考点01 复数的概念（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点01 复数的概念 考点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 考点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 题型一：复数的概念 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 复数不能比较大小，仅实数可比较. 1．若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C 2．已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 4．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 5．给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 题型二：复数的分类 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 把实数、虚数、纯虚数关系混淆；误认为虚数可比较大小；混淆虚部定义. 1．已知，则实数________，________． 【答案】 2 【解析】因为， 所以，解得 故答案为：；2 2．若，则____________，____________． 【答案】 3 【解析】，，解得. 故答案为：. 3．已知，则______． 【答案】1 【解析】由，得，解得． 故答案为：1． 4．已知，则_______ 【答案】3 【解析】因为，， 所以 解得. 所以. 故答案为：3. 5．已知，i为虚数单位，且，则___________. 【答案】0 【解析】因为，则， 故答案为：0. 题型三：复数相等的充要条件 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 未整理标准式就直接对比系数；忽略a，b，c，d均为实数的前提；含参数时漏解或多解；把虚部b误写成bi 进行比较。 1．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【解析】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 2．下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 【解析】，，是实数； ，，是虚数； 是纯虚数. 3．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【解析】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 4．已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【解析】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 5．已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【解析】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 1．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，三个集合之间的关系如图所示， 所以，，，． 故选：C． 2．若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【解析】由题意可得：， 解得： 故选：B 3．设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 4．设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 5．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 6．（多选题）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【解析】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 7．设是虚数单位，则 “”是复数“复数为纯虚数”的______．(填充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件) 【答案】必要不充分条件 【解析】，或，即对应复平面的实轴和虚轴，复数为纯虚数，所以且，对应复平面除原点外的虚轴，故“”是复数“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 8．设实数，，满足，则的最大值为_________． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 9．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 【解析】（1）要使复数为实数， 需满足， 解得或． 即当或时，是实数． （2）要使复数为纯虚数， 需满足， 即 解得， 即当时，是纯虚数． 10．已知复数和，若，试求的取值范围． 【解析】，， 消去m得，， ， ， ∴当时，； 当时，． 的取值范围为． 11．已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 【解析】（1）为实数， ， 解得或， 当为实数时，或； （2）为纯虚数， ， 解得， 当为纯虚数时，. 12．已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为为纯虚数，所以解得． （2）由于，所以 所以， 又，所以当时，，当时，， 所以实数的取值范围是． 13．取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 【解析】（1）当复数为实数时，其虚部等于零，即. 可得或，即或. 所以，当或时，复数为实数. （2）当复数为虚数时，其虚部不等于零，即，得且，即且. 所以，当且时，复数为虚数. （3）当复数为纯虚数时，其实部等于零且虚部不等于零，即. 解方程，可得或，即或. 结合，即，可得且. 综合以上两个条件，舍去，所以. 所以，当时，复数为纯虚数. 14．当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【解析】（1）当即时，复数是实数． （2）当，且，即且时，复数是虚数． （3）当即时，复数是纯虚数． 15．已知复数，，其中．若，求的值． 【解析】由题意，, 因为， 所以， 解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 复数的概念 考点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 考点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 题型一：复数的概念 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 复数不能比较大小，仅实数可比较. 1．若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 4．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 5．给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型二：复数的分类 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 把实数、虚数、纯虚数关系混淆；误认为虚数可比较大小；混淆虚部定义. 1．已知，则实数________，________． 2．若，则____________，____________． 3．已知，则______． 4．已知，则_______ 5．已知，i为虚数单位，且，则___________. 题型三：复数相等的充要条件 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 未整理标准式就直接对比系数；忽略a，b，c，d均为实数的前提；含参数时漏解或多解；把虚部b误写成bi 进行比较。 1．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 2．下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 3．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 4．已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 5．已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 1．设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 3．设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（多选题）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 7．设是虚数单位，则 “”是复数“复数为纯虚数”的______．(填充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件) 8．设实数，，满足，则的最大值为_________． 9．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 10．已知复数和，若，试求的取值范围． 11．已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 12．已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 13．取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 14．当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 15．已知复数，，其中．若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $