解答题01 规律探究题（3大考向）（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

解答题01 规律探究题（3大考向） 命题创新：细节优化，贴合生活与基础 1.背景创新：图形规律可能结合安徽本地特色（如徽派建筑图案、校园场景、生活中的简单拼接图形），坐标规律可能结合简单运动场景（如机器人移动、蚂蚁爬行），增强情境感，但不影响规律本身。 2.规律融合：可能出现“图形+坐标”综合规律（如图形拼接过程中，关键点的坐标变化规律），或“数列+图形”融合（如图形中计数的数字呈现数列规律），但核心仍是归纳通项、代值应用。 3.设问细节创新：可能增加“简单说理”（如说明某一项为何满足条件），但难度不高，本质仍是对规律的应用，无需复杂推理。 考向01数列规律（数字/数式规律） 研考向·通技法 等差数列：相邻两项差为固定值，通项公式为（a为公差，b为常数），如：2，5，8，11，…，通项为。 等比数列：相邻两项比为固定值，通项公式为（k为首项，q为公比），如：2，4，8，16，…，通项为。 平方/立方规律：常与n的平方、立方相关，或变形为、，如：1，4，9，16，…，通项为；2，6，12，20，…，通项为。 符号交替规律：用或控制符号，如：-1，2，-3，4，…，通项为。 分数裂项规律：分子固定，分母为两个连续整数的乘积，如：，，，…，通项为。 1．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 2．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 3．（2026·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，在研究从1开始的连续正整数的和时发现公式“（为正整数）”，他们继续研究一个奇数的平方数问题，过程如下： ，，，， ，… 按照以上规律，完成下列问题： (1)______； (2)若，其中为整数，则是8的倍数加1，请判断该命题的真假，如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例； (3)若是大于3的质数（只有1和它本身两个因数的自然数称为质数），它可以表示为或，则是______的倍数加1（填可填入的最大自然数）． 4．（2024·安徽马鞍山·一模）观察下列等式： 第1个等式： 第2个式： 第3个等式： 第4个等式： …… 【总结规律】按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出第n个等式：__________（用含有n的等式表示）； (3)利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）． ． 5．（2025·安徽亳州·三模）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 6．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）【观察思考】 “回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是两位数与三位数相乘的“回文等式”     ； ； ； ； ； …… 【规律探索】 在上述等式中，以等号为对称轴，等号两边的各个数字是对称排列的，根据等式规律完成下列任务： （1）根据上述等式规律填空： ①____________，②______=______； 【规律证明】 （2）有同学发现此种有理数的乘积是11的倍数并利用代数知识证明此等式中的规律：设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，等式左边表示为：，等式右边表示为：． 左边______； ∴左边（    ），即该式中的乘积是11的倍数． 右边（______）______． ∴左边=右边． 8．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （   ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3） 请运用上述规律计算：． 考向02 图形规律（计数规律） 研考向·通技法 点阵规律：如正三角形点阵、正方形点阵，相邻图形的点数差为固定值，通项为。 小棒拼图规律：如用小棒拼三角形、正方形，每增加1个图形，增加固定根数的小棒，重点观察“基础根数+增加的根数”。 图形面积/周长规律：图形按固定方式拼接，面积、周长随n的变化呈现规律，多为一次或二次规律。 示例：用小棒拼正方形，第1个正方形用4根小棒，第2个用7根，第3个用10根，…，第n个图形用根小棒。 1．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）按如下规律摆放黑色棋子： (1)填写表格 图案序号 1 2 3 4 … 棋子个数 3 8 … (2)直接写出第13个图案的棋子个数为______． (3)若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有360个棋子，如果有，请求出来；如果不存在，说明理由． 2．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 3．（2025·安徽·一模）【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： (1)______； (2)猜想：______． (3)连接，求的面积． 5．（2024·安徽合肥·二模）合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含______个C原子； （2）图（n）的分子中含______个C原子； 【规律运用】 （3）若图（m）和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 7．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 8．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形． (1)求正方形的面积； (2)求正方形的面积； (3)若按题中的规律继续作正方形，则正方形的面积为_____．（用含的式子表示） 11．（2025·安徽池州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，主题是“四边形内个点可把四边形分割成不重叠三角形数量”问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 示意图 1 2 3 4 不重叠三角形数量 4 6 8 (1)把上面的表格补充完整； (2)四边形内个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含的代数式表示为______； (3)兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的小三角形个数的一般规律．分析过程如下： ①边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的个三角形； ②三角形的内角和为个三角形的总内角和可以表示为； ③边形的内角和可以表示为______； ④边形内部的每个点都对应一个周角，个点对应个周角，其度数可以表示为； ⑤这个三角形正好拼成了内部有个点边形，所以这个三角形的总内角和又可以看成是边形的内角和加上个周角的和，即______； ⑥综上可得，______． 阅读以上内容，请在③、⑤、⑥的横线上填写所缺内容． 考向03 坐标规律（动点循环规律） 研考向·通技法 找周期：写出前5-6次运动后的坐标，观察“每几步重复一次位置特征”，确定周期长度（如每4步一个周期）。 算余数：用，根据余数判断第n次运动的位置（余数为0，对应周期最后一步；余数为1，对应周期第一步）。 