7.3 平行线的性质 　课件　 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

第2课时　平行线性质与判定的 综合应用 知识点 平行线的判定与性质的比较 平行线的判定 平行线的性质 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 由角的“数量关系”决定线的“位置关系” 由线的“位置关系”决定角的“数量关系” 考点1 利用性质与判定求角度 典例1 [2025·市南区期中]已知：如图，EF∥CD，∠1＋∠2＝180°. (1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由； (2)若DG平分∠CDB，∠ACD＝37°，求∠A的度数． 解：(1)GD∥CA． 理由：因为EF∥CD， 所以∠1＋∠ACD＝180°， 又因为∠1＋∠2＝180°， 所以∠ACD＝∠2， 所以GD∥CA； (2)因为GD∥CA， 所以∠2＝∠ACD＝37°， 因为DG平分∠CDB， 所以∠BDG＝∠2＝37°， 因为GD∥CA， 所以∠A＝∠BDG＝37°. 变式 [2025·曹县期中]如图，AB∥CD，∠ENC＋∠CMG＝180°. (1)判断ED与FG的位置关系，并说明理由； (2)∠2与∠3相等吗？为什么？ (3)若∠3＝70°，∠ACB＝40°，7∠A＝11∠2，求∠1的大小． 解：(1)ED∥FG，理由如下： 因为∠CMG＝∠FMN， ∠ENC＋∠CMG＝180°， 所以∠ENC＋∠FMN＝180°， 所以ED∥FG； (2)∠2＝∠3，理由如下： 因为AB∥CD，所以∠3＝∠D， 因为ED∥FG，所以∠2＝∠D， 所以∠2＝∠3； (3)因为∠3＝70°，7∠A＝11∠2，∠2＝∠3， 所以∠A＝110°， 因为AB∥CD，所以∠A＋∠ACD＝180°， 所以∠ACD＝70°， 因为∠ACB＝40°， 所以∠1＝∠ACD－∠ACB＝30°. 考点2 利用性质与判定写出推理过程 典例2 [2025·滑县期末]如图，∠D＝∠A，∠B＝∠FCB， (1)求证：ED∥CF； (2)若∠A＝∠B，CF是∠DCB的平分线吗？请说明理由． 解：(1)证明：因为∠D＝∠A， 所以ED∥AB， 因为∠B＝∠FCB， 所以AB∥CF， 所以ED∥CF； (2)CF是∠DCB的平分线，理由如下： 由(1)得AB∥CF，∠B＝∠FCB， 所以∠DCF＝∠A， 又因为∠A＝∠B，所以∠DCF＝∠FCB， 所以CF是∠DCB的平分线． 变式 [综合探究题]【问题背景】 如图，直线MN与直线AB，CD相交于点E，F，∠BEM＋∠DFN＝180°，点P是线段EF上的一个动点(不与E，F重合)，点Q是射线FD上的一点．连接PQ，∠BEM的平分线EG与∠DQP的平分线QG交于点G. 【问题初探】 (1)AB与CD平行吗？请说明理由； (2)如图1，若∠DFN＝110°，∠G－∠GEK＝10°，求∠G的度数； 【衍生拓展】 (3)如图2，记∠AEF＝α，∠EPQ＝β，移动点P，当GQ∥EF时， 求α和β的数量关系． 解：(1)平行，理由如下： 因为∠BEM＋∠DFN＝180°， ∠BEM＋∠BEN＝180°， 所以∠BEN＝∠DFN， 所以AB∥CD； (2)因为∠DFN＝110°，∠BEM＋∠DFN＝180°， 所以∠BEM＝180°－110°＝70°， 因为EG平分∠BEM， 所以∠GEK＝ ∠BEM＝ ×70°＝35°， 因为∠G－∠GEK＝10°， 所以∠G＝35°＋10°＝45°； (3)因为AB∥CD，所以∠AEF＝∠EFQ＝α， 因为GQ∥EF， 所以∠PQG＝∠FPQ＝180°－∠EPQ＝180°－β， ∠EFQ＋∠FQG＝180°， 因为QG平分∠DQP， 所以∠DQG＝∠PQG＝180°－β， 所以∠FQG＝180°－∠DQG＝β， 所以∠EFQ＋∠FQG＝α＋β＝180°，所以α＋β＝180°. eq \f(1,2) eq \f(1,2) $3　平行线的性质 第1课时　平行线的性质 知识点 平行线的性质 1．性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简 记为：两直线平行，_______相等．用符号表示：如图所示， 因为a∥b，所以∠1＝∠2. 同位角 2．性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简 记为：两直线平行，_______相等．用符号表示：如图所示， 因为a∥b，所以∠2＝∠3. 3．性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简记为：两直线平行，_________互补．用符号表示：如图所 示，因为a∥b，所以∠2＋∠4＝180°. 内错角 同旁内角 【注意】 “两直线平行”是同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提条件． 考点1 平行线性质的应用 典例1 如图，AB∥CD，点E在CD上，EF⊥DB，垂足为F，∠2＝40°，求∠1的度数． 解：因为AB∥CD， 所以∠2＝∠D＝40°， 因为EF⊥DB，所以∠EFD＝90°， 所以∠1＝90°－∠D＝50°. 考点2 添加平行线，利用性质计算 典例2 [2025·嘉定区期末]某小区车库门口需要用到曲臂直杆 道闸，模型如图所示．如果BA⊥AE，CD∥AE，∠ABC＝143°， 那么∠BCD＝____°. 127 解析：如图，过点B作BG∥AE， 因为AE∥CD， 所以AE∥CD∥BG， 所以∠BAE＋∠ABG＝180°， ∠BCD＋∠CBG＝180°，因为BA⊥AE， 所以∠BAE＝∠ABG＝90°， 又因为∠ABC＝143°， 所以∠CBG＝∠ABC－∠ABG＝143°－90°＝53°， 所以∠BCD＝180°－∠CBG＝180°－53°＝127°. 变式1 [2025·巴东县期中]如图1，AB∥CD，BC∥ED． (1)求证：∠B＋∠D＝180°； (2)如图2，若BF平分∠ABC，DF平分∠CDE，那么，直线BF与DF垂直吗？为什么？ 解：(1)证明：因为BC∥ED， 所以∠C＋∠D＝180°， 因为AB∥CD，所以∠B＝∠C， 所以∠B＋∠D＝180°； (2)直线BF与DF垂直，理由如下： 如图：过F作FM∥AB，则∠1＝∠2， 因为AB∥CD， 所以FM∥CD， 所以∠3＝∠4， 因为BF平分∠ABC，DF平分∠CDE， 所以∠ABC＝2∠1＝2∠2，∠CDE＝2∠4＝2∠3， 因为∠ABC＋∠CDE＝180°， 所以2∠2＋2∠3＝180°， 所以∠2＋∠3＝90°，即∠BFD＝90°， 所以直线BF与DF垂直． 变式2 [2025·肥城市期中]如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若∠BAE＝38°，∠DCE＝22°，则∠AEC＝ ； (2)如图2，试说明，∠BAE＋∠AEC＋∠ECD＝360°； (3)如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由． 解：(1)如图1，过点E作EM∥AB， 因为AB∥CD，所以ME∥AB∥CD， 所以∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE， 因为∠AEC＝∠AEM＋∠CEM， 所以∠BAE＝38°，∠DCE＝22°， 所以∠AEC＝∠BAE＋∠DCE＝38°＋22°＝60°； 故答案为：60°； (2)如图2，过点E作EG∥AB， 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥EG， 所以∠A＋∠1＝180°，∠C＋∠2＝180°， 所以∠A＋∠1＋∠2＋∠C＝360°， 即∠BAE＋∠AEC＋∠ECD＝360°； (3)2∠AFC＋∠AEC＝360°， 理由如下： 由(1)可得∠AFC＝∠BAF＋∠DCF， 因为AF平分∠BAE，CF平分∠DCE， 所以∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF， 所以∠BAE＋∠DCE＝2∠AFC， 由(2)可知，∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°， 所以2∠AFC＋∠AEC＝360°. $