7.5 正态分布 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.5 正态分布 【基础巩固】 1．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2．某校舞蹈队队员的身高（单位：）近似服从正态分布，则（ ） （附：若，则，） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 4．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为．假设坐公交车用时（单位：）和骑自行车用时（单位：）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（ ） A． B．若某天只有可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有可用，李明应选择公交车 5．（多选）设随机变量，则（ ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，且，则__________. 7．某地有名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在分以上的人数为__________. 8．已知某公司人均月收入服从正态分布，其密度函数图像如图所示． (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在元之间的人数所占的百分比． 【能力拓展】 9．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在以下，至少要测量的次数为（ ） A． B． C． D． 10．江先生每天点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要分钟；江先生从家到地铁站需要步行分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 11．已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为______． 【素养提升】 12．某公司生产的糖果每包标识“净含量”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：）服从正态分布． (1)随机抽取包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于的概率（精确到）； (2)随机抽取包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取包该公司生产的糖果，记其中净含量小于的包数为．求的分布列和期望（精确到）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5 正态分布 【基础巩固】 1．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【解析】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 2．某校舞蹈队队员的身高（单位：）近似服从正态分布，则（ ） （附：若，则，） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得 . 故选：D 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知该正态分布的均值为，其图象的对称轴为直线， 则，又， 由对称性可知， 由条件概率公式得． 故选：C． 4．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为．假设坐公交车用时（单位：）和骑自行车用时（单位：）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（ ） A． B．若某天只有可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有可用，李明应选择公交车 【答案】C 【解析】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 5．（多选）设随机变量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由随机变量可知： 所以成立，故A正确；不成立，故B错误； 再由随机变量可知： ，故成立，故C正确； 由于，， 它们的临界值都是，所以，故D错误； 故选：AC. 6．已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【解析】因为随机变量，且，所以， 则. 故答案为： 7．某地有名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在分以上的人数为__________. 【答案】 【解析】由题意知，期末考试数学成绩服从正态分布， 因为，可得， 则， 又因为某地有名学生参加考试， 所以估计某地学生数学成绩在分以上的人数为. 故答案为：. 8．已知某公司人均月收入服从正态分布，其密度函数图像如图所示． (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在元之间的人数所占的百分比． 【答案】见解析 【解析】(1)设公司人均月收入为， 结合题图可知，. 此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为: ，. (2)，则， 所以. 故公司人均月收入在元之间的人数所占的百分比为. 【能力拓展】 9．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在以下，至少要测量的次数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，得， 所以，即， 而，所以且， 又因为，所以，， 所以且，即，解得， 故至少要测量的次数为. 故选：C. 10．江先生每天点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要分钟；江先生从家到地铁站需要步行分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【解析】对于A，当满足时， 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误； 对于B，若出门，①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时， 此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误； 对于C，若出门，①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁，当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若出门，江先生乘坐地铁上班， 当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D. 11．已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由题意，随机变量的分布图象关于直线对称，随机变量的分布图象关于直线对称，且随机变量的分布图象与随机变量的分布图象形状相同，所以两图象关于直线，即对称， 因为正实数满足，所以，解得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为． 故答案为：. 【素养提升】 12．某公司生产的糖果每包标识“净含量”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：）服从正态分布． (1)随机抽取包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于的概率（精确到）； (2)随机抽取包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取包该公司生产的糖果，记其中净含量小于的包数为．求的分布列和期望（精确到）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意，，的概率等于． 令，则．因此，． 故净含量误差不小于的概率约为． (2)检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由(1)可知，随机抽取包检查，其净含量误差不小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的． （发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）． (3)可能的取值为、、、． 由(1)可知，任取一包糖果，净含量小于的概率为． 故服从二项分布，记， ，，，， 从而的分布列为 因此． 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $