精品解析：广东湛江市博雅学校2025-2026学年八年级第二学期第一次学科检测数学试卷

2025-2026学年八年级第二学期第一次学科检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在数轴上点表示的实数是（　　） A. B. C. -2 D. 6. 如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）     A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 7. 已知，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠B=∠C-∠A B. a2 = (b+c) (b-c) C. ∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3 D. a : b : c=5 : 4 : 3 9. 如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（ 　 ） A B. 8 C. 10 D. 12 10. 已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止，当 为（ ）时，是直角三角形． A. B. C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ______；_____． 12. 当x＝2时，二次根式值是 _____． 13. 在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 14. 函数的自变量x的取值范围为________． 15. 已知是整数，则正整数n的最小值为____． 16. 已知点在第三象限，化简的结果为________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： 18. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB长度是 ，线段CD的长度是 ． （2）若EF长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 21. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 22. 阅读下面的材料，并解决问题． （1）观察上式并填空：＝ ； （2）观察上述规律并猜想：当是正整数时：＝ （用含的式子表示） （3）请利用（2）的结论计算： 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） （2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； （3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 24. 八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 （1）【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； （2）【问题解决】在（1）的条件下，求的长； （3）【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级第二学期第一次学科检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义．根据题意，能够与合并即与为同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：A.能与合并，此项符合题意； B.不能与合并，此项不符合题意； C.不能与合并，此项不符合题意； D.不能与合并，此项不符合题意． 故选：A． 3. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； B．∵1，1，中不是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； C．∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； D．∵， ∴8，15，16，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 5. 如图，在数轴上点表示的实数是（　　） A. B. C. -2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【详解】解：设原点表示的点为， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 6. 如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）     A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 【答案】C 【解析】 【详解】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m， ∴AC===13m， ∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18m． 故选C． 7. 已知，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键． 将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 8. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠B=∠C-∠A B. a2 = (b+c) (b-c) C. ∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3 D. a : b : c=5 : 4 : 3 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A、由∠B=∠C-∠A可得，∠A+∠B=∠C，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角； B、由a2=（b+c）（b-c）可得，a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形； C、由∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，故△ABC不是直角三角形； D、由a：b：c=3：4：5，可得a2+b2=c2，此时△ABC是直角三角形，能够判定△ABC是直角三角； 故选C． 9. 如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（ 　 ） A. B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短，利用勾股定理从而可得答案． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为12cm， 则BC=cm． 又因为AC=8cm， 所以：． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm． 故选：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形利用勾股定理是解题的关键． 10. 已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止，当 为（ ）时，是直角三角形． A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理．根据题意，是直角三角形分两种情况，一是，二是，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：依题得 是边长的等边三角形 当时 ，即得， 当时 ，即得 故当或时，是直角三角形． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ______；_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 ；. 12. 当x＝2时，二次根式的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】将x=2代入即可求解． 【详解】解：将x=2代入可得：． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本题的关键． 13. 在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则______是直角． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【详解】解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 14. 函数的自变量x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 本题根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 必须．解得： 故答案为：． 15. 已知是整数，则正整数n的最小值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】将化为，然后根据题目意思进行计算即可． 【详解】解：∵，要使它是整数，则正整数n的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解决本题的关键是理解二次根式的性质． 16. 已知点在第三象限，化简的结果为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 【详解】解：因为点在第三象限， 所以且，解得． 所以原式． 故答案为2． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，利用平方差公式及完全平方公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值； （2）利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 ∵，， ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ． （2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】（1），2 （2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AB和CD长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形． 【小问1详解】 解：由图可得， AB==，CD==2， 故答案为：，2； 小问2详解】 解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形， 理由：∵AB=，CD=2，EF=， ∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2， ∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 【答案】在该空地上种植草皮大约需要元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理． 利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，∴， ∴， ∴种植草皮所需金额为：（元）． 答：在该空地上种植草皮大约需要元． 21. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得，， ∴之间距离为； 【小问2详解】 ∵m，m，m， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 所以四边形的面积为． 22. 阅读下面的材料，并解决问题． （1）观察上式并填空：＝ ； （2）观察上述规律并猜想：当是正整数时：＝ （用含的式子表示） （3）请利用（2）的结论计算： 【答案】（1） （2） （3）360 【解析】 【分析】（1）根据题中方法即可化简求解； （2）根据题中方法式子，找到规律即可求解； （3）根据规律即可化简求解． 【小问1详解】 ∵； ； ； ∴= 故答案为：； 【小问2详解】 根据规律可知= 故答案：； 【小问3详解】 ∵= ∴ = = =360． 【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是根据题意找到规律化简求解． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话． 小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”． 小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！ 根据对话回答问题： （1）判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”） （2）已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________； （3）如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积． 【答案】（1）正确 （2）2或 （3）周长为：，面积为：． 【解析】 【分析】（1）将其三边长的平方写出来，看能否写成两边的平方等于第三边平方的两倍即可； （2）分三种情况讨论求解并进行验证即可； （3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果． 【小问1详解】 解：设等边三角形三边长分别是a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形是“类勾股三角形”， ∴小璐的说法正确， 故答案为：正确； 【小问2详解】 解：设另一边长为x， ①，解得，符合题意； ②，解得，符合题意； ③，无解； 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴周长为：， 面积为：． 【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键． 24. 八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 （1）【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； （2）【问题解决】在（1）的条件下，求的长； （3）【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是几何综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可得； （2）由勾股定理可求BD的长； （3）由直角三角形的性质可求，可得，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿直线折叠， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵，， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $