专题06平行四边形期中复习讲义 (15大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题06平行四边形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透平行四边形定义 + 5 大判定 + 核心性质，辨清性质 / 判定适用场景 2.熟记平行线间距离性质，掌握三角形中位线平行且倍分定理 3.厘清平行四边形与三角形关联，公式 / 定理零混淆、零记错 1.性质 / 判定灵活用，轻松搞定边长、角度、周长、面积基础计算 2.规范推理证平行，会证线段 / 角相等，中位线定理直接套用无压力 3.性质 + 判定联动解题，能求平行四边形顶点坐标，跨三角形 / 勾股定理简单综合 4.识别基础几何模型，解决动点 / 折叠类问题，会用中位线建模解实际题 1.基础选择 / 填空秒解，概念辨析 + 公式套用不丢保底分 2.解答题主力题型精准破题，平行四边形证明 / 综合计算稳拿核心分 3.攻克坐标 / 距离综合题，减少中档题失分，冲刺动点 / 折叠拉分题 4.规避性质判定混淆、中位线找错边、坐标漏解等高频易错坑，解题零失误 题型1.平行四边形性质的基础计算 题型2.平行线间距离的计算与等积应用 题型3.平行四边形的判定辨析 题型4.平行四边形的条件补充 题型5.三角形中位线的基础计算 题型6.平行四边形的判定证明 题型7.平行四边形性质的证明应用 题型8.平行四边形性质与判定综合计算 题型9.平行四边形性质与判定综合证明 题型10.三角形中位线的证明应用 题型11.平行四边形顶点坐标问题 题型12.平行四边形性质与判定综合应用 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形性质的拓展应用 题型15.平行线间距离的综合应用 解答题7题 知识点01:平行四边形基础概念(理解为本,判定/性质的前提) 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作，读作 “▱ABCD”； ★核心：定义兼具判定和性质双重作用 —— 既是判定平行四边形的基本方法，也是平行四边形的首要性质。 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 3.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离； ★延伸性质：① 平行线间的距离处处相等；② 夹在两条平行线间的平行线段相等； 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 平行四边形的所有性质均由 “两组对边分别平行” 推导而来，需熟记边、角、对角线、面积四大维度，且能结合图形用几何语言表述： 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的 5 大判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形中位线定理（平行四边形推导，期中高频衔接考点） 三角形中位线定理由平行四边形的性质和判定推导而来，是三角形与平行四边形的核心衔接点，需厘清定义、定理、推论、应用，避免与 “中线” 混淆： 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线； ★ 区分：三角形的中线是 “连接顶点与对边中点的线段”，一个三角形有 3 条中线、3 条中位线。 2.核心定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半； ★几何语言（以△ABC为例，、分别为、中点）：DE是△ABC的中位线 → DE∥BC，DE=AB。 3.重要推论： ① 三角形的三条中位线围成的新三角形，周长为原三角形的，面积为原三角形的；② 三角形的中位线将原三角形分成 4 个面积相等的小三角形； 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 题型01:平行四边形性质的基础计算 【典例】如图，在中，，，平分交边于，则长为________． . 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，角平分线的定义，得出，再求出，进而根据和差即可得出答案． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 【跟踪专练1】在平行四边形中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形邻角互补和对角相等的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选∶B． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则______． 【答案】 【分析】结合平行四边形的性质，在中直接由勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则在中，． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 题型02:平行线间距离的计算与等积应用 【典例】如图，直线，则直线a，b之间的距离是（    ） A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 C．线段AD的长度 D．线段CE的长度 【答案】B 【分析】直接根据平行线间的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵直线a//b，CD⊥b， ∴线段CD的长度是直线a，b之间距离． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离的定义成为解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是______ 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．依据直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离，再根据，，即可得出直线a与直线b之间的距离． 【详解】解：∵，直线与它们分别垂直且相交于，，三点， ∴长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离， ∵， ∴， 即直线a与直线b之间的距离为3． 故答案为：3 【跟踪专练2】如图，，点A、B分别在直线a、b上，，点C在直线b上，且，若a、b之间的距离为3，则线段的长度为 ___________． 【答案】6 【分析】本题考查平行线之间的距离，直角三角形的性质，平行线的性质，作 于H，得到，由平角定义得到，由平行线的性质得到，，解题的关键是作于H，得到，由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：作于H，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【跟踪专练3】.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，先利用角平分线的性质得出AD=AE=3，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可． 【详解】解：由题意得， 当CD⊥OM时，CD取最小值， ∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM， ∴AD=AE=3， ∵BC∥OM， ∴∠DOA=∠B， ∵A为OB中点， ∴AB=AO， 在△ADO与△ABC中， ∴△ADO≌△ABC(SAS), ∴AC=AD=3， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3． 题型03:平行四边形的判定辨析 【典例】如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定，逐一对四个选项中条件分析，再作出判断． 【详解】解：，，不满足两组对边分别相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合； ，，不满足一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合； ，，不能推得一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合； ，，根据一组对边平行且相等，能判定四边形是平行四边形，故D符合， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形_________个． 【答案】11 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据每一个图案比前一个多2个平行四边形可得，第n幅图中共有个平行四边形，由此可计算此题的结果． 【详解】解：第1幅图中有1个； 第2幅图中有 (个) 第3幅图中有 (个)； …… 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个平行四边形， 所以第n幅图有个平行四边形， 所以第6幅图中有平行四边形有个平行四边形． 故答案为：11． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 【跟踪专练3】如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     B． ，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     C． ，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意；     D． ，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 题型04:平行四边形的条件补充 【典例】如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A符合题意； B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意； D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件_____可得出四边形是平行四边形． 【答案】或或或（添加一个即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质即可求解，掌握平行四边形的判定的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：或或或（添加一个即可）． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．设交于点，则，，因为，所以，则四边形是平行四边形，可判断A不符合题意；由，，不能证明与全等，则不能证明与平行，所以不能证明四边形是平行四边形，可判断B符合题意；由，得，可证明，则，所以四边形是平行四边形，可判断C不符合题意；由，，推导出，可证明，得，则四边形是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故A不符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能确定与是否相等， 不能证明与平行， 不能证明四边形是平行四边形， 故B符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 题型05:三角形中位线的基础计算 【典例】如图，D、E分别是的边的中点．若，则的长为______． 【答案】3 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：、E分别是的边的中点， 是的中位线， ， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 根据中位线定理得到，，即． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得， 即． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，中，，，，D，E分别是和上的点，且，，连接，．G、H分别是和的中点，连接，则线段的长为______． 【答案】 【分析】作的中点F，连接、，利用中位线可求得、的长度，并且可证得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作的中点，连接、， 点是的中点， ，且， ， 同理：，且， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，再总结规律，然后根据规律解答即可． 【详解】解：如图： ∵D、E、F分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴的周长， ∴第三个三角形的周长是， 同理可得，第四个三角形的周长是……， ∴第2021个三角形的周长是． 题型06:平行四边形的判定证明 【典例】如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形．依据是________的四边形是平行四边形． 【答案】两组对边分别相等 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记两组对边分别相等的四边形为平行四边形是解题的关键． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定即可． 【详解】由作图可知，， 所以四边形是平行四边形， 依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：两组对边分别相等． 【跟踪专练1】两个全等的三角形最多可以拼出（   ）个不同的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的拼接，全等三角形的性质，平行四边形的判定，熟知两个全等三角形对应边重合放在一起即可拼接成平行四边形是解题的关键． 两个全等三角形通过不同的边拼接组合，最多可形成3种不同的平行四边形． 【详解】解：全等三角形性质：两个全等三角形的对应边相等，对应角相等． 拼接方式分析： 每个三角形有3条边，将其中一条边作为公共边进行拼接，其余两边作为平行四边形的邻边． 若两三角形三边长度均不相等（如普通锐角三角形），则每次选择不同的公共边拼接，可形成不同形状的平行四边形． 验证平行四边形条件： 拼接后四边形的对边分别由原三角形的对应边组成，对边相等且平行，满足平行四边形的定义． 分别形成三种邻边长度或角度不同的平行四边形． 即最多可拼出3个不同的平行四边形． 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，为锐角，，，四边形的面积为，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．    （1）点在上运动时，____；点在上运动时，____；（用含的式子表示） （2）当点在上，且时，的值为____． 【答案】 / / ． 【分析】（1）当点在上运动时，可得，当点在上时，； （2）当点在上，点在上时，可得四边形是平行四边形，从而，从而，从而得出结果． 【详解】（1）如图，    ∵，， ∴， 如图，    ∵，， ∴， 故答案为：，； （2）如图，    由(1)得：，同理可得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是弄清运动的过程，找出符合条件的点的位置． 【跟踪专练3】探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 题型07:平行四边形性质的证明应用 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为 _____． 【答案】5 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，利用平行线的性质及角平分线的定义证出∠DAE=∠AED，推出DE=AD=3，即可求出CD，得到AB． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠AED=∠EAB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠AED， ∴DE=AD=3， ∵EC=2， ∴CD=DE+EC=3+2=5， ∴AB=5， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对边相等，对边平行，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质与等腰三角形的判定．证明，则，同理，求出，从而即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，的平分线交 于点E，连接 ．若，则的度数为________．    【答案】/39度 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等． 【跟踪专练3】如图，点是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是的面积为，下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则； ③如果点在对角线上，则； ④若，则点一定在对角线上． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，掌握平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键． 根据平行四边形的性质得，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断③；最后根据已证关系式，得出，判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 设点到，，，的距离分别是，，，，点到的距离分别为， 则，，，． ， ，故①正确； 根据， 能得出，故②正确； 点在对角线上， ， ， ，故③正确； 由和，得， ， 点一定在对角线在上，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 题型08:平行四边形性质与判定的综合计算 【典例】如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为_____ 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，的对角线，相交于点，，若，，则四边形的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或5 【分析】此题考查了平行四边形的判定．