分奇偶：若周期为2，可直接按n为奇数、n为偶数分类，写出不同的坐标表达式。 示例：点P从(0,0)出发，按“右1、上1、左1、下1”的顺序循环运动，周期为4，第n次运动后，根据n÷4的余数，可快速定位坐标。 1．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 2．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 3．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 4．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 5．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 刷模拟 1．（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 2．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 4．（2025·安徽合肥·一模）【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 5．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 6．（2025·安徽阜阳·二模）数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题： 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“※”的个数为__________； （2）第n个图案中“”的个数为__________； 【规律应用】 （3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 7．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 8．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 9．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 10．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 11．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 12．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 13．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形拼接产生了兴趣． 【项目准备】 （）斐波那契数列知识学习：数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和．前几项为：，，，，，，，，，，①________，，，… （）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有缝隙． （）构造一个新的图形拼接：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有重叠． （）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第项为，第项为，…，第项为，第项为． 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）； 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ （）方案一：将图中的正方形拼接成图中的矩形，请画出分割线； （）方案二：将边长分别为斐波那契数列，，，，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形，请在图中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 正方形的面积和为：③________； 矩形的面积正方形的面积和宽长④________（填数字）； （）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为⑤________； 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 14．（2025·安徽合肥·二模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 15．（2026·安徽阜阳·一模）新方向·项目式学习  综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正方形”数量与规律． 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”．如图1，我们将边长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形；像边长与网格线不平行的正方形称为“斜网格正方形”，如正方形． 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 在网格中，“正网格正方形”有个； 在网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； 在网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； (1)在网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①______； (2)在网格中，“正网格正方形”的个数共有②______个． 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在网格中，“斜网格正方形”有0个； 在网格中，如图4，“斜网格正方形”有1个； 在网格中，如图5，“斜网格正方形”有（个）； 在网格中，如图6，“斜网格正方形”有（个）… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： … “正网格正方形”的个数和 1 5 14 91 … “斜网格正方形”的个数和 0 1 6 20 50 … “网格正方形”的总数 1 6 20 50 … 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总结表格数据规律完成下列问题． 【项目应用】 (3)在网格中，“斜网格正方形”的个数和是③______． (4)在网格中，“网格正方形”的总数是④______． 【项目延伸】在的正方形网格中，已知网格正方形的总数和为，那么．设，则⑤______（⑥______）． (5)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤______；⑥______． 刷真题 1．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 3．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题01 规律探究题（3大考向） 命题创新：细节优化，贴合生活与基础 1.背景创新：图形规律可能结合安徽本地特色（如徽派建筑图案、校园场景、生活中的简单拼接图形），坐标规律可能结合简单运动场景（如机器人移动、蚂蚁爬行），增强情境感，但不影响规律本身。 2.规律融合：可能出现“图形+坐标”综合规律（如图形拼接过程中，关键点的坐标变化规律），或“数列+图形”融合（如图形中计数的数字呈现数列规律），但核心仍是归纳通项、代值应用。 3.设问细节创新：可能增加“简单说理”（如说明某一项为何满足条件），但难度不高，本质仍是对规律的应用，无需复杂推理。 考向01数列规律（数字/数式规律） 研考向·通技法 等差数列：相邻两项差为固定值，通项公式为（a为公差，b为常数），如：2，5，8，11，…，通项为。 等比数列：相邻两项比为固定值，通项公式为（k为首项，q为公比），如：2，4，8，16，…，通项为。 平方/立方规律：常与n的平方、立方相关，或变形为、，如：1，4，9，16，…，通项为；2，6，12，20，…，通项为。 符号交替规律：用或控制符号，如：-1，2，-3，4，…，通项为。 分数裂项规律：分子固定，分母为两个连续整数的乘积，如：，，，…，通项为。 1．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 2．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题． （1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为5即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； （3）解：①由可得： ， ∴； ②由可得： 原式 ． 3．（2026·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，在研究从1开始的连续正整数的和时发现公式“（为正整数）”，他们继续研究一个奇数的平方数问题，过程如下： ，，，， ，… 按照以上规律，完成下列问题： (1)______； (2)若，其中为整数，则是8的倍数加1，请判断该命题的真假，如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例； (3)若是大于3的质数（只有1和它本身两个因数的自然数称为质数），它可以表示为或，则是______的倍数加1（填可填入的最大自然数）． 【答案】(1)15 (2)真命题，理由见解析 (3)24 【分析】（1）根据题中示例解答即可． （2）根据题意得出，再根据和一定有一个偶数，得出是整数，即可证明． （3）若或，求出，分当为偶数时，当为奇数时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得后一个数比前一个数依次多， 故； （2）解：真命题； 证明：， 和一定有一个偶数， 是整数， 一定是8的倍数加1，得证． （3）解：若，则， 若，则， 分析奇偶性： ①若为偶数，，则，是24的倍数； ②若为奇数，为偶数，即，则，仍是24的倍数， 所以是24的倍数加1． 4．（2024·安徽马鞍山·一模）观察下列等式： 第1个等式： 第2个式： 第3个等式： 第4个等式： …… 【总结规律】按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出第n个等式：__________（用含有n的等式表示）； (3)利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）． ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的规律可得第个等式即可； （3）将（1）（2）中发现的规律代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： 第2个式： 第3个等式： 第4个等式： …… 第个等式为：， 故答案为：； （3） ． 5．（2025·安徽亳州·三模）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)见解析． 【分析】本题考查了整式的加减运算，数字规律类探索，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法即可解答； （2）根据题意给出的规律即可解答； （3）由题意得，得到，由，则，当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ∴能被整除； （2）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数， ∴也是的倍数，能被整除， ∴当能被7整除时，也能被7整除． 6．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）【观察思考】 “回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是两位数与三位数相乘的“回文等式”     ； ； ； ； ； …… 【规律探索】 在上述等式中，以等号为对称轴，等号两边的各个数字是对称排列的，根据等式规律完成下列任务： （1）根据上述等式规律填空： ①____________，②______=______； 【规律证明】 （2）有同学发现此种有理数的乘积是11的倍数并利用代数知识证明此等式中的规律：设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，等式左边表示为：，等式右边表示为：． 左边______； ∴左边（    ），即该式中的乘积是11的倍数． 右边（______）______． ∴左边=右边． 【答案】（1）①18，81；②583，（2），，， 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律进行证明即可． 本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． 【详解】解：（1）①由题知， 因为； ； ； ； ； …， 所以 故答案为：18， ② 故答案为：583， （2）由题知， 等式左边表示为：， 等式右边表示为： 左边， 左边，即该式中的乘积是11的倍数， 右边 ， 左边=右边． 故答案为：，，， 8．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （   ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3）请运用上述规律计算：． 【答案】（1）2025，7221；（2）；（3）10000 【分析】本题主要考查数式规律探究，有理数混合运算，解答的关键是理解清楚题意及对相应的运算法则的掌握． 〖规律探究〗（1）根据题示规律用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积，计算即可； （2）根据题示规律用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积，列式表示即可； 〖问题解决〗（3）根据（2）的规律，计算即可． 【详解】解：〖规律探究〗 （1）， ， 故答案为：2025；7221； （2）， 故答案为：；； 〖问题解决〗 （3） ． 考向02 图形规律（计数规律） 研考向·通技法 点阵规律：如正三角形点阵、正方形点阵，相邻图形的点数差为固定值，通项为。 小棒拼图规律：如用小棒拼三角形、正方形，每增加1个图形，增加固定根数的小棒，重点观察“基础根数+增加的根数”。 图形面积/周长规律：图形按固定方式拼接，面积、周长随n的变化呈现规律，多为一次或二次规律。 示例：用小棒拼正方形，第1个正方形用4根小棒，第2个用7根，第3个用10根，…，第n个图形用根小棒。 1．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）按如下规律摆放黑色棋子： (1)填写表格 图案序号 1 2 3 4 … 棋子个数 3 8 … (2)直接写出第13个图案的棋子个数为______． (3)若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有360个棋子，如果有，请求出来；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)15，24，； (2)195； (3)存在第18个图案，恰好含有360个棋子． 【分析】本题考查了图形规律，已知字母的值求式子的值，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先研究已有的图形性质，总结出第n个图的棋子个数为：，即可作答． （2）直接把把代入，进行计算，即可作答． （3）依题意，列式得，解得，（舍），即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 第一个图的棋子个数为， 第二个图的棋子个数为， 第三个图的棋子个数为， 第四个图的棋子个数为， 以此类推…… 则第n个图的棋子个数为：， ∴补全表格，如下： 图案序号 1 2 3 4 … 棋子个数 3 8 15 24 … （2）解：依题意，把代入， 得， 故答案为：195； （3）解：存在，过程如下： 依题意，得， ∴ 解得：，（舍） 答：存在第18个图案，恰好含有360个棋子． 2．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 3．（2025·安徽·一模）【观察思考】 同样大小的★按如图所示的规律摆放： 【规律发现】 （1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字） （2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）． 【规律应用】 （3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗． 【答案】（1）30，30；（2）；（3）不能 【分析】本题主要考查图形规律，掌握整式的混合运算，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，找出规律即可求解； （2）结合（1）中的规律分别算出，第n个图和第个图中（★）的数量，再根据整式的计算即可求解； （3）根据题意，假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗，得到，则，由此判定假设的情况，即可求解． 【详解】解：（1）第1个图有2颗（★），一行两列， 第2个图有6颗（★），二行三列，， 第3个图有12颗（★），三行四列，， 第4个图有20颗（★），四行五列，， ∴第5个图有30颗（★），五行六列，， 第6个图有42颗（★），六行七列，， 第8个图有72颗（★），八行九列，， ∴第8个图形比第6个图形多颗星（★）， 故答案为：，； （2）根据上述计算得到，第n个图，行列，，有颗（★） 第个图，行列，，有颗（★） ∴， 故答案为：； （3）假设第个图形能否比第个图形中的星恰好多颗， ∴， 解得，， ∵不是正整数， ∴假设不成立， ∴第个图形不能比第个图形中的星恰好多颗． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： (1)______； (2)猜想：______． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理求出，，再结合旋转的性质求解，即可解题； （2）结合题意得到其规律为从开始，每3个增加的一个周长，根据规律求解，即可解题； （3）同（2）先算出，进而得到，根据的面积的面积的面积列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， ， ， 结合旋转的性质，以及，，， ， 故答案为：． （2）解：由题知，从开始，每3个增加的一个周长， ， ； 故答案为：． （3）解：， ， ， 的面积的面积的面积 ． 5．（2024·安徽合肥·二模）合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含______个C原子； （2）图（n）的分子中含______个C原子； 【规律运用】 （3）若图（m）和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 【答案】（1）28（2）（3）19 【分析】本题考查了根据题意列代数式和一元一次方程的应用等知识． （1）根据题意可以得到图（1）的分子中含C原子个数为个，图（2）的分子中含C原子个数为个，图（3）的分子中含C原子个数为个，图（4）的分子中含C原子个数为个，问题得解； （2）根据（1）的计算即可得到图（n）的分子中含C原子个数为个； （3）由（2）得，图（m）的分子中含有个C原子，图的分子中含有个C原子，据此列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）图（1）的分子中含C原子个数为个， 图（2）的分子中含C原子个数为个， 图（3）的分子中含C原子个数为个， 图（4）的分子中含C原子个数为个； 故答案为：28； （2）图（n）的分子中含C原子个数为个； 故答案为：； （3）由（2）得，图（m）的分子中含有个C原子，图的分子中含有个C原子，由题意得， 解得， 答：m的值是19． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 【答案】（1），；（2）；（3）65 【分析】本题考查了列代数式，用代数式表示数、图形的规律，用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）第一个图案边长，第二个图案边长，得出第n个图案边长为，从而计算第五个图案的长； （2）根据（1）中的结论可解答； （3）根据题意列不等式可解答． 【详解】（1）解：第一个图案的长度， 第二个图案的长度， …， 第n个图案边长为； ∴第六个图案的长为； 故答案为：，； （2）解：由（1）得第n个图案的长为； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 解得：∴， ∴至少需要带有圆形花纹的地砖65块． 7．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“□”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“▲”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列方程，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“□”的个数为； 第2个图案中，“□”的个数为； 第3个图案中，“□”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“□”的个数为； （2）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （3）∵第n个图案中“□”比“▲”多33个， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴正整数. 8．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的知识； （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）根据（2）中的结论列方程求解即可． 【详解】（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：，，； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，是第个和第个图形 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据前三个图形中纹样的个数即可得解； （2）根据（1）即可得出规律； （3）根据（2）中的规律，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）由图形可得： 第一个图形有个纹样， 第二个图形有个纹样， 第三个图形有个纹样， 故第四个图形有个纹样， 第五个图形有个纹样； （2）由（1）可得：第n个图形有个纹样； （3）由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴存在相邻的两个图形的纹样个数和为，是第个和第个图形． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形． (1)求正方形的面积； (2)求正方形的面积； (3)若按题中的规律继续作正方形，则正方形的面积为_____．（用含的式子表示） 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由点的坐标为，点的坐标为．即可求得与的长，然后由勾股定理即可求得的长，继而求得正方形的面积； （2）易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得的长，即可求得的长，即可得正方形的面积； （3）证明，可得，据此可求出，进而求出正方形的边长，计算出正方形的面积后，观察规律，可得正方形的面积为． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， ，， 在中，， 正方形的面积为：； （2）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 正方形的面积为：； （3）解：∵在正方形中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴正方形的面积为：， 探索规律： 正方形的面积为5， 正方形的面积为， 正方形的面积为：， 正方形的面积为：． 故答案为：． 11．（2025·安徽池州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，主题是“四边形内个点可把四边形分割成不重叠三角形数量”问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 示意图 1 2 3 4 不重叠三角形数量 4 6 8 (1)把上面的表格补充完整； (2)四边形内个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含的代数式表示为______； (3)兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的小三角形个数的一般规律．分析过程如下： ①边形的内部的个点，把边形分割成互不重叠的个三角形； ②三角形的内角和为个三角形的总内角和可以表示为； ③边形的内角和可以表示为______； ④边形内部的每个点都对应一个周角，个点对应个周角，其度数可以表示为； ⑤这个三角形正好拼成了内部有个点边形，所以这个三角形的总内角和又可以看成是边形的内角和加上个周角的和，即______； ⑥综上可得，______． 阅读以上内容，请在③、⑤、⑥的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)见解析 (2) (3)③；⑤；⑥ 【分析】本题考查了图形类规律，多边形内角和，周角的定义. （1）根据示意图作答即可； （2）根据表格找出规律即可； （3）根据多边形内角和，周角的定义，作答即可. 【详解】（1）如图： 故表格如下： 示意图 1 2 3 4 不重叠三角形数量 4 6 8 10 （2） 1 2 3 4 …… n 不重叠三角形数量 4 6 8 10 …… ∴四边形内个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含的代数式表示为， 故答案为：； （3）∵多边形内角和为 ∴边形的内角和可以表示为 ∵周角， ∴边形的内角和加上个周角的和 ∵三角形内角和为， ∴ 故答案为：③；⑤；⑥ 考向03 坐标规律（动点循环规律） 研考向·通技法 找周期：写出前5-6次运动后的坐标，观察“每几步重复一次位置特征”，确定周期长度（如每4步一个周期）。 算余数：用，根据余数判断第n次运动的位置（余数为0，对应周期最后一步；余数为1，对应周期第一步）。 分奇偶：若周期为2，可直接按n为奇数、n为偶数分类，写出不同的坐标表达式。 示例：点P从(0,0)出发，按“右1、上1、左1、下1”的顺序循环运动，周期为4，第n次运动后，根据n÷4的余数，可快速定位坐标。 1．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【分析】本题考查了余弦函数，相似三角形的性质，点的坐标规律探索，找到各直角三角形斜边长度的规律是解题的关键． （1）由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，则得每个三角形中以O为顶点的内角均为，利用三角函数得，，，，…，得到一般规律，从而可完成解答； （2）根据（1）中的规律，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：由（1）知，，且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 2．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由，，，，…， ∴ 当 解得： 3．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 4．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【答案】(1)19 (2) (3) 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，图形规律探索，解题的关键是根据已知图形和点的坐标得出一般规律． （1）根据给出的图形找出一般规律，得出图⑤中，正方形的总数即可； （2）根据所给出的几个图形中大正方形个数和小正方形的个数规律，得出第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形； （3）根据点的坐标为，得出小正方形的对角线长为2，从而得出，，的坐标，总结得出一般规律，从而得出的坐标． 【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形； （2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形； 第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形； 第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形； ……； 第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形． （3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2， ∴的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ……， 以此类推，则的坐标为； 5．（2025·安徽铜陵·三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案． 图形 图1 图2 图3 图4 ．．． 小正方形的个数 6 12 20 ．．． (1)观察以上图形，完成表格； (2)将图如图放置到平面直角坐标系中，则点的坐标是________； (3)不难发现点，，，，，在同一直线上，连接，利用面积法求图需要小正方形的个数． 【答案】(1)30 (2) (3)图需要小正方形的个数为个． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键． （1）观察前三个图，找到规律，即可求解； （2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解； （3）根据图形，找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：图1，小正方体的个， 图2，小正方体的个， 图3，小正方体的个， 图4，小正方体的个， 故答案为：30； （2）解：，，， 观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2， ∴； 故答案为：； （3）解：如图， 图1，小正方体的面积，小正方体的个数6个， 图2，小正方体的面积，小正方体的个数12个， 图3，小正方体的面积，小正方体的个数20个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数30个， 图4，小正方体的面积，小正方体的个数个， 答：图需要小正方形的个数为个． 刷模拟 1．（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，见解析 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系的增加情况，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （2）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （3）根据题意，假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，由此即可求解． 【详解】[规律发现] （1）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； （2）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； [规律应用 （3）不存在， 理由如下：假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，        整理得：， 解得， 不是正整数，与题意中的是正整数不符， ∴不存在正整数，使得“”的个数是“”的个数倍． 2．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． （1）观察表格，找到规律，即可填空； （2）根据规律求解即可； （3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，熟练根据题意得出图形的规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， ， ∴第个图案中有个“△”， 故答案为：； （2）第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， ， 第个图案中， “○”有， 故答案为：； （3）由（1）（2）得：第个图案中，“△”和“○”的数量之和为：， 则， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， 故． 4．（2025·安徽合肥·一模）【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题． （2）根据题中所给规律即可解决问题． （3）结合（1）（2）中发现的规律建立关于的等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：． （2）由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． （3）由（1）（2）知， 因为第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆， 所以， 解得或． 因为为正整数， 所以． 5．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 【答案】（1）11；16（2）（3） 【分析】本题主要考查了关于图形的规律问题，点的坐标，代数式的表示，图形的周期性等，解题的关键是找到图形排列的规律． （1）先根据条件求出，再确定两个在轴上的大等腰直角三角形顶点间的长度，即可求解； （2）利用规律推出公式即可； （3）按照图形规律，求出两个正方形之间的长度，根据周期性即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为， ,,,, ∴点的横坐标为11，点的横坐标为16， 故答案为：11，16； （2）点的横坐标为； （3）按照图形规律，可得第1个正方形出现的围墙长度为3m，后面则每5m长的围墙为1组，不断循环，每组只有1个正方形图案， ∴ 故围墙的总长为1003m． 6．（2025·安徽阜阳·二模）数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题： 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“※”的个数为__________； （2）第n个图案中“”的个数为__________； 【规律应用】 （3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 【答案】（1） （2） （3）第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可； （2）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可； （3）根据题意列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：（1）由图得第1个图案中“※”的个数为个， 第2个图案中“※”的个数为个， 第3个图案中“※”的个数为个， 第个图案中“※”的个数为个； 故答案为： （2）由图得第1个图案中“”的个数为个， 第2个图案中“”的个数为个， 第3个图案中“”的个数为个， 第个图案中“”的个数为个； 故答案为：； （3）由题意可得， 解得（舍去）， 故第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 7．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【答案】(1)28 (2) (3) 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为28． （2）， 故答案为． （3）由题意，得， 即 解得（不符合题意，舍去） 答：n的值为12． 8．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 9．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【答案】（1）； （2）； （3）需要方砖423块． 【分析】本题主要考查了图形类他规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：． （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 10．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴． （3）解：原式 ． 11．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 12．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 13．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形拼接产生了兴趣． 【项目准备】 （）斐波那契数列知识学习：数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和．前几项为：，，，，，，，，，，①________，，，… （）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有缝隙． （）构造一个新的图形拼接：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有重叠． （）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第项为，第项为，…，第项为，第项为． 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）； 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ （）方案一：将图中的正方形拼接成图中的矩形，请画出分割线； （）方案二：将边长分别为斐波那契数列，，，，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形，请在图中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 正方形的面积和为：③________； 矩形的面积正方形的面积和宽长④________（填数字）； （）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为⑤________； 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 【答案】①；②缝隙；③；④；⑤；图见解析 【详解】解：【项目准备】（）①； （）②斐波那契数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和， 对于其中的每个偶数项都有，当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有缝隙； 【项目分析】（）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． ③正方形的面积和为：； ④矩形的面积正方形的面积和宽长， 故答案为：； （）结合（）可得，将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为． 14．（2025·安徽合肥·二模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225 【分析】本题主要考查了图形类规律题，解一元二次方程，根据题意得到规律是解题的关键． （1）根据题意规律可得第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； （2）根据题意求出在第2排中，前4个图案中“矩形”的个数，可得到规律即可； （3）求出在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为，可得到规律即可； （4）根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：在第1排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； 故答案为： （2）根据题意得：在第2排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （3）根据题意得：在第3排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （4）根据题意得：， ∴（负值舍去）， 解得：或（舍去）， ∴存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225． 15．（2026·安徽阜阳·一模）新方向·项目式学习  综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正方形”数量与规律． 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”．如图1，我们将边长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形；像边长与网格线不平行的正方形称为“斜网格正方形”，如正方形． 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 在网格中，“正网格正方形”有个； 在网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； 在网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； (1)在网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①______； (2)在网格中，“正网格正方形”的个数共有②______个． 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在网格中，“斜网格正方形”有0个； 在网格中，如图4，“斜网格正方形”有1个； 在网格中，如图5，“斜网格正方形”有（个）； 在网格中，如图6，“斜网格正方形”有（个）… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： … “正网格正方形”的个数和 1 5 14 91 … “斜网格正方形”的个数和 0 1 6 20 50 … “网格正方形”的总数 1 6 20 50 … 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总结表格数据规律完成下列问题． 【项目应用】 (3)在网格中，“斜网格正方形”的个数和是③______． (4)在网格中，“网格正方形”的总数是④______． 【项目延伸】在的正方形网格中，已知网格正方形的总数和为，那么．设，则⑤______（⑥______）． (5)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤______；⑥______． 【答案】(1)9 (2)55 (3)105 (4)336 (5)⑤ ⑥ 【分析】（1）根据题意，得到在的网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为，即可得出结果； （2）易得网格中，“正网格正方形”的个数为， （3）观察可知网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数，进行求解即可； （4）根据（2）（3）规律进行求解即可； （5）根据题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵在网格中，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个）， 在网格中，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）， ∴在的网格中，边长为4的“正网格正方形”有1个，边长为3的“正网格正方形”有（个），边长为2的“正网格正方形”的个数为（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）； （2）解：由题意，可知：网格中，“正网格正方形”的个数为， ∴在网格中，“正网格正方形”的个数共有（个）； （3）解：观察可知：网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数， ∵在网格中，“正网格正方形”的个数共有55个；“斜网格正方形”的个数和50个， ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； ∴在网格中，“斜网格正方形”的个数和105个； （4）解：由（3）结合表格数据可知：在网格中，“斜网格正方形”的个数为个， 在网格中，“正网格正方形”的个数共有个； ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； （5）解：． 设，则 ． 刷真题 1．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 3．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $