专题06 二次函数与几何综合（题型专练5大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 二次函数与几何综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：二次函数与线段问题 题型02：二次函数与面积问题 题型03：二次函数与特殊三角形存在性问题 题型04：二次函数与特殊四边形存在性问题 题型05：二次函数与相似三角形存在性问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数与线段问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【典例02】（2025·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 方法透视 考向解读 此题型是二次函数与几何综合的常见形式，涉及线段长度、线段和差的最值（如“将军饮马”模型）。常作为解答题的前几问。考察：用坐标表示线段长度（水平线段，竖直线段）；利用二次函数性质求线段最值；通过对称转化求线段和的最小值。 方法技能 线段长度：若线段平行于坐标轴，直接坐标相减取绝对值。若为斜线段，用两点距离公式，或转化为竖直/水平线段（勾股定理）。 线段最值：将目标线段长度表示为某个变量的二次函数，利用配方或顶点公式求最值。 “将军饮马”模型：在二次函数对称轴上找一点，使其到两定点距离之和最小。步骤：找定点、定对称轴、作对称点、连直线、求交点。 变式演练 【变式01】（2026·湖南永州·一模）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 【变式03】（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 题型02 二次函数与面积问题 典例引领 【典例01】（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例02】（2023·湖南·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上      (1)求k的值； (2)连接，记的面积为S，设，求T的最大值． 方法透视 考向解读 这是中考高频压轴题型。考察：求由抛物线、直线和坐标轴围成的图形面积；求面积等值问题（如存在点使面积等于某值）；求面积的最大值或最小值。常用“铅垂高法”。 方法技能 直接求面积：对于规则图形（如三角形有一边在坐标轴上），直接用面积公式。对于不规则图形，用“割补法”转化为规则图形。 铅垂高法（万能法）：对于任意三角形，其面积。其中，为、两点水平距离，为点到直线的铅垂距离（即点与、纵坐标差的绝对值）。此法可将面积表示为点的横坐标的二次函数。 面积最值：用铅垂高法建立面积关于横坐标的二次函数，利用顶点求最值。注意自变量的取值范围（动点所在线段或抛物线部分）。 变式演练 【变式01】（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交于点，求的最大值； (3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．          【变式02】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积． (3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03 二次函数与特殊三角形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点． (1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标． 【典例02】（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 方法透视 考向解读 这是动态几何与代数综合的难点，充分考查分类讨论和数形结合思想。常以解答题最后一问出现。要求探究抛物线上或对称轴上是否存在点，使之与已知点构成等腰三角形或直角三角形。 方法技能 等腰三角形：通常分三类讨论：以已知线段为腰，为顶点；以为腰，为顶点；以为底。利用两点间距离公式，列方程、或求解。几何法（作中垂线、画圆）有助于快速确定点的大致位置和个数。 直角三角形：通常分三类讨论：、、。利用勾股定理逆定理，列方程如等求解。几何法（过端点作垂线、以为直径画圆）可辅助分析。 通法：设出动点坐标，用距离公式表示三边长度，根据几何条件列方程。注意解可能有多组，需检验合理性。 变式演练 【变式01】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【变式02】（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是对称轴上的一个动点，当以P、C、M为顶点的三角形与相似时，求出点P的坐标； (3)D为的中点，在x轴上找一点E，在抛物线的对称轴上找一点F，连接，使的值最小． (4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式03】如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型04 二次函数与特殊四边形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【典例02】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为，，，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； (3)连接，点M是抛物线上的动点且在直线上方，求点到直线距离最大时，点的坐标及最大距离值． 方法透视 考向解读 此题型在特殊三角形基础上更复杂，是压轴题中的难点。考察平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性。核心是对顶点顺序的分类讨论和平行四边形顶点坐标公式的应用。 方法技能 平行四边形： ①已知、、三点，求点使、、、成平行四边形。分三种情况：为对角线、为对角线、为对角线。利用平行四边形顶点坐标公式：若，则（对角线中点重合）。设坐标，代入公式求解。 ②已知、两点，以及点的横坐标，则;;;然后在由D所在的函数求D点的纵坐标。 菱形/矩形/正方形：在平行四边形存在的基础上，增加邻边相等（菱形）、对角线相等（矩形）或邻边相等且对角线相等（正方形）的条件。先按平行四边形方法确定点，再验证附加条件；或直接联立方程组。 方法选择：代数法（列方程）普适性强；几何法（平移、对称）更直观，常用于选择题填空题。 变式演练 【变式01】（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线：与抛物线交于点P，与直线交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：，直线与抛物线交于点Q，与直线交于点N． ①当点Q在直线下方时，求面积的最大值及此时点N的坐标； ②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2025·湖南娄底·三模）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 题型05 二次函数与相似三角形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点与轴交于点，  且关于对称，连接． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点是抛物线上位于直线下方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点， (ⅰ)若点的坐标为，求证：， (ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，将抛物线位于轴上方面的部分不变，位于轴下方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向上平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有两个不同交点，请直接写出的取值范围．                                                             【典例02】（2025·湖南张家界·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB． ①当时，求的面积. ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 方法透视 考向解读 这是代数与几何综合的最高难度题型之一，对思维要求高。考察在二次函数背景下，两个三角形相似的条件下，求动点坐标或参数值。核心是找准对应角，利用比例线段列方程。 方法技能 寻找等角：由于二次函数图象多为轴对称图形，常存在天然的等角（如对称轴两侧）。利用已知角度（如直角）、平行线、公共角来寻找可能的对应角。 分类讨论：相似没有全等那样的“顺序”对应，所以必须分类讨论。例如，则对应关系可能是，也可能是。通常有2-3种情况。 列方程求解：确定一种对应关系后，根据“对应边成比例”列出比例式。边用两点距离公式表示，转化为关于动点坐标的方程。有时利用某个角相等（如都是直角）产生的斜率关系来列式更简便。 变式演练 【变式01】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标； (3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由． 【变式02】（2025·湖南·二模）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 【变式03】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知， ①求直线l的解析式； ②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题●型●训●练 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，抛物线与 x 轴交于点，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M 为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题． (1)下列抛物线中是“型”抛物线的有： （填序号）；①；②；③； (2)若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值； (3)抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，如图1所示，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线下方的抛物线上存在一个动点P，使四边形的面积为16，试求出点P的坐标； (3)如图2，过点B作交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作，点Q为上的一个动点，求的最小值． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值； (3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？ 4．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图，直线经过点，为直线上的一个动点，且位于轴的下方，为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以为邻边构造矩形，求矩形的周长的最小值． (3)如图，设抛物线的顶点为，在（）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，如图（1），抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点． (1)求抛物线解析式并求出M、N两点坐标； (2)点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出面积最小值； (3)如图（2），点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值． 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知抛物线，将抛物线向下平移个单位长度后得到抛物线，记抛物线的顶点为，坐标原点关于点的对称点为，过点且平行于轴的直线记为，抛物线上有一动点（位于轴的左边），连接并延长交抛物线于点，过点作平行轴交的延长线于点． (1)证明：点在直线上； (2)过点作垂直，垂足为，证明：是等腰三角形； (3)如图2，已知线段的端点、均在抛物线上，且，线段的中点为，当线段的长最小时，求点的坐标． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数与几何综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：二次函数与线段问题 题型02：二次函数与面积问题 题型03：二次函数与特殊三角形存在性问题 题型04：二次函数与特殊四边形存在性问题 题型05：二次函数与相似三角形存在性问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数与线段问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，的最大值为 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【典例02】（2025·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 方法透视 考向解读 此题型是二次函数与几何综合的常见形式，涉及线段长度、线段和差的最值（如“将军饮马”模型）。常作为解答题的前几问。考察：用坐标表示线段长度（水平线段，竖直线段）；利用二次函数性质求线段最值；通过对称转化求线段和的最小值。 方法技能 线段长度：若线段平行于坐标轴，直接坐标相减取绝对值。若为斜线段，用两点距离公式，或转化为竖直/水平线段（勾股定理）。 线段最值：将目标线段长度表示为某个变量的二次函数，利用配方或顶点公式求最值。 “将军饮马”模型：在二次函数对称轴上找一点，使其到两定点距离之和最小。步骤：找定点、定对称轴、作对称点、连直线、求交点。 变式演练 【变式01】（2026·湖南永州·一模）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求得m即可； （2）由（1）知直线 的解析式为，可设点，且点，则求解即可； （3）结合已知可得，则D点纵坐标为，进一步得出点D的坐标，再求出点A的坐标，然后求出的解析式，然后联立的解析式和抛物线解析式即可求出点P的坐标． （4）在x轴取点P，使，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）知直线 的解析式为， ∵P是直线下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作平行于y轴交于N， ∴点， 那么， 则最大值为； （3）解：∵点， ∴， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得，， ∴点， 设的解解析式为：， 则， 解得： 则的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）解：在x轴取点P，使，连接，如图， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式可得，根据二次函数的对称轴可得，联立解方程组即可得； （2）先求出直线的解析式为，则，再设点的坐标为，则，利用二次函数的性质求出的值，然后作点关于直线的对称点，将沿方向向下平移1个单位长度得到，则，，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先求出平移后所得到的新抛物线的解析式为，则，，再过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，然后设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 联立，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：将代入得：， 解得或， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一点， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 由题意，设点的坐标为， ∵轴，交于点， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值， 如图，作点关于直线的对称点， 则，，即， 将沿方向向下平移1个单位长度得到， 则，， ∴， ∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为， 即的最小值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后所得到的新抛物线的解析式为， 将代入得：， ∴，， 如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点， ∴，四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵线段被直线平分，且， ∴的中点的坐标为，且点在直线上， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质、一次函数的应用、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【变式03】（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 题型02 二次函数与面积问题 典例引领 【典例01】（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 【典例02】（2023·湖南·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上      (1)求k的值； (2)连接，记的面积为S，设，求T的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）点在函数的图像上，代入即可得到k的值； （2）由点在x轴负半轴得到，由四边形为正方形得到，轴，得的面积为，则，根据二次函数的性质即可得到T的最大值． 【详解】（1）解：∵点在函数的图像上， ∴， ∴， 即k的值为2； （2）∵点在x轴负半轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，轴， ∴的面积为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，T的最大值是1． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 方法透视 考向解读 这是中考高频压轴题型。考察：求由抛物线、直线和坐标轴围成的图形面积；求面积等值问题（如存在点使面积等于某值）；求面积的最大值或最小值。常用“铅垂高法”。 方法技能 直接求面积：对于规则图形（如三角形有一边在坐标轴上），直接用面积公式。对于不规则图形，用“割补法”转化为规则图形。 铅垂高法（万能法）：对于任意三角形，其面积。其中，为、两点水平距离，为点到直线的铅垂距离（即点与、纵坐标差的绝对值）。此法可将面积表示为点的横坐标的二次函数。 面积最值：用铅垂高法建立面积关于横坐标的二次函数，利用顶点求最值。注意自变量的取值范围（动点所在线段或抛物线部分）。 变式演练 【变式01】（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交于点，求的最大值； (3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式． （2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值． （3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标． 【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为， ，，， ， ， 抛物线的解析式为：． 故答案为：． （2）解：过点作轴于点，如图所示，     抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点， ， ， 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：． 在直线上，， 在直线上，的解析式为：， ， ．   ， ． ， ． ，， 当时， 有最大值，且最大值为： ． 故答案为：． （3）解:∵＋， ， ， ， ， ， ， 设，， ， 抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点， ． 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：．   ，在直线上， ， ， ， ， （十字相乘法）， 由，得：， ， ， ，即， 解得：，， ， ， 点横坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合． 【变式02】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积． (3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在，M为或或 【分析】（1）将A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c即可； （2）过作轴于，交于，过点作于，根据几何关系知最大时，最大，设出P的坐标，表示出，根据二次函数性质求出其最大值后即可； （3）分三种情况讨论：以为对角线，以为对角线，以为对角线，利用平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式即可求解． 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，等腰直角三角形，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．体现了对数学几何直观、运算能力、推理能力的核心素养要求． 【详解】（1）解：将代入，得， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）过作轴于，交于，过点作于，如图： 在中，令，得，解得或， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， 利用勾股定理可得， 当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入，得， ， ∴直线解析式为， 设，则， ， ∴当时，最大为2， 此时，； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设而， ①以为对角线，则的中点重合，如图∶ ∴，解得， ∴； ②以为对角线，则的中点重合，如图∶ ，解得， ， ③以为对角线，则中点重合，如图∶ ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 题型03 二次函数与特殊三角形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点． (1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形， Q点坐标为或 (3)P点横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，分别求出，分三种情况讨论：当为斜边时，此时t无解；当为斜边时，；当为斜边时，； （3）设与y轴的交点为G，由题可知D点是的中点，则，设，则，，设，，得到，求出m的值即可求解． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点，点，分别代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当时，， 解得或， ∴， ∴， 当为斜边时，， 此时t无解； 当为斜边时，， 解得， ∴； 当为斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：Q点坐标为或； （3）解：设与y轴的交点为G， ∵， ∴点D是的中点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 当点D在点P的右侧时， 设与y轴的交点为G， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为或． 【典例02】（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 方法透视 考向解读 这是动态几何与代数综合的难点，充分考查分类讨论和数形结合思想。常以解答题最后一问出现。要求探究抛物线上或对称轴上是否存在点，使之与已知点构成等腰三角形或直角三角形。 方法技能 等腰三角形：通常分三类讨论：以已知线段为腰，为顶点；以为腰，为顶点；以为底。利用两点间距离公式，列方程、或求解。几何法（作中垂线、画圆）有助于快速确定点的大致位置和个数。 直角三角形：通常分三类讨论：、、。利用勾股定理逆定理，列方程如等求解。几何法（过端点作垂线、以为直径画圆）可辅助分析。 通法：设出动点坐标，用距离公式表示三边长度，根据几何条件列方程。注意解可能有多组，需检验合理性。 变式演练 【变式01】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点 (3)点的坐标为，或或，见解析 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，则，可得，设点，则点，由即可求解； （3）求出平移后的抛物线的表达式为：，则点，，设点，然后分、两种情况，列出等式，即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）令，则或3，则点， 由点、知，直线的表达式为：， 过点作轴的平行线交于点，则， 则，则， 则， 设点，则点， 则， 即的最大值为：，此时点； （3）平移后的抛物线的表达式为：， 则点，，设点， 则，，， 当时，则， 解得：， 则点的坐标为； 当时，则， 解得：或， 则点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 【变式02】（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是对称轴上的一个动点，当以P、C、M为顶点的三角形与相似时，求出点P的坐标； (3)D为的中点，在x轴上找一点E，在抛物线的对称轴上找一点F，连接，使的值最小． (4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点P的坐标为或 (3)的最小值为2 (4)存在，点Q 的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求直线的解析式，然后分两种情况讨论：①当时，则有轴，求出；②当时，由，可求得； （3）先求出，如图所示，作点C关于对称轴的对称点，作点D关于x轴的对称轴，连接，则，由轴对称的性质可得，则当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为，即可得到的最小值为． （4）分两种情况讨论：点在轴右侧和点在轴左侧，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，证明，则，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 设抛物线的解析式为，则 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）存在以P、C、M为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴对称轴是直线． 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得：， ∴． ∴． ∴由两点间距离公式可得：． 若以P、C、M为顶点的三角形与相似，则有， ①如图1，当时，则有轴， ∴．    ②如图2，当时，    ∴． ∴． ∴． ∴． 综上所述，点P的坐标是或 （3）解；∵D为的中点， ∴， 如图所示，作点C关于对称轴的对称点，作点D关于x轴的对称轴，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为， ∴的最小值为． （4）存在，理由如下： ①如图3，当点在轴右侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去） ∴Q的坐标是． ②如图4，当点在轴左侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去） ∴Q的坐标是． 综上所述，Q的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题，属于压轴题，难度较大． 【变式03】如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【分析】（1）把点、代入抛物线求出b和c的值即可； （2）求出，得出，证出，即可得出四边为平行四边形； （3）求出，分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明，求出，即可得出P的坐标；②当点F为直角顶点时，同理可求出，，即可得出P的坐标；③当点P为直角顶点时，由勾股定理得，由直角三角形斜边上的中线性质得出的长，若点P在上方，得到；若点P在下方时，则；即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：四边形为平行四边形． ∵此抛物线与y轴交于点C， ∴， 又∵， ∴， 又∵抛物线的对称轴为：， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴， ①当点O为直角顶点时，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ②当点F为直角顶点时，如图2所示： 同理可得， ∴， ∴， ∴； ③当点P为直角顶点时，由勾股定理得， 又∵是斜边上的中线， ∴， 若点P在上方，如图3所示： 则， ∴； 若点P在下方时，如图4所示： 则， ∴； 综上所述，抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． 题型04 二次函数与特殊四边形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在，的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）由解析式知，由，即，知，即，再把，代入中，即可解出、的值； （2）先求出，设，，当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时．再分别根据平行四边形的对角线性质列方程即可求解每种情形下的点坐标； （3）由待定系数法可知直线的表达式为，设，，则，即最大值为时，，此时,再求出,构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，则，当且仅当A、、共线时取等号．由勾股定理得，即的最小值为，进而的最小值为． 【详解】（1）解：由抛物线可知，， ，即， ，即， 把，代入中， 得，解得， ∴抛物线表达式为。 （2）解：存在，理由如下： 令，由韦达定理知， ∵， ，即． 设，，，， 则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论： 当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得 ，解得：（舍弃）或， ∴； 当、为对角线时，同理可得 ， 即， 此时点在轴下方，不成立； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：（舍弃）或， ∴， 综上，的坐标为或； （3）解：由待定系数法可知直线的表达式为， 设，，则， ∴最大值为时，，此时， 点为线段的中点， , 构造平行四边形，则由平行四边形性质可得， ，当且仅当A、、共线时取等号． 故，即的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、解直角三角形、平行四边形的存在性问题、二次函数与线段最值、线段和最小值问题等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【典例02】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为，，，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； (3)连接，点M是抛物线上的动点且在直线上方，求点到直线距离最大时，点的坐标及最大距离值． 【答案】(1) (2)或或 (3)点的坐标为，最大距离值为 【分析】（1）先求出，再设抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； （2）先求出顶点坐标为，再设点的坐标为，分三种情况：①当点组成的四边形是平行四边形时，②当点组成的四边形是平行四边形时，③当点组成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得； （3）连接，过点作，交轴于点，先求出直线的解析式为，设直线的解析式为，与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出的值，则可得点的坐标，再过点作于点，解直角三角形可得的值，则可得，然后在中，解直角三角形可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴， 即抛物线的解析式为． （2）解：由（1）已得：， ∴抛物线的顶点坐标为， 设点的坐标为， ①当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ③当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． （3）解：如图，连接，过点作，交轴于点， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴可设与直线平行的直线的解析式为， 联立得：， 要使点到直线距离最大，则关于的方程只有一个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴方程为，直线的解析式为， 解得， 将代入直线得：， ∴当点到直线距离最大时，点的坐标为； 如图，过点作于点， ∵， ∴即为点到直线最大距离， 将代入直线得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上，点到直线距离最大时，点的坐标，最大距离值为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 方法透视 考向解读 此题型在特殊三角形基础上更复杂，是压轴题中的难点。考察平行四边形、矩形、菱形、正方形的存在性。核心是对顶点顺序的分类讨论和平行四边形顶点坐标公式的应用。 方法技能 平行四边形： ①已知、、三点，求点使、、、成平行四边形。分三种情况：为对角线、为对角线、为对角线。利用平行四边形顶点坐标公式：若，则（对角线中点重合）。设坐标，代入公式求解。 ②已知、两点，以及点的横坐标，则;;;然后在由D所在的函数求D点的纵坐标。 菱形/矩形/正方形：在平行四边形存在的基础上，增加邻边相等（菱形）、对角线相等（矩形）或邻边相等且对角线相等（正方形）的条件。先按平行四边形方法确定点，再验证附加条件；或直接联立方程组。 方法选择：代数法（列方程）普适性强；几何法（平移、对称）更直观，常用于选择题填空题。 变式演练 【变式01】（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线：与抛物线交于点P，与直线交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：，直线与抛物线交于点Q，与直线交于点N． ①当点Q在直线下方时，求面积的最大值及此时点N的坐标； ②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为，此时点N的坐标为；②存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而求得，再利用，利用二次函数最值，求解即可； ②分四种情况：Ⅰ、当点P、Q都在直线上方时，即当或时，此情况不存在有平行四边形；Ⅱ、当点P在直线上方、Q在直线下方时，即当时；Ⅲ、当点P、Q在直线下方时，即当时；Ⅳ、当点P在直线下方时，Q在直线上下方时，即当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：①设直线的解析式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴直线l₁向右平移两个单位得到直线， ∴， ∵点Q在直线AC下方时， ∴ ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴． ②直线的解析式为， ∴，， ∵直线：与抛物线交于点P，与直线 交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线：+，直线与抛物线交于点Q， ∴，， Ⅰ、当点P、Q都在直线上方时，即当或时，此情况不存在有平行四边形，      ， Ⅱ、当点P在直线上方、Q在直线下方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：，或（舍去）， ∴ Ⅲ、当点P、Q在直线下方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：， ∴， Ⅳ、当点P在直线下方时，Q在直线上方时，即当时，如图， ∵平行四边形， ∴， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， 综上，存在，当点P的坐标为或或时，以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数和图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质等知识是解题的关键． 【变式02】（2025·湖南娄底·三模）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的表达式为， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 点的坐标为， 如图，过点作轴交于点． 