分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或5． 【跟踪专练3】如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，结合勾股定理可得的长，再根据平行四边形的性质和判定，可得四边形为平行四边形，进而可得四边形的周长． 【详解】解：在中，，， ∴，． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴四边形的周长为． 故选：B． 题型09:平行四边形性质与判定的综合应用 【典例】李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，先证明四边形是平行四边形，可得，，再根据垂直平分线性质得，最后根据得出答案. 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，. ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是：． 故答案为：10． 【跟踪专练2】如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键．添加一个条件：，根据证明得，同理可证，从而可证四边形是平行四边形． 【详解】解：可添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证： ∴ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】.如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；证，得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又E、F分别是、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，，故②正确 ， ， 四边形是平行四边形，故③正确 ， 而不一定成立，故④不正确． 不一定等于， 不正确，故①不正确， 故选：B． 题型10:三角形中位线的证明应用 【典例.】如图，在中，，，分别为，的中点，平分，交于点，若，，则的长为_______．    【答案】 【分析】根据勾股定理求得，根据中位线的判定和性质可得，，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，中位线的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握以上判定定理和性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 .C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质． 证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①符合题意； ，， ， 平分，故②符合题意； 中，， ，故③不符合题意； 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故④符合题意， 所以正确的有：①②④． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，H是的边的中点，平分，点D是上一点，且于点G．已知，，，则的周长为________． 【答案】49 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键． 判断出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长． 故答案为：49． 【跟踪专练3】如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质即可得，又平分则可得，即三角形为等边三角形，则可判断①；根据勾股定理求得，则，即可判断②，根据，可判定③；根据，，则为三角形的中位线，利用中位线的性质即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， 又， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ，故①正确， ∵，，， ∴ ， ∴， ，故②正确， ∵， ，故③错误， ，， 为三角形的中位线， ，， ， 又， ，故④正确． 故正确的有①②④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是银题的关键． 题型11:平行四边形的顶点坐标问题 【典例】在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________． 【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2） 【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2）， 故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【跟踪专练3】以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 题型12:平行四边形性质与判定的综合应用 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为10，则平移距离为_____． 【答案】2 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD=BE，，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE=2，即得平移距离． 【详解】在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°， ∴AC=AB=5， ∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF， ∴AD=BE， ， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵四边形ABED的面积等于10， ∴AC•BE=10，即5BE=10， ∴BE=2，即平移距离等于2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质、也考查了平行四边形的判定与性质、熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】C 【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴FG=AE，AG=EF， ∵， ∴∠BFE=∠C， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠BFE， ∴BE=EF， ∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 题型13:三角形中位线的实际应用 【典例】如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 【答案】12米 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，由三角形的中位线得，即可求解；掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：点P，Q分别是的边和的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：米． 【跟踪专练1】如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，首先证明出是的中位线，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵D，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 【答案】6 【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长AF交BC于G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为AB的中点， ∴DF是的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是的中位线， ∴EF＝CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．80° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理易求∠B的度数，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以∠B+∠DEB=180°，进而可求出∠FEB的度数． 【详解】解：∵∠C=120°，∠A=20°， ∴∠B=40°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， ∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40° ∴∠DEB=140°， ∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用、三角形内角和定理的运用以及平行线的性质，题目的综合性较强，难度一般． 题型14:平行四边形性质的拓展应用 【典例】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 【跟踪专练1】如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解． 【详解】解：∵□ABCD， ∴OB=OD，ABCD， ∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO， ∴△BOE≌△DOF(AAS)， ∴S△BOE=S△DOF， ∴S阴影=2S△BOE， ∵， ∴S△BOE=S△AOB， ∵□ABCD， ∴S△AOB=， ∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC=45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO=AC=×8=4， ∴OP′= AO=2， ∴PQ的最小值=2OP′=4， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 题型15:平行线间距离的综合应用 【典例】如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（  　）    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 【答案】C 【分析】由平行线间距离处处相等以及同底等高的两个三角形的面积相等即可得到答案． 【详解】解：由且平行线间距离处处相等，即可得到与的边上的高相等，同底等高的两个三角形的面积相等， 即与的面积相等， 故选：C 【点睛】此考查了平行线间的距离、三角形的面积等知识，熟练掌握平行线间距离处处相等是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，相交于点O，则与面积相等的三角形是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等即可得到的面积与的面积相等． 【详解】解：∵， ∴的面积与的面积相等（同底等高）， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为___．    【答案】44 【分析】作出辅助线，利用同底等高的两个三角形面积相等，阴影图形的面积即可求解． 本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【详解】解：如图，连接， 与同底等高， ， 即， 即， 同理可得， 阴影部分的面积为． 故答案为：44．    【跟踪专练3】如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点A，B，C分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为1，与的距离为3，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行线间的距离， 先根据平行线间的距离得到，，过B作于E，过A作于F，证明得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线，与的距离为1，与的距离为3， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 如图，过B作于E，过A作于F，则， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故选：B． 【解答题】 1．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 【答案】，，． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及勾股定理， 等腰三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质结合勾股定理进行解答是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可以得到，结合，可以得到是等腰直角三角形，利用勾股定理可以得到与的长度，由此可得与的长度；根据平行四边形的面积公式，结合与的长度，即可得到面积． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴,, ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴的长为，的长为，平行四边形的面积为16． 2．如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，法一：通过证明，根据全等三角形的性质可求解；法二：通过证明四边形是平行四边形，进而问题可求证． 【详解】解：法一：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 法二：连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 3．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 4．如图，在中，点在上，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为的角平分线，且，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 5．已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）取，中点G，F，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证； （3）在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （3）证明：在射线上截取，连接，， ∵D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴即， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 7．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透平行四边形定义 + 5 大判定 + 核心性质，辨清性质 / 判定适用场景 2.熟记平行线间距离性质，掌握三角形中位线平行且倍分定理 3.厘清平行四边形与三角形关联，公式 / 定理零混淆、零记错 1.性质 / 判定灵活用，轻松搞定边长、角度、周长、面积基础计算 2.规范推理证平行，会证线段 / 角相等，中位线定理直接套用无压力 3.性质 + 判定联动解题，能求平行四边形顶点坐标，跨三角形 / 勾股定理简单综合 4.识别基础几何模型，解决动点 / 折叠类问题，会用中位线建模解实际题 1.基础选择 / 填空秒解，概念辨析 + 公式套用不丢保底分 2.解答题主力题型精准破题，平行四边形证明 / 综合计算稳拿核心分 3.攻克坐标 / 距离综合题，减少中档题失分，冲刺动点 / 折叠拉分题 4.规避性质判定混淆、中位线找错边、坐标漏解等高频易错坑，解题零失误 题型1.平行四边形性质的基础计算 题型2.平行线间距离的计算与等积应用 题型3.平行四边形的判定辨析 题型4.平行四边形的条件补充 题型5.三角形中位线的基础计算 题型6.平行四边形的判定证明 题型7.平行四边形性质的证明应用 题型8.平行四边形性质与判定综合计算 题型9.平行四边形性质与判定综合证明 题型10.三角形中位线的证明应用 题型11.平行四边形顶点坐标问题 题型12.平行四边形性质与判定综合应用 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形性质的拓展应用 题型15.平行线间距离的综合应用 解答题7题 知识点01:平行四边形基础概念(理解为本,判定/性质的前提) 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作，读作 “▱ABCD”； ★核心：定义兼具判定和性质双重作用 —— 既是判定平行四边形的基本方法，也是平行四边形的首要性质。 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 3.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离； ★延伸性质：① 平行线间的距离处处相等；② 夹在两条平行线间的平行线段相等； 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 平行四边形的所有性质均由 “两组对边分别平行” 推导而来，需熟记边、角、对角线、面积四大维度，且能结合图形用几何语言表述： 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的 5 大判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形中位线定理（平行四边形推导，期中高频衔接考点） 三角形中位线定理由平行四边形的性质和判定推导而来，是三角形与平行四边形的核心衔接点，需厘清定义、定理、推论、应用，避免与 “中线” 混淆： 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线； ★ 区分：三角形的中线是 “连接顶点与对边中点的线段”，一个三角形有 3 条中线、3 条中位线。 2.