)=++0=0. 题型(三)　用已知向量表示未知向量 [例3]　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量及. 解：∵四边形ACDE是平行四边形，∴==c，=-=b-a，=-=c-a，=-=c-b.∴=+=b-a+c. |思|维|建|模| 用已知向量表示未知向量的基本步骤 第一步：观察各向量的位置； 第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果. [针对训练] 4.如图，已知=a，=b，=c，=d，=e，=f，试用a，b，c，d，e，f表示-+-++. 解：=-=c-a， =-=d-a， -==-=d-b， +=-+-=b-a+f-c， -==-=f-d， ++=0. 　　　　　　题型(四)　向量加减法的综合应用 [例4]　如图，在▱ABCD中，=a，=b，用向量a，b表示，并回答下面几个问题. (1)当a，b满足什么条件时，AC⊥BD? (2)当▱ABCD满足什么条件时，|a+b|=|a-b|? 解：∵=a，=b，∴=a+b，=a-b. (1)当|a|=|b|时，▱ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD. (2)当▱ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a+b|=|a-b|. [变式拓展] 若将本例中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O，=a，=b，=c，=d，若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状. 解：由a+c=b+d，得a-b=d-c， 即-=-. ∴=.于是ABCD， ∴四边形ABCD为平行四边形. 又|a-b|=|a-d|， 从而|-|=|-|， ∴||=||. ∴四边形ABCD为菱形. |思|维|建|模| (1)以向量=a，=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为=a+b，=b-a. (2)在▱OACB中，=a，=b. ①若|a|=|b|，则▱OACB为菱形. ②若|a+b|=|a-b|，则▱OACB为矩形. ③若|a|=|b|，且|a+b|=|a-b|， 则▱OACB为正方形. [针对训练] 5.在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且||=||=1，+=+=0，cos∠DAB=，求|+|与|+|. 解：因为+=+=0，所以=-=-，即四边形ABCD为平行四边形. 又因为||=||=1， 所以四边形ABCD为菱形，如图所示，cos∠DAB=，0<∠DAB<π，所以∠DAB=.所以|+|=|+|=||=2||=，|+|=|-|=||=1. 学科网（北京）股份有限公司 $