设点的坐标为，则点的坐标为， ，， ， ， 当时，取最大值， 当时，， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为3， 设， 由（2）得，， 分以下三种情况讨论： ①当为的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ②当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ③当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得 ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【变式03】（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 题型05 二次函数与相似三角形存在性问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点与轴交于点，  且关于对称，连接． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点是抛物线上位于直线下方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点， (ⅰ)若点的坐标为，求证：， (ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，将抛物线位于轴上方面的部分不变，位于轴下方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向上平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有两个不同交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）见详解  （ii）有最大值为 (3)或 【分析】（1）根据题意得到，用待定系数法求解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设 ，则， ，(ⅰ)根据 ，得是等腰直角三角形        ，进而可得，由点的坐标为，可得出，即可得结论；(ⅱ) 过作轴，交于点，则，得出， 根据相似三角形的性质得出面积比，即，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， 且关于对称， 点的坐标为， 将代入得 ， 解得：， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设 ，则，， （i），， 是等腰直角三角形        ，                           ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ； （ii）解：如图， 过作轴，交于点，则， ∴ ，              当时，有最大值为； （3）解：依题意，， 新的图形的顶点坐标为， 则新的抛物线解析式为， 设平移后的直线解析式为， ①当经过点时，有3个交点，此时， 则直线与抛物线有两个交点时，； ②当与只有一个交点， 则， 即， ∴， 解得：， 结合函数图象可得：  ， 综上，当 或 时，直线与图象有两个交点． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典例02】（2025·湖南张家界·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB． ①当时，求的面积. ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 【答案】(1)抛物线 (2)①的面积为3；②点的坐标；当时，有最大值，最大值为 【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）①求出点P坐标，再求出的面积即可；②过点Q作于点H，设点P坐标，求出直线解析式，列出的代数式，再确定它的最大值和E点坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴得，    则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴解得， 则抛物线； （2）解：① 轴， ，   ， ， 点D坐标为， ，   ． ②如图，过点Q作于点H， 设直线的解析式为， ∵， ∴，     解得：， ∴直线的解析式为， 联立，    解得：， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用点的坐标表示出比值，再利用二次函数的性质确定最值． 方法透视 考向解读 这是代数与几何综合的最高难度题型之一，对思维要求高。考察在二次函数背景下，两个三角形相似的条件下，求动点坐标或参数值。核心是找准对应角，利用比例线段列方程。 方法技能 寻找等角：由于二次函数图象多为轴对称图形，常存在天然的等角（如对称轴两侧）。利用已知角度（如直角）、平行线、公共角来寻找可能的对应角。 分类讨论：相似没有全等那样的“顺序”对应，所以必须分类讨论。例如，则对应关系可能是，也可能是。通常有2-3种情况。 列方程求解：确定一种对应关系后，根据“对应边成比例”列出比例式。边用两点距离公式表示，转化为关于动点坐标的方程。有时利用某个角相等（如都是直角）产生的斜率关系来列式更简便。 变式演练 【变式01】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标； (3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点和的坐标，然后代入解析式计算解题即可； （2）求出点和的坐标，即可求出和长，，然后分为或两种情况求出长，即可解题； （3）设直线的解析式为，直线的解析式为，求出点P和Q的坐标，过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，得到，即可得到，然后求出直线的解析式，即可得到点M的坐标解题即可． 【详解】（1）解：当时，，令，则， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 把和代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴，即， ∴， 当时，，即， 解得：， 过点F作轴于点G，则， ∴， ∴点F的坐标为； 当时，，即， 解得：，不符合题意舍去； 综上，点F的坐标为； （3）解：∵点C的坐标为， 设直线的解析式为， 联立解得： 或， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为， 同理可得点Q的坐标为， 再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 把点P和Q的坐标代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点M是定点，为． 【变式02】（2025·湖南·二模）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；② 【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点的纵坐标，即可求解； （2）①证明，即可求解； ②当且和时，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为． 当时 根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ． 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 图象“W”的解析式为：， ①当时，图象“G”的解析式为：， 设直线的解析式为， 当时， 解得：或； 点的横坐标为， 当， 解得：或； 点的横坐标为； 当时， 解得：或； 点的横坐标为； 如图，作轴，过点作轴交于点， 作轴，过点作交于点， 由各点横坐标可得：， ， ， 轴，轴， ， ， ，， ， ， ， ； ②当且时，图象“G”是解析式为：， 由①可得点的横坐标为，点的横坐标为， 当， 解得：， 点的横坐标为：； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点； 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， ； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点， 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， 则； 综上所述，用含的式子表示为； 【变式03】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知， ①求直线l的解析式； ②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于点，作于点，证明，求得，即，设直线的解析式为，联立得，利用根与系数的关系，列方程求解即可； ②分三种情况讨论，画出图形，同①法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①，，， ∴，，， ∴， 作于点，作于点，如图， ∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∴，， ∴， 即， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵，，，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 作轴交抛物线于点， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意， ∵，即， 整理得， 解得或， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为， 解方程， 得或， ∴点的坐标为； 作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点， 此时， ∴， ∴点符合题意， ∵，直线，又， ∴， 同理，直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得，， 即点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 过点作交轴于点，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴点符合题意， 作轴于点， 设直线交轴于点， 令，， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了是二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题●型●训●练 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，抛物线与 x 轴交于点，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M 为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题． (1)下列抛物线中是“型”抛物线的有： （填序号）；①；②；③； (2)若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值； (3)抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）利用判别式可得抛物线①与x轴没有交点，据此可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，结合可判断②；求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，进而求出直线的解析式，则可求出点M的坐标，再根据定义可判断③； （2）可求出，，则根据定义可得，根据对称轴公式和待定系数法可推出，据此求出和的值，解方程得到即可得到答案； （3）可求出平移前，，，求出直线的解析式为，则，可推出，利用待定系数法可推出；可求出平移后的顶点坐标为，平移后的抛物线与y轴交于点，则根据定义点和点组成的线段的中点在x轴上，据此可得，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，当时，则， ∵， ∴方程无实数根， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线不为“型”抛物线； ②在中，当时，则，解得， 此时不满足， ∴抛物线不为“型”抛物线； ③在中，当时，则，解得， 当时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴， ∵的中点坐标为， ∴点M是的中点， ∴该抛物线为“型”抛物线； （2）解：在中，当时，，当时，则，解得， ∴，； ∵抛物线为“型”抛物线， ∴M 为线段中点， ∴， ∴，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，则， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：平移前，在中，当时，， ∴， ∵抛物线G：为“型”抛物线， ∴M为线段中点， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为， 在中，当时，， ∴平移后的抛物线与y轴交于点， ∵平移后的抛物线为“型”抛物线， ∴点和点组成的线段的中点在x轴上， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线G的解析式为． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，如图1所示，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线下方的抛物线上存在一个动点P，使四边形的面积为16，试求出点P的坐标； (3)如图2，过点B作交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作，点Q为上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）根据点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求得直线解析式，设，则，过点P作轴交直线于点，根据建立方程，解一元二次方程即可求得m的值，然后求得P的坐标； （3）在上取，过点E作，构造，则当F，Q，E三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， 令，解得或， ∴，， ∵， 设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 设点P的横坐标为m，则，过点P作轴交于点M， ∴， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积为16， ∴， 解得，， ∴或． （3）解：如图，过点B作交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点F的纵坐标为：， ∴． 在上取，过点E作，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H， 则，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当F，Q，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值； (3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？ 【答案】(1)二次函数的“回旋”函数的解析式为； (2)，或，； (3)存在使得为矩形． 