第10章 第7节 空间几何体的表面积与体积-【高考零起点】2026年新高考数学总复习教用课件（艺考）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间几何体的表面积与体积”专题，依据高考评价体系梳理了圆柱、圆锥、球等表面积体积公式，球的内接多面体（直三棱柱、三棱锥）及点面距等核心考点，通过近五年真题分析明确球的外接问题、体积计算等高频考点分布，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”策略，如以2019全国Ⅰ卷三棱锥外接球题为例，用补形法转化为长方体模型，培养学生的空间观念和数学思维。特设等体积法求点面距、正弦定理求外接圆半径等技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第十章　立体几何 第七节　空间几何体的表面积与体积 生物 1 目 录 ONTENTS C [典例精析] [知识梳理] [巩固练习] 生物 2 知 识 梳 理 生物 3 1. 几何体的侧面积与体积公式 几何体 面积公式 体积公式 备注 圆柱 (侧面积)S＝2πrl V＝Sh (1)面积公式中，r与r'均为底面半径，l为母线长；体积公式中，S与S'均为底面面积，h为几何体的高. R为球的半径 (2)表面积问题从根本上讲是侧面积问题 (3)棱台的体积公式与圆台相同 圆锥 (侧面积)S＝πrl V＝Sh 圆台 (侧面积)S＝π(r＋r')l V＝h(S＋＋S') 球 (表面积)S＝4πR2 V＝πR3 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 4 　　2.球的内接多面体 (1)相关概念 ① 内接多面体： 如果一个多面体的每个顶点都在一个球面上，这个多面体叫做这个球的内接多面体，这个球叫做这个多面体的外接球. ②外心：如果一个多边形有外接圆，这个外接圆的圆心叫做这个多边形的外心.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点(锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部)，长方形的外心是其对角线的交点. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 5 (2)球心位置的确定 如果一个多面体有外接球， ①对于这个多面体中的每一个面，外接球的球心都在过这个面的外心且与这个面垂直的直线上. ②外接球的球心在该多面体任意一条棱的中垂面上. (3)一个直三棱柱一定有外接球，球心是两个底面三角形外心连线的中点；反过来，一个球如果有内接三棱柱，则该三棱柱一定为直三棱柱. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 6 (4)球的内接三棱锥 ①对于三棱锥P－ABC，如果PA＝PB＝PC， 则P点在底面ABC上的射影O是△ABC的外心. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA ＝PB＝PC，PO⊥底面ABC，于是， ∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所 以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC， 故OA＝OB＝OC，O为△ABC的外心. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 7 ②有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处. 如图，在Rt△BAD和 Rt△BCD中，BD为它们公共的 斜边，O为BD中点.因为直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一 半，故有OA＝OB＝OC＝OD， 所以O为三棱锥A－BCD外接球的球心. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 ③ 如果一个三棱锥有一条棱垂直于这个三棱锥的一个面，则这个三棱锥的外心就是这个三棱锥所在直三棱柱的外心(直三棱柱可通过三棱锥补形得到).如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，右图是通过三棱锥D－ABC补形得到的直三棱柱ABC－DEF，则三棱锥和直三棱柱的外接球的球心相同，都是直三棱柱两个底面外心连线O1O2的中点O. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 特别地，如果一个三棱锥的三条棱两两互相垂直，则这个三棱锥的外接球的球心不仅与其所在直三棱柱的外接球的球心相同，还与其所在长方体的外接球的球心相同，并且将三棱锥补形为长方体更便于解题(此时三棱锥外接球的球心就是长方体的中心).如果三条互相垂直的棱的长度分别为a，b，c，则由长方体对角线公式，该三棱锥外接球半径R＝ . 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 (5)外接球半径的一般计算方法 ① 设多面体某个面的外接圆(外接 球的一个小圆)圆心为H，半径为r，该 多面体的外接球球心为O，不难有OH ⊥☉H.设OH＝d，则外接球半径R＝ . 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 ② 对于一般三角形，常通过正弦定理来计算三角形的外接圆半径. 所用到的公式为 ＝2R (R为△ABC的外接圆半径). 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 3. 正n棱锥 正n棱锥是指底面是正n边形，侧棱相等的棱锥；直棱柱是指侧棱垂直于底面的棱柱；正n棱柱是指底面是正n边形的直棱柱(n∈N*且n≥3). 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 4.点面距问题 (1)熟练学会过平面外一点向一个平面引垂线的方法，这个方法可以用来找到点到面的距离. 作法是找到过这个点与这个平面垂直的另外一个平面β，然后过该点在平面β内作两个平面交线的垂线，垂线段的长度便是该点到平面的距离. 如图，要过P点向平面α引垂线， 只需找到过P点与平面α相交的一个 垂面β，然后在垂面β内过P点向两个 平面的相交线AB引垂线，垂足为Q， 则PQ的长即为P点到平面α的距离. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 (2)等体积法. 该法也可用来求点面距问题，通常是通过更换三棱锥的顶点和底面来求解. (3)如果一条直线l和一个平面α平行，则直线l上所有的点到平面α的距离相等. 这样我们求直线l上某点到平面α的距离，只需求出这条直线上另外一个特殊点到平面α的距离即可. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 典 例 精 析 生物 17 例1　如图所示圆柱中，母线PB＝2，AB为底面圆的直径，C为底面圆上一点，BC＝1，PA与底面所成的角为45°.求： 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 18 (1)三棱锥P－ABC的体积； 答案 因为AB为底面圆的直径，所以∠ACB＝90°，依题意，PB⊥☉O， ∴∠PAB＝45°，故Rt△PAB为等腰直角三角形，故AB＝2. 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC＝，V三棱锥P－ABC＝S△ABC·PB＝×××1×2＝. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 19 (2)圆柱的体积； 答案 显然母线PB是圆柱的高， ∴V圆柱＝S☉O·PB＝π·12·2＝2π. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 20 (3)圆柱的全面积. 答案 圆柱的侧面积S1＝2π·OB·PB＝2π×1×2＝4π， 圆柱的两个底面面积之和S2＝2π·OB2＝2π， ∴圆柱的全面积S＝S1＋S2＝6π. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 21 例2　如图，已知圆锥的母线和底面所成的角为60°，高为2，P为顶点，O为底面圆心，求圆锥的全面积和体积. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 22 显然PO⊥底面，∴PO＝2，∠PBO＝60°， 故OB＝2，又∠POB＝90°，由勾股定理可知PB＝4，底面面积S1＝π·BO2＝4π. 圆锥的侧面积S2＝π·OB·PB＝π×2×4＝8π. ∴圆锥的全面积S＝S1＋S2＝12π. 圆锥的体积V＝S1·PO＝×4π×2. 答案 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 23 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 24 (1)求证：DE∥平面PBC； 答案 如图，取PB的中点F，连接EF，CF. ∵CD綊EF，∴四边形CDEF是平行 四边形， 于是DE∥CF，又CF⊂平面PBC， 故DE∥平面PBC. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 25 (2)求三棱锥A－PBC的体积. 答案 如图，取AD的中点H，连接PH， 则PH⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， ∴PH⊥平面ABCD. 于是V三棱锥A－PBC＝V三棱锥P－ABC＝ S△ABC·PH＝××4×2×. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 26 例4　如图，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AB＝AD＝，CA＝CB＝CD＝BD＝2. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 27 (1)求证：BD⊥AC； 答案 如图，连接AO，CO，依题意， BD⊥AO，BD⊥CO， ∴BD⊥平面AOC. 又AC⊂平面AOC， 故BD⊥AC. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 28 (2)求三棱锥E－ADC的体积. 答案 如图，连接OE，则有OE∥平面ADC. 于是O，E到平面ADC的距离相等. 又由题意得AO＝1， CO＝，AC ＝2，AO2＋CO2＝AC2， ∴∠AOC＝90°. 故V三棱锥E－ADC＝V三棱锥O－ADC＝ V三棱锥D－AOC＝S△AOC·OD＝××1××1＝. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 29 例5　如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝，SE⊥AD. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 30 (1)证明：平面SBE⊥平面SEC； 答案 由题设，经计算得BE＝2，CE＝2，BC＝4，从而BE2＋CE2＝BC2，∴EC⊥BE. 又依题意，平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD，故SE⊥平面ABCD， 又CE⊂平面ABCD，∴SE⊥CE. 于是CE⊥平面SBE. 又CE⊂平面SEC， 故平面SBE⊥平面SEC. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 31 (2)若SE＝1，求E到平面SBC的距离. 答案 方法一(等体积法)： 由题设计算得SC＝， SB＝， BC＝4， ∴cos∠SBC＝. 于是sin∠SBC＝， S△SBC＝SB·BC·sin∠SBC＝××4×＝4. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 32 又△BEC是直角三角形，S△BEC＝BE·EC＝×2×2＝2， 设E到平面SBC的距离为h，由V三棱锥E－SBC＝V三棱锥S－BEC得 S△SBC·h＝S△BEC·SE， 即h＝. 答案 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 33 方法二：如图，在△BEC中，过E作EF⊥BC，相交BC于F，连接SF，在△SEF中过E作EH⊥SF相交SF于H. ∵BC⊥EF， BC⊥SE，∴BC⊥平面SEF. 又BC⊂平面SBC，于是平面SEF⊥平面SBC， 答案 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 34 故EH为E到平面SBC的距离. EF是直角三角形BEC斜边上的高， EF＝， 同样，EH在直角三角形SEF中是斜边SF上的高，∴EH＝. 答案 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 35 例6　已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7， PB＝5， PC＝， AC＝10. 求球O的体积. 答案 依题意，AC2＝PA2＋PC2，∴PA⊥PC. 又AB⊥BC，取AC中点O，有OA＝OB＝OC＝OP， 即O为该四面体外接球的球心， ∴R＝AC＝5. 故球的体积V＝πR3＝π. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 36 例7　一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，此球的表面积为(　　) A. 3π B. 4π C. 3π D. 6π 答案 A 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 37 如图，四面体A－BCD中，A，B，C，D均在同一球面上，设△BCD的外心为O'，∵四面体为正三棱锥，∴AO'⊥平面BCD，球心O一定在线段AO'上，连接OD. 等边三角形BCD中BC边上的高为，DO'＝×. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 38 在Rt△AO'D中，AO'＝， 设球的半径为R，显然OA＝OD＝R， 在Rt△OO'D中，有OO'2＋DO'2＝OD2， 即＝R2，解得R＝ ，S球＝4πR2＝4π×＝3π. 故选A. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 39 例8　已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，该球的表面积为(　　) A. 16π B. 24π C. 32π D. 48π 答案 D 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 40 设△ABC的重心为P，则P也为△ABC的外心，过P作直线l⊥平面ABC，则球心必在直线l上，又球心在AD的中垂面上，设此中垂面与l的相交点为O，与AD的相交点为E. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 41 ∵l⊥平面ABC，DA⊥平面ABC，∴l∥AD. 故A，P，O，E四点共面，又OE所在的中垂面与底面ABC均垂直于AD，故这两个平面平行，于是直线OE与直线AP没有交点，从而OE∥AP，故四边形APOE为平行四边形，且为矩形.连接OA，则OA为球的半径，设为R. 在Rt△APO中，OP＝AE＝AD＝3， AP＝AB·，由勾股定理得R＝2. 故球的表面积S＝4πR2＝48π.故选D. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 42 例9　已知球的表面积为20π，球面上有A，B，C三点.如果AB＝AC＝2，BC＝2，则球心到平面ABC的距离为(　　) A. 1 B. C. D. 2 答案 A 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 43 设球的半径为R，由4πR2＝20π得R＝. 依题意得△ABC中底边BC上的高为1，∴sin∠ABC＝.由正弦定理＝2r(r为△ABC外接圆的半径)，解得r＝2.设△ABC的外心为H，则OH⊥平面ABC，于是OH⊥AH.又AH＝r＝2，OA＝R＝，易得OH＝1，故选A. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 44 例10　 (2019全国Ⅰ卷)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为 (　　) A. 8π B. 4π C. 2π D. π 答案 D 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 45 设PA＝PB＝PC＝a，E，F分别是PA，AB的中点，于是EF＝a. 又CF为正三角形ABC的高，故CF＝ ×2＝，∵∠CEF＝90°， ∴CE2＝CF2－EF2＝3－. 如图，取AC中点D，连接PD，显然PD⊥AC. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 46 在Rt△PAD中，cos ∠PAD＝， 在△AEC中，由余弦定理有 cos∠PAD＝， 故，解得a＝. 接下来有两种处理方法. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 47 方法一：由于侧棱长均为，底面边长均为2，∴三个侧面都为等腰直角三角形，则球的半径为 R＝， 于是球的体积V＝πR3＝π， 故选D. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 48 方法二：设△ABC的重心为O'，连接PO'，∵P－ABC是正三棱锥，∴PO'⊥平面ABC.又CF是中线，所以O'在CF上，则CO'＝2O'F， CO'＝×，∴PO'＝. 又球心O一定在线段PO'上，设球的半径为R，连接OC，显然OP＝OC＝R， 由＝R2，解得R＝. ∴球的体积V＝πR3＝π， 故选D. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 49 巩 固 练 习 生物 50 一、选择题 1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A. 12π B. 12π C. 8π D. 10π 答案 B 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 51 依题意，底面直径和母线长均为2，于是底面半径为，故圆柱侧面积S＝2π··2＝8π，又底面面积为2π，有两个底面，所以表面积为12π.故选B. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 52 2. 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　) A. 3 B. C. 1 D. 解析 答案 C 由题意可知AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin 60°＝，∴ AD·×××2×＝1.故选C. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 53 3. (2024新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A. 2π B. 3π C. 6π D. 9π 解析 答案 B 设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，∴2πr×＝πr×即2，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 54 4.(2023全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等 边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该三棱锥的体积为(　　) A.1 B. C. 2 D. 3 答案 A 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 55 取AB中点E，连接PE，CE，如图. ∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2， ∴PE⊥AB，CE⊥AB，又PE，CE⊂平 面PEC，PE∩CE＝E， ∴AB⊥平面PEC. 又PE＝CE＝2×，PC＝， 故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE， ∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥B－PEC＋V三棱锥A－PEC＝S△PEC·AB＝××××2＝1.故选A. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 56 5.(2023新高考Ⅱ卷)(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则(　 　) A.该圆锥的体积为π B. 该圆锥的侧面积为4π C.AC＝2 D. △PAC的面积为 答案 AC 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 57 依题意，∠APB＝120°，PA＝2，∴OP＝1，OA＝OB＝， A选项，圆锥的体积为×π××1＝π，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为π××2＝2π，B选项错误； 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 58 C选项，设D是AC的中点，连接OD，PD，如图， 则AC⊥OD，AC⊥PD，∴∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，则∠PDO＝45°，∴OP＝OD＝1， 故AD＝CD＝，则AC＝2，C选项正确； D选项，PD＝， ∴S△PAC＝×2×＝2， D选项错误. 故选AC. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 59 6.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A. π B. C. D. 解析 答案 B 由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r＝，则圆柱体体积V＝πr2h＝. 故选B. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 60 7. (2020全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，☉O1 为△ABC的外接圆，若☉O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1， 则球O的表面积为(　　) A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 答案 A 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 61 如图，设圆O1半径为r，球的半径为R，依题 意得πr2＝4π，∴r＝2.∵△ABC为等边三角 形，由正弦定理可得AB＝2rsin60°＝2， ∴OO1⊥O1A，R＝OA＝ ＝4， ∴球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 62 8. (2020全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上. 若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A. B. C. 1 D. 答案 C 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 63 如图，设球O的半径为R， 则4πR2＝16π，解得R＝2. 设△ABC外接圆半径为r，边长为a， ∵△ABC是面积为的等边三角形，∴a2×，解得a＝3，∴r＝××，∴球心O到平面ABC的距离d＝＝1. 故选C. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 64 9.设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　) A. 12 B. 18 C. 24 D. 54 答案 B 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 65 如图，O为球心，F为等边三角形ABC的重 心，易知OF⊥底面ABC，当D，O，F三点 共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D－ ABC的高最大，体积也最大. 由S△ABC＝9得AB＝6， 在等边三角形ABC中，BF＝BE＝AB＝2. 在Rt△OFB中，易知OF＝2，∴DF＝6，故(V三棱锥D－ABC)max＝×9×6＝18.故选B. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 66 10. (2022新高考Ⅱ卷)(多选)如图，四 边形ABCD为正方形，ED⊥平面 ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB， 记三棱锥E－ACD，F－ABC， F－ACE的体积分别为V1，V2，V3， 则(　 　) A. V3＝2V2 B. V3＝V1 C. V3＝V1＋V2 D. 2V3＝3V1 答案 CD 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 67 如图，设AB＝ED＝2FB＝2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则V1＝·ED·S△ACD＝·2a··a3， V2＝·FB·S△ABC＝·a·· a3，连接BD相交AC于M，连接 EM，FM，易得BD⊥AC，又ED⊥ 平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 68 ED⊥AC，又ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF，又BM＝DM＝BD＝a，过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG＝BD＝2a，EG＝a，则EM＝a，FM＝a，EF＝＝3a，EM2＋FM2＝EF2，则EM⊥FM，S△EFM＝EM·FM＝a2，AC＝2a，则V3＝V三棱锥A－EFM＋V三棱锥C－EFM＝AC·S△EFM＝2a3，则2V3＝3V1，V3＝3V2，V3＝V1＋V2，故A，B错误，C，D正确.故选CD. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 69 11. 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是(　　) A. B. 16π C. 9π D. 答案 A 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 70 设四棱锥为P－ABCD，球的半径为R.依题意，ABCD为正方形且PA＝PB＝PC＝PD， 令正方形ABCD对角线的交点为H，则球心O在直线PH上.若R＜4，则O在线段PH上，由＋2＝R2，解得R＝； 若R＞4，则O在PH的延长线上，由＋2＝R2，解得R＝，不合题意；又依题意，R不可能为4，故球的半径为，则球的表面积为4π×.故选A. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 71 12. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A. B. 2 C. D. 3 解析 答案 C 设CB，C1B1的中点分别为M，N，则M，N为△ABC和△A1B1C1所在球的截面圆的圆心，于是，球心是MN的中点，故R＝.故选C. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 72 13. (2022新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 答案 A 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 73 设正三棱台上、下底面所在圆面的半径r1，r2，∴2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，∴d1＝，d2＝，故＝1或d1＋d2＝1，即＝1或＝1，解得R2＝25，符合题意，∴球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 74 14. (多选)已知三棱锥S－ABC的顶点均在表面积为8π的球O的 球面上，SA，SB，SC两两垂直，SA＝2，SB＝.则下列结论中正确的是(　 　) A. 球O的半径为 B. SC＝ C. S点到平面ABC的距离为 D. O点到平面ABC的距离为 答案 ABD 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 75 设球O的半径为R，由4πR2＝8π，得 R＝，故A正确； 将三棱锥S－ABC放置在长方体中， 如图所示， 由2R＝2， 得2，解得SC＝，故B正确； 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 76 ∵SA＝2，SB＝SC＝，∴AB＝AC＝，BC＝2， △ABC的面积为×2×， 设S到平面ABC的距离为d1，由等体积法可得 ××××2＝××d1，得S到平面ABC的距离d1＝，故C错误； 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 77 在△ABC中，cos∠BAC＝，sin∠BAC＝，设△ABC外接圆的半径为r， 则r＝， 又外接球的半径R＝，∴球心O到平面ABC的距离为d2＝，故D正确.故选ABD. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 78 二、填空题 1.(2023新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2， A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________.  答案 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 79 如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M， 易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高. ∵AB＝2，A1B1＝1，AA1＝， 则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝， AO＝AC＝×AB＝， 故AM＝， 则A1M＝， ∴所求体积为V＝×(4＋1＋)×.故答案为. 解析 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 2.(2023全国乙卷)已知S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________.  解析 答案 2 如图，将三棱锥S－ABC转化为直三棱柱 SMN－ABC. 设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r， 则2r＝＝2，可得r＝. 设三棱锥S－ABC的外接球球心为O，连接 OA，OO1，则OA＝2，OO1＝SA. ∵OA2＝O＋O1A2，∴4＝3＋SA2，解得SA＝2.故答案为2. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 81 三、解答题 (2011全国卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 82 (1)证明：PA⊥BD； 答案 ∵∠DAB＝60°，AB＝2AD， 由余弦定理得BD＝AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD， ∴BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 83 (2)设PD＝AD＝1，求三棱锥D－PBC的高. 答案 如图，作DE⊥PB，垂足为E， 已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC. 由(1)知BD⊥AD， 又BC∥AD，∴BC⊥BD. 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE. 则DE⊥平面PBC. 由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2， 根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝， 即三棱锥D－PBC的高为. 返回 第七节　空间几何体的表面积与体积 84 感谢聆听 85 $