核心定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半； ★几何语言（以△ABC为例，、分别为、中点）：DE是△ABC的中位线 → DE∥BC，DE=AB。 3.重要推论： ① 三角形的三条中位线围成的新三角形，周长为原三角形的，面积为原三角形的；② 三角形的中位线将原三角形分成 4 个面积相等的小三角形； 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 题型01:平行四边形性质的基础计算 【典例】如图，在中，，，平分交边于，则长为________． . 【跟踪专练1】在平行四边形中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，则______． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型02:平行线间距离的计算与等积应用 【典例】如图，直线，则直线a，b之间的距离是（    ） A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 C．线段AD的长度 D．线段CE的长度 【跟踪专练1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是______ 【跟踪专练2】如图，，点A、B分别在直线a、b上，，点C在直线b上，且，若a、b之间的距离为3，则线段的长度为 ___________． 【跟踪专练3】.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型03:平行四边形的判定辨析 【典例】如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形_________个． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是__________． 【跟踪专练3】如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型04:平行四边形的条件补充 【典例】如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件_____可得出四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 题型05:三角形中位线的基础计算 【典例】如图，D、E分别是的边的中点．若，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，中，，，，D，E分别是和上的点，且，，连接，．G、H分别是和的中点，连接，则线段的长为______． 【跟踪专练3】如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 题型06:平行四边形的判定证明 【典例】如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形．依据是________的四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】两个全等的三角形最多可以拼出（   ）个不同的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，在中，为锐角，，，四边形的面积为，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．    （1）点在上运动时，____；点在上运动时，____；（用含的式子表示） （2）当点在上，且时，的值为____． 【跟踪专练3】探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 题型07:平行四边形性质的证明应用 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为 _____． 【跟踪专练1】如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，的平分线交 于点E，连接 ．若，则的度数为________．    【跟踪专练3】如图，点是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是的面积为，下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则； ③如果点在对角线上，则； ④若，则点一定在对角线上． A．1 B．2 C．3 D．4 题型08:平行四边形性质与判定的综合计算 【典例】如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为_____ 【跟踪专练1】如图，的对角线，相交于点，，若，，则四边形的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 【跟踪专练2】如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 题型09:平行四边形性质与判定的综合应用 【典例】李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【跟踪专练1】如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是_____． 【跟踪专练2】如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】.如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 题型10:三角形中位线的证明应用 【典例.】如图，在中，，，分别为，的中点，平分，交于点，若，，则的长为_______．    【跟踪专练1】如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 .C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，H是的边的中点，平分，点D是上一点，且于点G．已知，，，则的周长为________． 【跟踪专练3】如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 题型11:平行四边形的顶点坐标问题 【典例】在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【跟踪专练3】以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 题型12:平行四边形性质与判定的综合应用 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为10，则平移距离为_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【跟踪专练2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 题型13:三角形中位线的实际应用 【典例】如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 【跟踪专练1】如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 【跟踪专练3】如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．80° 题型14:平行四边形性质的拓展应用 【典例】已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【跟踪专练1】如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 题型15:平行线间距离的综合应用 【典例】如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（  　）    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，相交于点O，则与面积相等的三角形是______． 【跟踪专练2】如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为___．    【跟踪专练3】如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点A，B，C分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为1，与的距离为3，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 2．如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 3．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在中，点在上，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为的角平分线，且，，求的周长． 5．已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 6．中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 7．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $