三角恒等变换与三角函数的性质、平面向量、解三角形综合专项训练-2026届高三数学二轮复习

三角恒等变换与三角函数的性质、平面向量、解三角形综合专项训练 三角恒等变换与三角函数的性质、平面向量、解三角形综合专项训练 考点目录 三角恒等变换与三角函数的性质综合 三角恒等变换与平面向量综合 三角恒等变换与解三角形综合 考点一 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1．（2026·河北·一模）已知函数 的最小正周期为，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】 . 由题意知，，因为，所以. 例2．（25-26高三下·上海·月考）若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2026个零点，则满足条件的正整数的值的个数共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【详解】， 令，则函数可转化为，， ， 而，， （1）若，则，，故在仅有一个零点， 因为在中，有且只有两个解，且这个两个解在中， 故若在内恰有2026个零点，需或. （2）若，则，， 故在两个零点，或， 因为在中，只有一个解为， 有且只有两个解，且这个两个解在中， 而，故，但当时， 、在内恰有个零点，不合题意， 此时不存在使得、在内恰有2026个零点. （3）若，则，， 故在两个零点，或， 在上有且只有两个不同的解，且均在中， 有且只有两个不同的解，且均在中， 因、在内恰有2026个零点，故. （4）若，则，， 故在两个零点，或，同（2）分析得. （5）若，则，， 故在上有一个零点， 因在内恰有2026个零点，同（1）分析得或， 所以满足条件的正整数的值为，共5个. 例3．（25-26高三上·广东珠海·月考·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．若周期是，则其对称轴方程为， C．若，则在区间单调递增 D．若方程在上有三个根，则 【答案】ACD 【详解】, 由于,，故是奇函数，A正确； 若周期是，则，即， 令，则 则的对称轴方程为，B错误； 若，则，在区间单调递增，C正确； ，即，即， 则或， 解得或， 当时，或；当时，或；当时，或； 由于，在上有三个根，故，解得，D正确， 故选：ACD 例4．（25-26高三上·山西运城·期末·多选）已知函数的最小正周期是，则（    ） A． B．在上的最大值是 C．是的一条对称轴 D．在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A选项，， 因为该函数的最小正周期为，故，所以，A正确； 对于B选项，当时，， 当时，取得最大值，B错误； 对于C选项，当时，，此时函数取得最大值， 所以是函数的对称轴，C正确； 当时，，在上单调递增， 故函数在上单调递增，D对. 故选：ACD. 例5．（2026·山东潍坊·模拟预测）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 【答案】 【详解】 ， 当时，， 由题意可得，即， 故实数的最大值为. 故答案为：. 例6．（2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______． 【答案】 【详解】 ， 其中，故的最大值为． 变式1．（2026·天津河西·一模）已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，， 因为为的一条对称轴，所以，，即， 设函数的周期为，由在区间上单调递增，则，即， 所以，即， 所以或或或， 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，满足题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 综上，，. 当时，， 当时，，即， 所以方程等价于，即， 所以或， 解得或， 当时，在区间上，时，，时，，时，； 当时，在区间上，时，，时，，时，； 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的图象关于直线轴对称，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】易知 ， 因为函数的图象关于直线轴对称，所以，， 解得，，又，故，可得. 故选：C. 变式3．（2026·山西临汾·一模·多选）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的零点之和为 D．函数的零点个数为11个 【答案】BCD 【详解】 . 由图象可知，，所以，即，解得. 所以，又图象经过点，且在处递增趋势， 所以，，解得，， 因为，所以. 所以. 选项A：令，，则，， 即函数的对称轴为，，故不满足，A错误. 选项B：当时，， 又在上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确. 选项C：令，即，，解得，， 又，所以或，零点之和为，故C正确. 选项D：函数定义域为. 令，则， 易知，最小正周期为. 令，，， 在定义域上单调递增，所以大致图像如下： 由图可知，曲线与有11个交点，故D正确. 变式4．（25-26高三下·广东江门·开学考试·多选）已知函数，则正确的有（    ） A．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称 B．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于原点对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】由， A：为偶函数，对， B：为非奇非偶函数，错， C：，则，显然在区间上单调递增，对， D：，，则，显然在区间上单调递增，对. 变式5．（25-26高三上·天津蓟州·月考）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值_______． 【答案】 【详解】函数. 由，图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得的最小正周期为，所以. 若，则. 因为，所以，所以. 所以. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，在上有且仅有3个不同的零点，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】化简函数的解析式为. 因为函数在上有且仅有3个不同的解，即在上有且仅有3个不同的解. 令，解得. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 因为函数在上有且仅有3个不同的解，所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 考点二 三角恒等变换与平面向量综合 例1．（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 例2．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量， 则， 当时，取最小值. 例3．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 例4．（25-26高三上·广东广州·月考）已知向量，且，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 所以 ， 由，所以，即， 所以, 解得，又， 所以, 故答案为：. 例5．（25-26高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________． 【答案】 【详解】由题可知，. 所以. 所以. ①将代入，可得 ② ，其中，是锐角. 因为，所以，所以 所以当时，取得最大值 ，取得最大值 ，即的最大值为. 故答案为：①，②. 变式1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 变式2．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在中，点为边上一点，已知， 所以，即， 而，所以，解得. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·河北张家口·月考）已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题， ， 所以 ， 所以， 令，则，. 所以时取得最大值为. 故选：B 变式4．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知向量，且，则__________． 【答案】2 【详解】因为向量， 则， 即，可得， 则， ， 可知向量，且， 所以. 故答案为：2. 变式5．（25-26高三上·福建厦门·月考）在中，，，．P为所在平面内的动点，且，若，的最大值为________． 【答案】14 【分析】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再利用数量积的坐标公式计算即可. 【详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以设， 则 ， 其中， 所以的最大值为14. 故答案为：14 考点三 三角恒等变换与解三角形综合 例1．（2026·广东东莞·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，将，代入可得， 则， 因为，所以， 所以的面积为； （2）由余弦定理及可得， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 即， 化简可得. 例2．（25-26高三下·河南周口·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 因为，即，所以， 所以，化简可得， 则，即， 所以或（舍去） 故成立； （2）若，则，， 因为，所以，， 设，则， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知， 当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 例3．（2026·江西赣州·模拟预测）已知锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 整理得. 由正弦定理，得. 由余弦定理的推论，得. 因为，所以. （2）由（1）知，所以，所以. 所以 . 由，得. 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以. 所以的取值范围是． 例4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）锐角三角形的内角的对边分别为，且满足． (1)求角； (2)设为锐角三角形的垂心，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由条件知：，由正弦定理可得， 所以，则； （2）设AD垂直于BC于D，BE垂直于AC于E，AD与BE交于垂心H， 则，故， 有，则， 设外接圆半径为，在中用正弦定理： ， 故， 所以. 变式1．（2026·湖北宜昌·模拟预测）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 且， 所以，整理得， 即. 所以或. 因为，所以，所以. 所以，所以，. （2）因为，， 所以由余弦定理，得 ，即，，所以. 所以. 所以的面积为. 变式2．（2026·天津和平·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)已知． （i）若的外接圆半径为，，求的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【详解】（1）由，整理得， 由余弦定理，故； （2）由正弦定理可得，由，则， 即，所以，； （i）由，故， 由正弦定理可得，故，则，故； （ii）由可知，故，，由， ， 故． 变式3．（2026·广西北海·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角B及的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 即有， 由正弦定理可得， 则， 又，故； 由，则，故， 则 ； （2）由正弦定理，可得， 则. 变式4．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，求A. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）因为，可得， 整理可得， 由正弦定理可得. （2）因为，即， 则， 又因为，则，可得， 即，可得， 即，可得， 且，则， 可得，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角恒等变换与三角函数的性质、平面向量、解三角形综合专项训练 三角恒等变换与三角函数的性质、平面向量、解三角形综合专项训练 考点目录 三角恒等变换与三角函数的性质综合 三角恒等变换与平面向量综合 三角恒等变换与解三角形综合 考点一 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1．（2026·河北·一模）已知函数 的最小正周期为，则（    ） A． B． C．2 D．1 例2．（25-26高三下·上海·月考）若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2026个零点，则满足条件的正整数的值的个数共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 例3．（25-26高三上·广东珠海·月考·多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．若周期是，则其对称轴方程为， C．若，则在区间单调递增 D．若方程在上有三个根，则 例4．（25-26高三上·山西运城·期末·多选）已知函数的最小正周期是，则（    ） A． B．在上的最大值是 C．是的一条对称轴 D．在上单调递增 例5．（2026·山东潍坊·模拟预测）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 例6．（2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______． 变式1．（2026·天津河西·一模）已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的图象关于直线轴对称，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 变式3．（2026·山西临汾·一模·多选）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的零点之和为 D．函数的零点个数为11个 变式4．（25-26高三下·广东江门·开学考试·多选）已知函数，则正确的有（    ） A．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称 B．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于原点对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 变式5．（25-26高三上·天津蓟州·月考）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值_______． 变式6．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，在上有且仅有3个不同的零点，则的取值范围为___________． 考点二 三角恒等变换与平面向量综合 例1．（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 例3．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·广东广州·月考）已知向量，且，则的值为______． 例5．（25-26高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________． 变式1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·河北张家口·月考）已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 变式4．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知向量，且，则__________． 变式5．（25-26高三上·福建厦门·月考）在中，，，．P为所在平面内的动点，且，若，的最大值为________． 考点三 三角恒等变换与解三角形综合 例1．（2026·广东东莞·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 例2．（25-26高三下·河南周口·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 例3．（2026·江西赣州·模拟预测）已知锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 例4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）锐角三角形的内角的对边分别为，且满足． (1)求角； (2)设为锐角三角形的垂心，求的值． 变式1．（2026·湖北宜昌·模拟预测）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 变式2．（2026·天津和平·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)已知． （i）若的外接圆半径为，，求的值； （ii）求的值． 变式3．（2026·广西北海·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角B及的值； (2)若，求的面积． 变式4．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，求A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $