精品解析：山东省济宁学院附属中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年第一学期第一次月考 初四数学试题 第I卷 （选择题 共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题只有一个正确选项） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. y＝x﹣1 B. y＝ C. y＝（x﹣1）2﹣x2 D. y＝﹣2x2＋1 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知：在中，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ） A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡 C. 梯子的长度决定倾斜程度 D. 梯子倾斜程度与的函数值无关 5. 对于，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而减小 D. 顶点坐标为 6. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（ ） A. B. C. D. 8. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么设等腰三解形的腰长等于（ ） A. 6或3 B. 6或12－2 C. 12－2 D. 3 或12－2 9. 阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，过点，下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤， 上述结论中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 （非选择题 共70分） 二、填空题（每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 11. 将抛物线向上平移3个单位，向右移动1个单位，所得抛物线的解析式是______ 12. 如图，在正方形网格中，的顶点都落在格点上，则的值为_____． 13. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度米，米．广告牌的高度是_____米（保留根号）． 14. 已知抛物线，则的最大值为_____． 15. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，将线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若，，则．其中正确的结论有___________（填正确的序号） 三、解答题（共55分．要有必要的解答过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知：如图，在中，是边上的高，， ，，求的长． 18. 图，已知点，在抛物线上． （1）求的值． （2）在轴上找一点，使得点到两点的距离之和最小，并求出此时点的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 20. 补给船在点处接到命令，要求它向正在航行的军舰运送物资．已知军舰在补给船的西北方向海里的点处，正以每小时海里的速度向南偏东度的方向航行．如果补给船立即沿正西方向航行，恰好能在点处与军舰相遇，求补给船行驶的路程和时间．（结果保留根号） 21. 如图1，在中，，，，则，现将沿折叠，得到，如图2，易知、、三点共线，（其中）． 过点作于点． ， ， ， ， ， ． 阅读以上内容，回答下列问题： （1）如图1，若，则_____，_____； （2）类比题干方法，求出的表达式（用含或的式子表示）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上． （1）n=________（用含m的代数式表示）； （2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值； （3）①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值； ②若-3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一次月考 初四数学试题 第I卷 （选择题 共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题只有一个正确选项） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. y＝x﹣1 B. y＝ C. y＝（x﹣1）2﹣x2 D. y＝﹣2x2＋1 【答案】D 【解析】 【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答． 【详解】解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误； B、该函数是反比例函数，故本选项错误； C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x＋1，属于一次函数，故本选项错误； D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为0，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵该函数分母含有二次根式，要使式子有意义，需同时满足二次根式被开方数非负，分母不为0， ， 解不等式得：． 3. 如图，已知：在中，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，先在中利用角的邻补角求出、的长度，再在中利用勾股定理计算的长度． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ． 4. 如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ） A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡 C. 梯子的长度决定倾斜程度 D. 梯子倾斜程度与的函数值无关 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误； B选项，cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确； C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误； D选项，梯子倾斜程度与的函数值有关，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小． 5. 对于，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 先将原函数化为顶点式，再由函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确，符合题意；D不正确，不符合题意； ∵， ∴开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，故C不正确，不符合题意， 故选：B． 6. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，作于，作于，解得到，再证明，即可解求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作于，作于，如图： 依题意得：， 在中，，，， ， ，，且， ， 在中，，，， ，即：， 解得：， 点C在尺上的读数约为， 故选：C． 8. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么设等腰三解形的腰长等于（ ） A. 6或3 B. 6或12－2 C. 12－2 D. 3 或12－2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，某一内角的余弦值为，不确定此角为顶角还是底角，因此应分情况进行求解即可； 【详解】（1）设腰长为a，底边长为b，如果此角为底角，余弦值为，做底边的高，可得 则b＝a 又∵2a＋b＝20 ∴a＝6 （2）如果此角为顶角余弦值为，做腰上的高BE， 设AB＝AC＝3x，则AE＝2x，EC＝x， ∴BE＝x，BC＝x， ∴6x＋x＝20， ∴x＝， ∴AB＝3x＝12−2 故a＝6或12−2，故选B. 【点睛】此题考查分类讨论思想，应分情况进行讨论，列出相应的方程进行求解. 9. 阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．在中，使得，，延长到点D，使，连接，先利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后设，则，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】如图：在中，使得，， 延长到点D，使，连接， ∵是的一个外角， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，． 故选：A． 10. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，过点，下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤， 上述结论中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系，分别判断a，b，c的符号， 即可判断①；求出时的函数值，即可判断②；把代入，即可判断③；求出函数的最大值，即可判断④；根据，，即可得出，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为：， ∴， ∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∴， 故①不正确， ∵，当时，， ∴当时，， ∴， 故②不正确， ∵， ∴， 故③正确， ∵当时，，， ∴函数的最大值为：， ∴， ∴， 故④正确， 由上知， ，， ∴， 故⑤不正确， 综上：③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 第II卷 （非选择题 共70分） 二、填空题（每小题3分，共15分．只要求填写最后结果） 11. 将抛物线向上平移3个单位，向右移动1个单位，所得抛物线的解析式是______ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位，所得抛物线的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 12. 如图，在正方形网格中，的顶点都落在格点上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交延长线于点D，过点B作于点E，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求出，解直角三角形求出，得到，进而得到，即可求出，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于点D，过点B作于点E， 由网格的特点可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度米，米．广告牌的高度是_____米（保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】过B作，垂足为F，则四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出的长，然后根据即可求出广告牌的高度． 【详解】解：过B作，垂足为F，则四边形为矩形，， ∵山坡的坡度， 设米，则（米）， 在中， ∴， ∴， ∴米，米， ∴（米）． ∵， ∴米． ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴广告牌的高度是米． 14. 已知抛物线，则的最大值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵二次项系数， ∴当时，有最大值为4． 15. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，将线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若，，则．其中正确的结论有___________（填正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明△≌△，可得，，，根据三角形内角和定理可判断①正确；在Rt△中，，即，从而判断②正确；③证明，故可判断③错误；连接AC与BD交于点O，计算可得CO＝9，根据正弦定理可判断④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴△是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 在△和△中， ∴△≌△（SAS）， ∴，， ∴， 即△是直角三角形， ∵四边形ABCD是正方形，E在对角线BD上， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； 在Rt△中，， 在Rt△中，， ∴，故②正确； 若，则， 在Rt△中，， ∵， ，故③错误； 连接AC与BD交于点O，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EOC＝90°，且是等腰直角三角形， ∵ ∴ CO＝， ∵， ∴sin∠DEC＝，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形等知识，解本题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（共55分．要有必要的解答过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可求解； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可求解． 熟记特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知：如图，在中，是边上的高，， ，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可以分别表示出、的长，从而可以得到的长． 【详解】解：∵在中, 是边上的高, ， ， ， ． 18. 图，已知点，在抛物线上． （1）求的值． （2）在轴上找一点，使得点到两点的距离之和最小，并求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）把、的坐标代入即可求出、； （2）找出点的位置，求出直线的解析式，再求出与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把分别代入，得 . 点在第一象限， ． 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 设直线的表达式为． 把分别代入，得 解得 ． 令，则 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和轴对称-最短路线问题，能找出点的位置是解决问题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 20. 补给船在点处接到命令，要求它向正在航行的军舰运送物资．已知军舰在补给船的西北方向海里的点处，正以每小时海里的速度向南偏东度的方向航行．如果补给船立即沿正西方向航行，恰好能在点处与军舰相遇，求补给船行驶的路程和时间．（结果保留根号） 【答案】补给船行驶的路程为海里，行驶的时间为小时 【解析】 【分析】过点作于点，设海里，由题意可得，进而解直角三角形得海里，又由是等腰直角三角形得海里， 即得，解方程求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，设海里， 题意可知，， 在中，（海里），（海里）， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴（海里）， （海里）， ∵海里， ∴， 解得， ∴海里，海里， ∵军舰以每小时海里的速度航行， ∴补给船行驶的时间为小时， 答：补给船行驶的路程为海里，行驶的时间为小时． 21. 如图1，在中，，，，则，现将沿折叠，得到，如图2，易知、、三点共线，（其中）． 过点作于点． ， ， ， ， ， ． 阅读以上内容，回答下列问题： （1）如图1，若，则_____，_____； （2）类比题干方法，求出的表达式（用含或的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，即可求解； （2）根据题意可得，在中，可得，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，∵，，， ∴， ； 【小问2详解】 解：根据题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上． （1）n=________（用含m的代数式表示）； （2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值； （3）①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值； ②若-3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4，求m的值． 【答案】（1）3m-9；（2）m=4，n=3和m=6，n=9；（3）①n；②m=2． 【解析】 【分析】（1）求出点A坐标（-3，0）代入抛物线解析式即可． （2）利用配方法求出顶点坐标，代入直线解析式即可． （3）分三种情形①当≤-3时②当-3＜≤0时③当＞0时，分别列出方程即可解决． 【详解】解：（1）∵点A坐标（-3，0）代入抛物线y=x2+mx+n，得9-3m+n=0， ∴n=3m-9． 故答案为3m-9． （2）∵抛物线为y=x2+mx+3m-9=， ∴顶点为（）， ∴， 整理得m2-10m+24=0， ∴m=4或6． ∴m=4，n=3和m=6，n=9． （3）∵-3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4，y=x2+mx+3m-9= +3m-9， ①当≤-3时，x=-3时，y=-4， ∴9-3m+3m-9=-4， 无解不合题意． ②当-3＜≤0时，x=时，y=-4， ∴-+3m-9=-4， ∴m=2或-10（舍弃） ∴m=2． ③当＞0时，x=O时，y=-4， ∴3m-9=-4， ∴m=不合题意舍弃． 综上所述m=2． 【点睛】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $