第5章 第13节 正弦定理、余弦定理-【高考零起点】2026年新高考数学总复习教用课件（艺考）

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理、余弦定理”专题，依据高考评价体系梳理了解三角形、面积计算、边角互换等核心考点，通过近五年全国卷真题分析明确“边角互换乘高频考点占比达60%”，归纳出“已知两边一角求第三边”“利用面积公式求角度”等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+技巧提炼+素养培养”，如以2021全国乙卷“面积与余弦定理结合”题为例，示范“先求ac值再用余弦定理求b”的解题步骤，培养学生数学思维和推理能力。特设“易错点警示”如“大边对大角忽略导致多解”，帮助学生掌握答题技巧，教师可借助课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第五章　三角函数 第十三节　正弦定理、余弦定理 生物 1 目 录 ONTENTS C [典例精析] [知识梳理] [巩固练习] 生物 2 知 识 梳 理 生物 3 如图，在△ABC(角A，B，C所对的边分别为a，b，c)中有： 1.正弦定理 ＝2R (R为△ABC的外接圆半径)； 常用的变式有. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 4 2. 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A. b2＝a2＋c2－2accos B. c2＝a2＋b2－2abcos C. 常用的变式有cos A＝，cosB＝，cosC＝. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 5 简言之，余.弦.定.理.是.已.知.一.个.三.角.形.的.两.边.和.这.两.边.的.夹.角.求.第.三.边.的.运.算.；.而.余.弦.定.理.的.变.式.则.告.诉.我.们.已.知.一.个.三.角.形.的.三.边.可.以.求.出.任.意.一.个.角.的.余.弦.. 3. 三角形的面积公式 S＝absin C＝bcsin A＝acsin B. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 6 4. 由于在△ABC中有A＋B＋C＝π，所以由诱导公式不难有： sin(A＋B)＝sin C　　　　 cos(A＋B)＝－cos C　　　　 tan(A＋B)＝－tan C 5. 边角互换 在△ABC中(角A，B，C所对的边分别为a，b，c)，边角互换是指在一个关于a，b，c的齐次方程中，a，b，c分别可用sinA，sinB，sinC代替；反过来，如果把sin A，sin B，sin C当成一个整体，则关于这三个整体的齐次方程中，sin A，sin B，sin C也可用a，b，c去代替(在分式中，当分子、分母的每一项次数相等时也可采用类似的方法替换). 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 7 典 例 精 析 生物 8 例1　在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝. (1)求AB的值； 答案 如图，由余弦定理， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝22＋12－2×2×1×＝2，故AB＝. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 9 (2)求sin A的值. 答案 由cosC＝知C为锐角，易得sin C＝. 由正弦定理，得，解得sin A＝. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 10 例2　设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin A. (1)求B的大小； 答案 由正弦定理的变式有，故由已知有sin A＝2sin Bsin A，∵sin A≠0，∴2sin B＝1.于是sin B＝，故B＝. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 11 (2)若a＝3，c＝5，求b. 答案 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝＋52－2×3×5×＝7， 即b＝. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 12 例3　在△ABC中，已知tan B＝，cos C＝，AC＝3，求△ABC的面积. 答案 依题意可得B＝且C为锐角，易得sin C＝，由正弦定理，得，解得AB＝8. 又∵在△ABC中有A＋B＋C＝π， ∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝××. △ABC的面积S＝bcsinA＝×3×8× ＝6＋8. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 13 例4　设a，b，c为△ABC的三边，则下列哪些等式能用边角互换变形?哪些不能? ①a2＋b2＝c2； ②a＋b＝c＋1； ③a2＋bc＝c2； ④2cos C(acos B＋bcos A)＝c. 答案 ①③④可以，②不行.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C代入上述等式后，①③④中的2R可以约掉，②中的2R不能约掉.边角互换后三等式变形如下： ①sin2 A＋sin2 B＝sin2 C； ③sin2 A＋sin Bsin C＝sin2 C； ④2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 进一步有2cos Csin(A＋B)＝sin C， 进一步有 2cos Csin C＝sin C.于是cos C＝，C＝60°. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 14 例5　 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若bcos A＋acos B＝c2，则c＝__________.  答案 解析 由边角互换得 sin Bcos A＋sin Acos B＝c·sin C， 故sin(A＋B)＝csin C，于是sin C＝csin C. 又0＜C＜π，故sin C≠0，故c＝1. 1 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 15 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则B＝__________.   答案 解析 由余弦定理得cos B＝，则a2＋c2－b2＝2accos B. 又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B， ∴tan B＝.∵B∈(0，π)，∴B＝. 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 16 巩 固 练 习 生物 17 一、填空题 1.在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝__________.   解析 答案 sin B＝，得B＝. 　 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 18 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝__________.   解析 答案 ，即sin B＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°. 75°　 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 19 3. (2019全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知bsin A＋acos B＝0，则B＝__________.   解析 答案 由题得，sin A sin B＋sin A cos B＝0，又sin A＞0，故sin B＋cos B＝0，tan B＝－1，B∈(0，π)，B＝. 　 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 20 4. (2017全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝__________.  解析 答案 由题得2sin Bcos B＝sin A cos C＋sin Ccos A＝sin (A＋C)＝sin B⇒cos B＝，得B＝. 　 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 21 5. (2018浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c. 若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝__________， c＝__________.   解析 答案 由正弦定理知，sin B＝，cos 60°＝，解得c＝3，c＝－1(舍). 　 3　 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 22 6. (2021全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝__________.  解析 答案 由题意，S△ABC＝acsin B＝ac＝， ∴ac＝4，a2＋c2＝12，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，解得b＝2(负值舍去).故答案为2. 2　 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 23 7. 在△ABC中，A＝，a＝c，则＝__________.  解析 答案 ，sin C＝，C＝，B＝π－，B＝C，故△ABC为等腰三角形，即b＝c，＝1. 1 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 24 8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为__________.  解析 答案 将题中等式两边平方得1＋2sin B cos B＝2，sin 2B＝1，B∈(0，π)，B＝45°，，解得sin A＝，又a＜b，故A＜B＝45°，A＝30°. 30° 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 25 9. 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为___________.  解析 答案 A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，故B＝.∵AD为边BC上的中线，∴BD＝2， AD＝. 　 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 26 二、选择题 1. (2016全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A. B. C. 2 D. 3 解析 答案 由余弦定理得cos A＝，即，整理得b2－b－1＝(b－3)＝0，解得b＝3. 故选D. D 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 27 2. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高 为(　　) A. B. 　 C. D. 3 解析 答案 由余弦定理知，cos A＝，sin A＝，h＝AB sin A＝3sin A＝. B 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 28 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2， B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　) A. 2＋2 B. ＋1 C. 2－2 D. －1 解析 答案 c＝＝2，A＝，sin A＝sin ，S△ABC＝bc sin A＝＋1. B 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 29 4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b， A＝2B，则cosB＝(　　) A. B. 　 C. D. 解析 答案 ，A＝2B，，cos B＝. B 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 30 5. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＋c＝ 2a，3sin A＝5sin B，则C＝(　　) A. B. 　 C. D. 解析 答案 b＋c＝2a，5sin B＝3sin A⇒5b＝3a，解得a＝b，c＝，cos C＝＝－，C∈(0，π)，C＝. B 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 31 6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋ sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析 答案 sin B＋sin A(sin C－ cos C)＝sin(A＋C)＋sin A·(sin C－cos C)＝sin AcosC＋cos Asin C＋sin Asin C－sin A·cos C＝sin Ccos A＋sin Asin C＝0，由题知sin C≠0，可得tan A＝－1，A∈(0，π)，A＝. 由正弦定理得，，sin C＝，C＝. B 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 32 7. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2A， a＝1，b＝，则c＝(　　) A. 2 B. 2 C. D. 1 解析 答案 ⇒cos A＝. 由余弦定理知1＝3＋c2－3c，c＝2，c＝1(舍). B 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 33 8.(2023全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a， b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则∠B＝(　　) A. B. C. D. 答案 C 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 34 由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， 即sin Acos B－sin Bcos A＝sin＝sin A·cos B ＋sin Bcos A， 整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈，故sin B＞0， 据此可得cos A＝0，A＝， 则B＝π－A－C＝π－.故选C. 解析 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 35 9. 设△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若 bcos C＋ccos B＝asin A， 则△ABC的形状为(　　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 解析 答案 由正弦定理知sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C) ＝sin A sin A，∴sin A＝1，A∈(0，π)，A＝，故为直角三角形. A 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 36 10. (2024全国甲卷理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A. B. C. D. 答案 C 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 37 ∵B＝，b2＝ac，∴由正弦定理得sin A·sin C＝sin2B＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sin Asin C＝，∴(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝，∵A，C为三角形内角，∴sin A＋sin C＞0，∴sin A＋sin C＝. 解析 返回 第十三节　正弦定理、余弦定理 38 感谢聆听 39 $