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）求出新函数的表达式为：，得到时，，再分类求解即可； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴二次函数的“回旋”函数的解析式为． （2）解：的“回旋”函数为：， 由知，其顶点坐标为， 将该点代入得， 解得， 则函数的表达式为， 即时，， 当时， 当时，， 解得，则； 当时， 当时，， 解得，则； 综上，，或，． （3）解：如下图： 设点、、、的横坐标分别为：，，，，， ∴点的坐标为：且，，点的坐标为： 且，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设左侧抛物线的对称轴交轴于点， ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∵， ∴ 同理：， ∴， 即， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∴存在使得为矩形． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，解题的关键是掌握二次函数相关的性质，能熟练准确进行相关运算． 4．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)√；√；×； (2)该抛物线的解析式为； (3)代数式的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （）由（）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）解：由（）得抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图，直线经过点，为直线上的一个动点，且位于轴的下方，为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以为邻边构造矩形，求矩形的周长的最小值． (3)如图，设抛物线的顶点为，在（）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段和的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值； （3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵经过点， ∴， ∴， ∴直线：； 设，则， ∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为， ∴； 又∵， ∴， 当时，的值最小，最小值为； ∴该矩形周长的最小值为； （3）存在，或； 由（2）可知，， ∵抛物线的函数表达式为：； ∴顶点D坐标为， 如图4，作， 因为，， ∴； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ 令，解得：，； ∴,, ∴, ∴， ∴当F点在点A处时，能使得，此时; 如图5，在BC另一侧，当时，， 过C点作，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：， ∴， 由勾股定理可得：且, 即，且； 解得：，; ∴ ∴ 设直线的函数解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为：， 联立抛物线解析式与直线的函数解析式，得： 解得：（与B点重合，故舍去），或， ∴， 综上可得，抛物线上存在点或，使得． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，如图（1），抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点． (1)求抛物线解析式并求出M、N两点坐标； (2)点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出面积最小值； (3)如图（2），点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值． 【答案】(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)点的坐标是，的面积最小值是 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据直线的解析式求出点、的坐标； （2）过点作轴，设点的坐标为，则点的坐标是，根据可得，利用二次函数的性质求出面积的最小值和的值，根据的值求出点的坐标； （3）设点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离可得：，，根据矩形的周长公式可得：，分情况求出的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为； 对于直线，当时，可得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为； （2）解：过点作轴，交直线于点P， 设点的坐标为，则点的坐标是， ， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 当时，可得：， 点的坐标是，的面积最小值是； （3）解：点是抛物线上横坐标为的点， ∴点的坐标为， 点的坐标为，点的纵坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 矩形的周长为， 当时， 解得：或， 当或时，， 可得方程， 整理得： 解得：或(不符合题意，舍去)； 当时， 可得方程， 整理可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)； 综上所述，当或时，矩形的周长为. 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形问题、解直角三角形的应用． 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知抛物线，将抛物线向下平移个单位长度后得到抛物线，记抛物线的顶点为，坐标原点关于点的对称点为，过点且平行于轴的直线记为，抛物线上有一动点（位于轴的左边），连接并延长交抛物线于点，过点作平行轴交的延长线于点． (1)证明：点在直线上； (2)过点作垂直，垂足为，证明：是等腰三角形； (3)如图2，已知线段的端点、均在抛物线上，且，线段的中点为，当线段的长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明C点在直线l上：通过设A点坐标，求出直线与抛物线F的另一个交点B的坐标，再结合直线的解析式及平行y轴的条件，得出C点纵坐标为，从而证明其在直线l上； （2）证明是等腰三角形：根据A点坐标和的条件确定D点坐标，通过计算和，发现二者相等，即，进而证明为等腰三角形； （3）根据，以及中点坐标公式求得点点的轨迹满足,得出的纵坐标大于等于1，进而根据时，最短，从而求得点的横坐标，代入，进而求出此时A点的坐标． 【详解】（1）证明：已知抛物线E：向下平移1个单位长度后得到抛物线F， 抛物线F的解析式为， 顶点P的坐标为， 坐标原点关于点的对称点为Q， 点坐标为，那么直线l为， 设A点坐标为，，直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 得， 已知A点横坐标为m，设B点横坐标为n， 由根与系数的关系可得：，则， 把代入抛物线F， 可得， 点坐标为， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得：， 直线的解析式为， 轴， 点、点横坐标为， 把代入直线的解析式得，， 点纵坐标为， 即C点在直线l上； （2）证明：已知，D点在直线l：上且， 点坐标为， ， ， 对进行变形：， ， 则是等腰三角形； （3）解：如下图所示，过点作于， 设，，， 是中点， ，， 即，， 由勾股定理得， ∵， ∴ ∵， ∴ 代入得 整理得， ∴ 令， ∴（当且仅当，即取等号） ∴点的纵坐标的最小值为，此时横坐标为， 是中点，、在抛物线上，轴，轴， 当时，最短， ∴的横坐标为 由（1）可得的横坐标为 ∴ 解得： 把代入， 得． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $