7.4.2 超几何分布 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 第2课时 超几何分布   一、教学目标 1.理解超几何分布概念，能够判定随机变量是否服从超几何分布； 2.会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率； 3.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的均值； 4.通过对比二项分布与超几何分布的联系与区别，理解并应用模型所描述的随机变量的特点和数字特征进行概率决策，培养学生数学建模素养.   二、教学重难点 重点：超几何分布模型的特征，分布列及其均值. 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布和超几何分布，并用随机变量的概率分布和数字特征进行概率决策.   三、教学过程 （一）复习导入 师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答. 思考1：二项分布是什么？ 答：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为： 此时称随机变量服从二项分布，记作 思考2：二项分布的均值与方差公式？ 答：若随机变量服从二项分布 则其期望为： 方差为： 设计意图：通过复习之前相关的知识点，学生思考回顾并参与互动，为引入超几何分布的概念作铺垫. （二）探究新知 任务一：超几何分布概念 探究1：双11即将来临，某商家拟推出一项抽奖优惠活动：在一个不透明的盒子里放有外观相同的10个乒乓球，其中有3个乒乓球的表面上写有“奖”字，顾客消费满500元便可获得两次抽奖机会，每次从盒中任意摸取一个球，抽中带有“奖”字的乒乓球，均可获得50元现金代用券.现有两种抽奖方式可供选择：有放回抽奖和不放回抽奖，请同学们利用所学数学知识，给出合理的决策方案. 师生活动：每组同学分成两个小组，分别进行“有放回抽奖”和“不放回抽奖”两种方案的计算，然后再进行小组讨论，给出合理的决策方案. 思考1：有放回抽奖概率是多少？ 答：若采用有放回抽奖，每次中奖的概率均为0.3. 思考2：不放回抽奖概率是多少？ 答：若采用不放回抽奖，则每次抽取时条件不同，且各次抽取的结果不独立，不满足重伯努利试验的特征，此时不服从二项分布，只能根据古典概型求的分布列.而在不放回抽奖过程中，逐个不放回抽取2个乒乓球和一次性抽取2个乒乓球，结果相同，故可用如下方法求的分布列. 从10个乒乓球中任取2个共有种不同的取法，中奖个数的可能取值为0，1，2.恰有个中奖的取法有种. 即随机变量的分布列为 思考3：如果是你会选择哪种方案？ 答：若采用有放回抽奖，每次中奖的概率均为0.3，且各次抽取的结果相互独立，此时服从二项分布，即，，，其中. 若采用不放回抽奖，,（元）， 其中 由于两种抽奖方式奖金的数学期望都是30元，但不放回抽奖的方差更小，所以选择不放回抽奖方式. 设计意图：通过具体的问题情境，激发学生的学习兴趣，学生积极思考并参与互动，说出自己的见解，从而引入超几何分布的概念. 探究2：上述问题中不放回抽奖方式不服从二项分布，你能说说这类不放回简单随机抽样的特征吗？你能根据这些特征尝试归纳出这一类分布的概念吗？ 师生活动：学生观察比较上述问题的放回与不放回简单随机抽样，归纳出超几何分布模型的特征，教师进行总结. 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取 件(不放回），用表示抽取件产品中的次品数，则的分布列为 其中，则称随机变量服从超几何分布，记作. 思考1：公式中各个字母的含义是什么？ 答： －总体中的个体总数； －总体中的特殊个体总数（如次品总数）； －样本容量； －样本中的特殊个体数（如次品数）. 思考2：相关字母的限定是什么？ 答： 设计意图：通过比较放回与不放回简单随机抽样，归纳出超几何分布模型的特征，由特殊到一般地得出超几何分布的分布列，加深学生的理解和思考. 超几何分布 ) 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件 (不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列如下： 分布列 其中 , , 特点 (1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出； (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数， 随机变量取值的概率实质上是古典概型． 做一做：1.从名学生中随机选出名学生代表，求甲被选中的概率． 师生活动：教师出示问题，引导学生分析：根据超几何分布的判断方法，该模型是不是超几何分布模型？如果是，各个参数分别是什么？代表什么含义？ 解：设表示选出的名学生中含甲的人数（只能取或），则服从超几何分布，且，，．因此甲被选中的概率为 . 容易发现，每个人被抽到的概率都是．这个结论非常直观，这里给出了严格的推导． 2.下列问题中,相应随机变量服从超几何分布的是(　　) .抛掷三枚骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数 .有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子数 盒子中有大小、质地完全相同的红球3个,黄球4个,蓝球5个,任取3个球,其中不是红球的个数 .有100个蓝牙耳机未经检测,抽取10个送检,检验结果为不合格的蓝牙耳机的个数 师生活动：教师出示例题，并指导学生分析解题思路，让学生明确超几何分布的特点. 分析：项中随机变量服从二项分布；选项符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量表示抽取个样本中某类样本被抽取的个数,是超几何分布；项中没有给出不合格品的个数,无法计算的概率分布,所以不属于超几何分布问题. 解：. 总结：对超几何分布的三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样. (2)超几何分布中的参数是 (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生的有关问题等,往往由差异明显的两部分组成. 设计意图：通过帮助学生巩固超几何分布模型的应用，引导学生掌握并灵活运用超几何分布解决实际问题，发展学生的数学建模和数学运算等核心素养. 任务二 超几何分布的期望与方差 思考1：根据已有经验，定义了超几何分布后，接下来要研究什么呢？ 师生活动：学生共同回答，教师点评. 答：还需要研究这种类型的期望与方差 思考2：你能推导出服从超几何分布的随机变量的均值吗？ 师生活动：学生独立探究，然后展示、交流，教师予以引导完善，最后师生共同总结. 答：设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，猜想，即. 实际上，由随机变量均值的定义，令，有 . 因为,所以 . 超几何分布的方差计算比较复杂，不作要求，感兴趣的同学可以尝试推导： 思考3：对于我们刚才的不放回抽奖的例子，用上述得出来的公式迅速验证一下. 答：, 符合上述计算的答案. 设计意图：通过探究服从超几何分布的随机变量的均值，加深学生对于超几何分布的认知，同时发展学生的逻辑推理能力. 做一做：一个袋子中有100个大小相同的小球，其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. （1）分别就有放回和不放回摸球，求的分布列及其数学期望； （2）分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率. 师生活动：教师可以用提出问题的方式引导学生思考与分析并得出最后的答案. 分析：（1）本题中每次摸球是一个什么试验？ 因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验. （2）若采用有放回摸球，则各次试验的结果独立吗？服从什么分布？ 摸出20个球，若采用有放回摸球，则各次试验的结果相互独立， （3）若采用不放回摸球，则各次试验的结果独立吗？服从什么分布？ 若采用不放回摸球，则各次试验的结果不独立，服从超几何分布. 解：（1）对于有放回摸球，由题意知，则的分布列为 . 对于不放回摸球,由题意知服从超几何分布，则的分布列为 . （2）在中（对于组合数，可以直接调用函数进行计算）计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.00001），如下表所示: 0 0.00004 0.00001 11 0.07099 0.06376 1 0.00049 0.00015 12 0.03550 0.02667 2 0.00309 0.00135 13 0.01456 0.00867 3 0.01235 0.00714 14 0.00485 0.00217 4 0.03499 0.02551 15 0.00129 0.00041 5 0.07465 0.06530 16 0.00027 0.00006 6 0.12441 0.12422 17 0.00004 0.00001 7 0.16588 0.17972 18 0.00000 0.00000 8 0.17971 0.20078 19 0.00000 0.00000 9 0.15974 0.17483 20 0.00000 0.00000 10 0.11714 0.11924 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表数据计算得 有放回摸球：. 不放回摸球： 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 注意：两种摸球方式下，随机变量分别服从二项分布和超几何分布，这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（如下图）看，通过统计比较两种不同分布在随机变量取值在5－11的概率，可以发现超几何分布更集中在均值附近. 设计意图：通过解决实际问题，引导学生发现超几何分布与二项分布在均值与方差上的相同点与不同点，为任务三做铺垫.X P 任务三: 二项分布和超几何分布 思考：二项分布和超几何分布的联系与区别是什么？ 师生活动：学生思考二项分布与超几何分布的联系与区别，尝试回答，教师加以引导和完善，最后师生共同总结. 答：可以通过均值和方差对比二项分布和超几何分布，如下表所示： 抽样方式 的分布 有放回 二项分布 无放回 超几何分布 （1）在抽样试验如抽次品或摸球模型中，二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，有放回抽取是二项分布，不放回抽取是超几何分布.两个分布的均值相同，但由于，因此超几何分布的方差小于二项分布的方差，即超几何分布取值更集中于均值附近. （2）对于超几何分布，当充分大，且远远小于时，各次抽样结果彼此影响很小，可以近似认为是相互独立的.因此，超几何分布可以用二项分布近似.从方差角度看，由于，两个分布的方差也近似相等. （3）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道和，而二项分布只需要知道即可. 超几何分布 二项分布 实验类型 不放回抽样 放回抽样 实验种数 有两种物品 有两种结果 总体个数 有限个 无限个 随机变量取值的概率 利用古典概型计算 利用独立重复实验计算 联系 当总体很大时，超几何分布近似二项分布 设计意图：通过对问题的深入思考，加深对超几何分布的理解与认知，体会二项分布与超几何分布的联系和区别. （三）应用举例 例1：一批零件共有个，其中有个不合格．随机抽取个零件进行检测，求至少有件不合格的概率． 师生活动：教师出示问题，引导学生先判断出是否是超几何分布模型，再分析求服从超几何分布的随机变量的分布列的思路，最后引导学生思考问题中含有“至少有一个”关键词时的解题方法，学生思考并解答. 解：设抽取的个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且，，．的分布列为 ，，，，． 至少有件不合格的概率为 . 也可以按如下方法求解： 例2：在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数的分布列; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张, ①求顾客乙中奖的概率; ②设顾客乙获得的奖品总价值为元,求的分布列. 师生活动：教师出示例题，并指导学生分析解题思路，让学生明准确使用超几何分布公式来解决问题的方法. 分析：本题（1）属于两点分布问题，（2）属于超几何分布问题，可以直接使用这两种分布的概率公式直接进行求解. 解：(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,故的取值只有0和1两种情况. 则. 因此的分布列为 0 1 (2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件:所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率. ②的所有可能取值为0,10,20,50,60,且, ,,, . 因此随机变量的分布列为 0 10 50 60 总结：解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆. (2)超几何分布中,只要知道,就可以利用公式求出取不同值的概率,从而求出的分布列. 例3：一个袋子中装有60个大小、质地完全相同的球,其中有20个黄球、40个白球,从中随机地摸出10个球作为样本,用表示样本中黄球的个数. (1)有放回地摸球,求的分布列; (2)不放回地摸球,求的分布列. 师生活动：教师出示例题，并指导学生分析解题思路，让学生准确判断出二项分布与超几何分布，并使用对应公式来解决问题的方法. 分析：本题（1）属于二项分布问题，（2）属于超几何分布问题，可以直接使用这两种分布的概率公式直接进行求解. 解：(1)对于有放回地摸球,每次摸到黄球的概率为,且各次试验之间的结果相互独立,因此,的分布列为 ,. (2)对于不放回摸球,各次试验的结果不独立服从超几何分布,的分布列为 总结：二项分布和超几何分布都可以描述从件产品中随机抽取的件产品中次品数的分布规律),并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 设计意图：通过例题的学习，深化学生对超几何分布的理解与应用. （四）课堂练习 1.在个村庄中有个村庄交通不方便，现从中任意选个村庄，用表示这个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：在个村庄中有个村庄交通不方便，现从中任意选个村庄， 用表示这个村庄中交通不方便的村庄数， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：． 2.在一个箱子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，现从中不放回的摸取个球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  解：的取值可能为，，， 易知，，， 所以， 的取值可能为，，， 易知， ，， 所以． 易得， 又， 所以． 对比选项可知答案为． 3.一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，下列概率等于的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：由题意，的意义是前个拿出的是白球，第个是黑球， 前个拿出的是白球有种取法，再任意拿出个黑球即可，有种取法， 而在这次拿球中可以按顺序排列，有种取法， 故选D 4.把半圆弧分成等份，以这些分点包括直径的两端点为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数的期望为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：以这些分点包括直径的两端点为顶点，一共能画出个三角形， 其中钝角三角形有个，所以，，，， ， ， ， ， 所以． 故答案为：． 设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 图表标题 二项分布 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.65615844006298E-05 0.000487487792008397 0.00308742268271985 0.0123496907308794 0.0349907904041583 0.074647019528871 0.124411699214785 0.165882265619713 0.179705787754689 0.159738478004168 0.11714155053639 0.0709948791129636 0. 0354974395564819 0.01456 30521257361 0.00485435070857871 0.00129449352228766 0.000269686150476596 4.23037098786815E-05 4.7004122087424E-06 3.29853488332801E-07 1.099511627776E-08 超几何分布 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.82084806595279E-06 0.000152601913482006 0.00134616687964484 0.00713781508276797 0.0255095777673923 0.0653045190845243 0.124220552606432 0.179723352707179 0.200784683102551 0.174832921340997 0.11923605235456 0.0637625948420106 0.0266699314964179 0.0086706308493434 0.00216765771233585 0.000409884367423507 5.71825289374311E-05 5.6651421857517E-06 3.74420316874393E-07 1.46962479415462E-08 2.57184338977059E-10 学科网（北京）股份有限公司 $