精品解析：2022年江苏省扬州市扬州大学附属中学中考数学模拟卷

2022年江苏省扬州市扬州大学附属中学中考数学模拟卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 如图，是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“三”字一面的相对面上的字是（　　） A. 高 B. 同 C. 创 D. 安 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得 “同”与“安”相对 “三”与“高”相对 故选：A． 【点睛】本题考查正方体表面展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视正在播广告 B. 射击运动员只射击1次，恰好命中靶心 C. 一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 D. 任意购买一张电影票，座位号是3的倍数 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差，随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A、打开电视正在播广告，这是随机事件，故A不符合题意； B、射击运动员只射击1次，恰好命中靶心，这是随机事件，故B不符合题意； C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，这是必然事件，故C符合题意； D、任意购买一张电影票，座位号是3的倍数，这是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了方差，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】由题意得：，且≠0， ∴x=2， 故选A． 【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 5. 如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，可判断A，根据平行线的性质，可判断B，D，根据锐角三角函数的定义，可判断C，进而即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴，即：∠GFC=90°，故D正确，不符合题意； 又∵， ∴，即：，故C错误，符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 6. 如图，△ABC中，AB=AC=，∠BAC=α°，，G为BC中点，D为平面内一个动点，且．将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为（ ） A. 24 B. 25 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H，利用可得出，再分析出当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值为 ，则的面积的最大值为16，因此四边形BACB′面积的最大值为． 【详解】解：如图，连接AD，AG，过点G作GH⊥AB于点H， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在HG的延长线上时，△ABD的面积最大，最大值 ， ∴的面积的最大值为16， ∴四边形BACB′面积的最大值为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数及相似三角形的判定与性质，作出辅助线得出是解题关键． 7. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连接AF，则AF的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAE＝∠CEF，加上∠B＝∠C＝90°，然后根据相似三角形的判定方法得到ABE∽△ECF；设BE＝x，则CE＝4﹣x，由于△ABE∽△ECF，则利用相似比可表示出CF，根据二次函数的性质可判断当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，接着利用勾股定理得到AF，从而可确定AF长度的最小值． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠BEA+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF； 设BE＝x，则CE＝4﹣x， ∵△ABE∽△ECF， ∴，即， ∴CF（x﹣2）2+1， 当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3， ∵在Rt△ADF中，AF， ∴当DF＝3时，AF取最小值，AF的最小值为5， ∴AF长度的最小值为5． 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了二次函数的性质和正方形的性质． 8. 如图，正方形ABCD的边长是，以正方形对角线的一半OA为边作正六边形，其中一边与正方形的边CD交于点E，再以点O为圆心OE为半径画弧交AD于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质，正六边形的性质，，建立等量关系，求出OE，即可求阴影部分的面积； 【详解】解：如图：连接OE、OF、EF、交OD于点G ∴ 则阴影部分的·面积为： 【点睛】本题主要考查正方形的性质、正六边形的性质、勾股定理，掌握正方形的性质、正六边形的性质建立等量关系是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 某网店2022年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为______． 【答案】2.21×105 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将221000用科学记数法表示为：2.21×105． 故答案为：2.21×105． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10. 若、满足，则代数式的值为______． 【答案】-6 【解析】 【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3， ∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键． 11. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别解出每个一元一次不等式，再求出解集的公共部分即可． 【详解】解：由①化简， ， ； 由②化简， ， ； 综上，公共部分为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的解法，熟练解出每个不等式并正确取值是解题的关键． 12. 一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=__________． 【答案】22. 【解析】 【详解】试题分析：这组数据23，27，20，18，x，12，共6个；最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．将除x外的五个数从小到大重新排列后为12 18 20 23 27；20这个数总是中间的一个数，由于中位数是21，所以中间还一个是22，即x=22． 考点：中位数 13. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马． 【答案】20 【解析】 【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日， 依题意，得：240x=150（x+12）， 解得：x=20， ∴快马20天追上慢马， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 14. 个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），则它的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图可知该几何体为圆锥和圆柱的结合体，进而根据三视图中的数据计算侧面积即可． 【详解】解：由三视图可知，这个几何体上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱， 由图中数据可知，圆锥的高为7-4=3m，圆锥的底面圆的直径为6m，圆柱的高为4m，底面圆直径为6m， ∴圆锥的母线长m ， ∴圆柱部分的侧面积，圆锥的侧面积， ∴这个几何体的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，圆锥和圆柱的侧面积计算，解题的关键在于能够根据几何体的三视图确定几何体为圆锥和圆柱的结合体． 15. 在等边△ABC中，点D在BC边上，BD＝3CD，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE，若CE＝3，则AB的长为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况画出图形，分别进行求解即可． 【详解】解： 第一种情形，如图1所示， ∵ △ABC和△ADE是等边三角形 ∴ ∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＝AE，AB＝AC＝BC ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝60° ∴∠3＝∠1 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE＝3 ∵BD＝3CD ∴ CD＝BD＝1 ∴BC＝BD＋CD＝4 ∴AB＝BC＝4 即AB的长为4． 第二种情形，如图2所示， 连接BE，过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F， ∵ △ABC和△ADE是等边三角形 ∴ ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，∠DAE＝60°，AD＝AE， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝60° ∴∠3＝∠1 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE≌△ACD（SAS） ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACB＝60° ∴∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝120° ∴∠EBF＝180°－∠CBE＝60° 设CD＝m，则BD＝3CD＝3m，BE＝CD＝m， 在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠BEF＝90°－∠EBF＝30°，BE＝m ∴BF＝BE＝m， ∴ 在Rt△CEF中，∠EFC＝90°，CF＝BF＋BD＋CD＝m，CE＝3 由勾股定理得 即 解得m＝ ∴BC＝BD＋CD＝4m＝ ∴AB＝BC＝ 即AB的长为． 故答案为：4或 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，根据题意画出正确的图形是解题的关键． 16. 如图，AB是半圆O的直径，AC=AD，∠CAB=20°，OE⊥CD，OE=，则半圆O的直径AB是_________ 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据AC=AD，∠CAB=20°，求出，然后根据求出，然后利用三角形内角和求出，由OE⊥CD，得到，利用30°角所对直角边是斜边的一半求出半径OC的长度，即可求出直径AB的长度． 【详解】解：∵AC=AD，∠CAB=20°， ∴， ∵， ∴， ∴在△COD中，， ∵OE⊥CD， ∴， ∴， ∵OE=， ∴在中，， 即，解得∶， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意求出． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1）_______； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是____________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：（1）点，点， ，， ∴在中， ； （2）连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ，，， 设，则，， ， 解得：， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 18. 如图①，我们把一个矩形称作一个基本图形，把矩形的顶点及其对称中心称作基本图形的特征点，显然这样的基本图形共有5个特征点，将此基本图形不断地复制并平移，使得相邻两个基本图形的两个特征点重合，这样得到第2个图；第3个图；……； （1）观察以上图形并完成下表： 基本图形的个数 1 2 3 4 … 特征点的个数 5 8 11 … 猜想：在第n个图中特征点的个数为________（用含n的代数式表示）． （2）在平面直角坐标系中，点A、点B是坐标轴上的两点，且OA＝1，以OA、OB为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为y＝x，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图②所示，若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、……，则O2022的坐标为________． 【答案】 ①. 3n＋2 ②. （，） 【解析】 【分析】（1）观察图表，找出特征点的规律即可； （2）根据y＝x求出O1的坐标，根据规律即可得O2022的坐标． 【详解】解：由图表可知：基本图形的个数×3+2＝特征点的数量 即：3n＋2 解：将y＝1代入y＝x中，得x＝ ∴O1（，） 根据规律， On（，） O2022（，） 即，O2022（，） 故答案为： 3n＋2；（，） 【点睛】本题主要考查正比例函数、数的变化规律，读懂并找出其变化规律是解题的关键． 三、解答题（共10题，共96分） 19. 化简及解方程： （1）， （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用多项式乘多项式，完全平方公式、单项式乘多项式进行化简，再进行加减运算即可； （2）利用通分、因式分解、分式的性质化简即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式= ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式、单项式乘多项式、因式分解、分式的性质等知识点，解题的关键是利用所学知识正确化简各项． 20. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值． 【答案】26． 【解析】 【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值. 【详解】解：令，则原方程组可化为： ，整理得：， ②-①得：， 解得：，代入②可得：b=4， ∴方程组的解为：或， ， 当时， ∴，， ∴，代入， 可得，此时，方程无解，故不符合题意； 当时，=26， 因此的值为26． 【点睛】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键． 21. 家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康，某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭进行一次简单随机抽样调查. （1）下列选取样本的方法最合理的一种是 　 　．（只需填上正确答案的序号） ①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取； ②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取； ③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取． （2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品．现将有关数据呈现如图： ①m＝　 　，n＝　 　； ②补全条形统计图； ③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？ ④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点． 【答案】（1）③； （2）①20，6；②见解析；③B类；④18万户 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解； （2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调查的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m,用E类户数除以总户数求出n； ②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图； ③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类； ④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可． 【小问1详解】 根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一种是③． 故答案为：③； 【小问2详解】 ①抽样调查的家庭总户数为：80÷8%=1000（户）， ， ． 故答案为20，6； ②C类户数为：1000-（80+510+200+60+50）=100， 条形统计图补充如下： ③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类； ④180×10%=18（万户）． 若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性． 22. 如图，线段AD是△ABC的角平分线. （1）尺规作图:作线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F:（保留痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，连接DE，DF，求证:四边形AEDF是菱形. 【答案】（1） 如图，直线EF即为所求． （2） ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF（ASA）， ∴AE＝AF， ∵EF垂直平分线段AD， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴EA＝ED＝DF＝AF， ∴四边形AEDF是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线EF即可． （2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意：四条边都相等的四边形是菱形． 23. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是； 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果， 24. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ 【答案】40万 【解析】 【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可． 【详解】解：设原先每天生产x万剂疫苗， 由题意可得：， 解得：x=40， 经检验：x=40是原方程的解， ∴原先每天生产40万剂疫苗． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性． 25. 如图，点A，C是上的点，且，过点A作，连接BC交于点D，点D是BC的中点． （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1）15° （2） 【解析】 【分析】(1)延长OD交AB于E，依据△COD≌△BED(AAS)，即可得到OD=DE=OA=OC=BE，进而得到∠AEO=30°，再根据外角性质，即可得到∠B＝∠AEO＝15°． (2)设OA=OC=a，则BE=a．依据∠AEO=30°，即可得到AE＝a，AB＝a+a＝(+1)a，进而得出的值． 【小问1详解】 延长OD交AB于E， ∵OC∥AB， ∴∠OCD＝∠EBD，∠COD＝∠BED． 又∵CD＝BD， ∴△COD≌△BED(AAS)， ∴OC＝BE，OD＝DE， ∴OD＝DE＝OA＝OC＝BE， ∴∠B＝∠EDB． ∴∠B＝∠AEO ∵OA⊥AB， ∴∠OAE＝90°， ∴sin∠AEO==. ∴∠AEO＝30°， ∴∠B＝∠AEO＝15°． 【小问2详解】 设OA＝OC＝a，则BE＝a． 在Rt△AOE中，∠AEO＝30°，则AE＝a， ∴AB＝a+a＝(+1)a， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，，且，如图所示． （1）求该抛物线的解析式 （2）设P是抛物线对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段于点E，过点E作交抛物线于点F，连接、，求面积的最大值． ②连接，求的最小值 【答案】（1） （2）①面积的最大值为；②的最小值为 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，可得对称轴为直线，由锐角三角函数可求点坐标，代入解析式可求解析式； （2）①先求出直线解析式，设，可得点，点，可求的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解； ②根据图形的对称性可知，，过点作于，可得，可得，过点作于点，则，即是的最小值，由三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，可设抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线， ，即， ∴， 又∵， ， 即， 代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①设，其中， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 令，得：， ∴点， 把代入，得， 即， ∴， ∴的面积， ∴当时，的面积最大，且最大值为； ②如图，根据图形的对称性可知，，， ∴， 过点作于，则在中，， ∴， 过点作于点，则， ∴线段的长就是的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 27. 实践与探究 情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF． （1）问题发现 图（1）中，线段AE与BF的数量关系是______； 直线AE与直线BF的夹角的度数是______． （2）问题拓展 当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由． （3）问题延伸 在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长． 【答案】（1）AEBF，45°． （2）结论不变，理由见详解 （3）． 【解析】 【分析】（1）如图①中，延长BF交AE的延长线于点T．证明△ACE∽△BCF，推出，∠CAE＝∠CBF，可得结论． （2）结论不变，证明方法类似（1）． （3）分四种情形：如图③﹣1中，当点F在AC上时，如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时，利用勾股定理求出BF即可，当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长． 【小问1详解】 如图①中，延长BF交AE的延长线于点T． ∵四边形ABCD是正方形， ∴ACBC，∠ACB＝∠ACE＝45°， ∵EF⊥CF， ∴∠CFE＝90°， ∴∠CEF＝∠FCE＝45°， ∴ECCF， ∴， ∴△ACE∽△BCF， ∴，∠CAE＝∠CBF， ∴AEBF， ∵∠CFB＝∠AFT， ∴∠ATF＝∠BCF＝45°， ∴直线AE与直线BF的夹角为45°， 故答案为：AEBF，45°． 【小问2详解】 结论不变． 理由：如图②中，设AC交BF于点O，延长BF交AE于点J． ∵△ABC，△CFE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECF＝45°，ACBC，ECCF， ∴∠BCF＝∠ACE，， ∴△ACE∽△BCF， ∴，∠CAE＝∠CBF， ∴AEBF， ∵∠BOC＝∠AOJ， ∴∠AJO＝∠ACB＝45°， ∴直线AE与直线BF的夹角为45°． 【小问3详解】 如图③﹣1中，当点F在AC上时，过点F作FH⊥BC于点H． ∵△CFH是等腰直角三角形，CF＝2， ∴FH＝CH＝2， 此时点F到BC的距离为2，满足条件， ∴BH＝BC-CH＝5﹣2＝3， ∴BF， ∴AEBF． 