8.2 立方根 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

立方根 　　1．一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的___________________； 　　2．正数有___个平方根，它们____________； 　　3．0的平方根是__________； 　　4．负数__________________. 两 互为相反数 0 没有平方根 平方根或二次方根 问题1　同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积50 L的．如果要生产这种容积为50 L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？ 解：设热水器容积的底面直径为x dm，则 ， 可得： ． 问题是什么数的立方会等于31.84呢？ 学生百思不得其解，教师在此处给出另一问题： 2 　　问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 解：设这种包装箱的边长为x m，则x3＝27． 这就是求一个数，使它的立方等于27． 因为33＝27， 所以x＝3． 即这种包装箱的边长应为3 m． 问题2　要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程： 设这种包装箱的边长为x m，则x3＝27． 这就是求一个数，使它的立方等于27． 因为33＝27， 所以x＝3． 即这种包装箱的边长应为3 m． 3 　　一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根． 　　在上面的问题中，由于33＝27，所以3是27的立方根． 　　求一个数的立方根的运算，叫做开立方．正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根． 　　你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？ 试一试： （1）学生回忆平方根的概念，并联系上面的问题，请学生归纳得出立方根的概念． （2）学生联系开平方的概念，给出开立方的概念． 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根． 在上面的问题中，由于33＝27，所以3是27的立方根． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根． 练一练：根据立方根的意义，求下列各数的立方根： ，－64， ，1，－1． 解： 设计意图：从学生生活实际中常见到的热水器引入课题，让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用． 4 　根据立方根的意义填空．你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？ 因为 ，所以8的立方根是（ ）； 因为　 ，所以0.064的立方根是（ ）； 因为 （0）3　=0 ，所以0的立方根是（ ）； 因为 （-2）3　=-8 ，所以－8的立方根是（ ）； 因为　　 ，所以　 的立方根是（ ）． 2 0 －2 0.4 0.4 探究：根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？ （1）因为23＝8，所以8的立方根是（ ）； （2）因为( )3＝0.064，所以0.064的立方根是（ ）； （3）因为( )3＝0，所以0的立方根是（ ）； （4）因为(　　　)3＝－8，所以－8的立方根是（ ）； （5）因为( 　　)3＝ ，所以 的立方根是（ ）． 5 立方根的特征： 　　正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 类似于平方根：一个数a的立方根，记作 ， 读作：“三次根号a”， 其中a叫被开方数，3叫根指数，3不能省略． 1．对于 ，可以进一步追问，除了2以外是否有其他的数，它的立方也等于8呢？ 归纳：没有． 2．思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个负数有几个立方根？零的立方根是什么？（学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性质） 归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 设计意图：通过找出一些数的立方值，再根据其逆运算过程确定某些数的立方根． 3．尝试用符号给出数a的立方根的表示方法．（ 并问a可以取什么数？） 类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．例如， 表示8的立方根， ＝2； 表示－8的立方根， ＝－2． 中的根指数3不能省略． 6 填空，你能发现其中的规律吗？ 因为 ＝ ，　　　 ． 所以 　　　　 ． 因为 ， ， 所以 一般地 ． －2 ＝ －2 －3 －3 ＝ 填空：因为 ， ，所以 ； 因为 ， ，所以 ． 答案：－2，－2，＝；－3，－3，＝． 7 例1　求下列各式的值： (1) （2） （3） 解：（1） ； （3） ． （2） ； 分析：根据立方根的意义求解． 8 例2　（1）求下列各数的平方根： ， 1， 0． （2）求下列各数的立方根． ， ， 1， 0，－1，－343，－0.729． 解：（1）平方根分别为：± ，±1，0． （2）立方根分别为： ， ，1， 0，－1，7，0.9． 设计意图：通过例题的讲解，进一步掌握会求一些数的立方根． 9 　　用计算器计算 ， ， ， ， ， 的值， 　你发现了什么？并总结出来． 　利用你前面发现的规律填空： 　已知 ，则 ＝＿＿＿＿， ＝＿＿＿＿． 1．实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如 ， 等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们． 10 由此发现：一个数扩大或缩小1 000倍时， 它的立方根扩大或缩小10倍． 分析：在用计算器求立方根时按键顺序是： ，被开方数，＝，这样即可显示出计算结果． 11 　用计算器计算 ， ， ， ， ， 的值， 你发现了什么？并总结出来． 利用你前面发现的规律填空： 已知 ， 则 ＝____， ＝_____． 设计意图：探究被开方数扩大或缩小与对应的立方根扩大或缩小的规律． 12 2．若 ，则　　　　　______． 1． -3是 的平方根， -3是______的立方根． 3．比校大小（用“＞”“＝”或“＜”填空） （1）　 _____ ； （3） ______ ； （4） ______ ． 9 -27 （2） ______ ； ＜ ＝ ＞ ＞ 1．－3是 的平方根，－3是 的立方根． 答案：9，－27． 2．若 ，则 ． 答案： ． 3．比校大小（用“＞”“ ＝”或“＜”填空） （1） ； （2） ； （3） ； （4）－ － ． 答案：＞，＝，＜，＞． 13 4．求下列各式的值： （1）　　 ；（2）　　　 ；（3）　 ；（4） 　　． 解：（1） 　　　　 ； （2） ； （4） ． （3） ； 设计意图：为学生提供演练机会，加强对立方根的理解及掌握． 14 　　这节课学习了立方根的概念，立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根．用计算器求任意数的立方根时，只要先求出该数的绝对值的立方根，再根据该数的正负决定其值，注意区分平方根与立方根． 这节课学习了立方根的概念，立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根．用计算器求任意数的立方根时，只要先求出该数的绝对值的立方根，再根据该数的正负决定其值，注意区分平方根与立方根． 设计意图：梳理本节课的主要知识点——立方根的概念和特征，让学生明确重难点． 15 感谢观看 16 $