第10章 第10节 用向量法求二面角-【高考零起点】2026年新高考数学总复习教用课件（艺考）

该高中数学高考复习课件聚焦“用向量法求二面角”核心考点，依据高考评价体系梳理了法向量求解、二面角与法向量夹角关系判断等考查要求。通过分析立体几何解答题中该考点的高频出现规律，归纳出“建系求法向量—计算夹角余弦—结合图形判断钝锐角”的常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识梳理+典例精析+巩固练习”的实战体系，如以四棱锥模型为例，详细演示坐标系建立、法向量计算及二面角判断过程，培养学生的空间观念和数学思维素养。通过巩固练习中正方形底面四棱锥等高考典型题型训练，帮助学生掌握向量法解题技巧，提升得分率，为教师提供系统复习指导。

第十章　立体几何 第十节　用向量法求二面角 生物 1 目 录 ONTENTS C [典例精析] [知识梳理] [巩固练习] 生物 2 知 识 梳 理 生物 3 用向量法求二面角的基本步骤：先分别求出两相交平面的法向量n1，n2，则由这两个平面所形成的二面角θ与向量n1，n2的夹角相等或互补，且. 我们求法向量时，一般不会考虑法向量的方向，这时我们可用观察法确定所求二面角是锐角还是钝角. 如果观察到二面角为锐角，则最后求得的余弦取其绝对值；如果观察到二面角为钝角，则最后求得的余弦取其负值，叙述的时候用“结合图形可知”来说明即可. 返回 第十节　用向量法求二面角 4 典 例 精 析 生物 5 例　如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点. 返回 第十节　用向量法求二面角 6 (1)证明：平面PAD⊥平面PCD； 答案 ∵PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，∴PA⊥CD.又依题意有CD⊥AD，∴CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD. 又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD. 返回 第十节　用向量法求二面角 7 (2)求AC与PB所成角的余弦值； 答案 依题意，AD，AB，AP两两互相垂 直，以A为坐标原点，AD，AB，AP 分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所 示空间直角坐标系，则各点坐标分别 为A(0，0，0)，B(0，2，0)， C，D，P，M. 返回 第十节　用向量法求二面角 8 ∴＝(1，1，0)，＝(0，2，－1).设两向量所成的角为θ，∴cos θ＝. 又θ∈，∴AC与PB所成角的余弦值为. 答案 返回 第十节　用向量法求二面角 9 (3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值. 答案 由(2)有＝(1，1，0)，＝(1，－1，0). 设平面AMC的法向量n1＝(x，y，z)， 由n1·＝0得 －x＋＝0， 由n1·＝0得x＋y＝0， 取x＝1，得y＝－1，z＝2，从而n1＝(1，－1，2). 返回 第十节　用向量法求二面角 10 同理，设平面BMC的法向量为n2， 由n2·＝0，n2·＝0可得n2＝(1，1，2). 设n1与n2所成的角为θ，则cos θ＝. 结合图形可知，所求二面角为钝角，∴平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为－. 答案 返回 第十节　用向量法求二面角 11 巩 固 练 习 生物 12 1. 如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝. 返回 第十节　用向量法求二面角 13 (1)求证：BC⊥SC； 答案 ∵四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，∴BC⊥DC，BC⊥SD ∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. 返回 第十节　用向量法求二面角 14 (2)求平面ASD与平面BSC所成二面角的大小. 答案 分别以DA，DC，DS所在的直线为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)， ∴＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，0). 设平面BSC的法向量n＝(x，y，z)，则 则x＝0，令y＝1，则z＝1，故n1＝(0，1，1). 又显然平面ASD的一个法向量n2＝(0，1，0)， ∵cos＜n1，n2＞＝， ∴平面ASD与平面BSC所成二面角为45°. 返回 第十节　用向量法求二面角 15 2. 如图，在底面是直角梯形的四棱 锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA ⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1， AD＝. (1)求四棱锥S－ABCD的体积； 答案 返回 第十节　用向量法求二面角 16 (2)求平面SCD与平面SBA所成的二面角的正切值. 答案 分别以AD，AB，AS所在的直线为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，S(0，0，1)，B(0，1，0)，D，C(1，1，0)，∴＝(1，1，－1). 返回 第十节　用向量法求二面角 17 设平面CSD的法向量n1＝(x，y，z)，则 令x＝2，则y＝－1，z＝1，故n1＝(2，－1，1). 又显然平面SBA的一个法向量n2＝(1，0，0)， ∴cos＜n1，n2＞＝. ∴平面SCD与平面SBA所成二面角的余弦值为， ∴正切值为. 答案 返回 第十节　用向量法求二面角 18 感谢聆听 19 $