如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时， BF， ∴AEBF， 当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长为， 综上所述，满足条件的AE的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 28. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； （3）连接，当时，求点P的坐标． （4）若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为 （4）存在，点M的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． 【小问3详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； 【小问4详解】 解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年江苏省扬州市扬州大学附属中学中考数学模拟卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 2. 如图，是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“三”字一面的相对面上的字是（　　） A. 高 B. 同 C. 创 D. 安 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视正在播广告 B. 射击运动员只射击1次，恰好命中靶心 C. 一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 D. 任意购买一张电影票，座位号是3的倍数 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，AB=AC=，∠BAC=α°，，G为BC中点，D为平面内一个动点，且．将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为（ ） A. 24 B. 25 C. 12 D. 13 7. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交DC于点F，连接AF，则AF的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 3 8. 如图，正方形ABCD的边长是，以正方形对角线的一半OA为边作正六边形，其中一边与正方形的边CD交于点E，再以点O为圆心OE为半径画弧交AD于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 某网店2022年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为______． 10. 若、满足，则代数式的值为______． 11. 不等式组的解集是__________． 12. 一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=__________． 13. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马． 14. 个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），则它的侧面积是________． 15. 在等边△ABC中，点D在BC边上，BD＝3CD，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE，若CE＝3，则AB的长为______． 16. 如图，AB是半圆O的直径，AC=AD，∠CAB=20°，OE⊥CD，OE=，则半圆O的直径AB是_________ 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1）_______； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是____________． 18. 如图①，我们把一个矩形称作一个基本图形，把矩形的顶点及其对称中心称作基本图形的特征点，显然这样的基本图形共有5个特征点，将此基本图形不断地复制并平移，使得相邻两个基本图形的两个特征点重合，这样得到第2个图；第3个图；……； （1）观察以上图形并完成下表： 基本图形的个数 1 2 3 4 … 特征点的个数 5 8 11 … 猜想：在第n个图中特征点的个数为________（用含n的代数式表示）． （2）在平面直角坐标系中，点A、点B是坐标轴上的两点，且OA＝1，以OA、OB为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为y＝x，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图②所示，若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、……，则O2022的坐标为________． 三、解答题（共10题，共96分） 19. 化简及解方程： （1）， （2）． 20. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值． 21. 家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康，某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭进行一次简单随机抽样调查. （1）下列选取样本的方法最合理的一种是 　 　．（只需填上正确答案的序号） ①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取； ②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取； ③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取． （2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品．现将有关数据呈现如图： ①m＝　 　，n＝　 　； ②补全条形统计图； ③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？ ④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点． 22. 如图，线段AD是△ABC的角平分线. （1）尺规作图:作线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F:（保留痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，连接DE，DF，求证:四边形AEDF是菱形. 23. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 24. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ 25. 如图，点A，C是上的点，且，过点A作，连接BC交于点D，点D是BC的中点． （1）求的度数； （2）求的值． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，，且，如图所示． （1）求该抛物线的解析式 （2）设P是抛物线对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段于点E，过点E作交抛物线于点F，连接、，求面积的最大值． ②连接，求的最小值 27. 实践与探究 情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF． （1）问题发现 图（1）中，线段AE与BF的数量关系是______； 直线AE与直线BF的夹角的度数是______． （2）问题拓展 当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由． （3）问题延伸 在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长． 28. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； （3）连接，当时，求点P的坐标． （4）若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $