专题02 平面向量（5大考点35题）（期中真题汇编，湖南专用）高一数学下学期

专题02 平面向量 5大高频考点概览 考点01线性运算与平面向量基本定理 考点02平行与垂直 考点03投影向量 考点04模长与夹角 考点05数量积及其应用 ( 地 城 考点01 线性运算与平面向量基本定理 ) 一、单选题 1．(24-25高一下·湖南娄底·期中)在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以， 所以. 故选：B 2．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算用基底表示即可. 【详解】由题意可得，其中， 所以. 故选：C 3．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)如图，是平行四边形的边上一点，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量三角形法则,用向量分别表示，然后即可得解. 【详解】因为所以易知,， 又为的中点，所以， 所以, ， 因此 故选：A 4．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)在中，，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基本定理，利用共线条件建立方程，求解即可. 【详解】 因为点在上，所以设， 则 . 又，则，解得. 故选：A. 5．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（   ） A．48 B．36 C．24 D．52 【答案】A 【分析】由已知可得，再利用互补的角的余弦值相加等于0，即可求得答案. 【详解】由已知六边形的边长及到各个顶点的长度均为2， 由图可知，同理，   ．又 ， 又由图知，， ． 所以． 故选：A. 二、多选题 6．(24-25高一下·湖南娄底·期中)下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据平行向量的坐标表示，建立方程组，集合基底的定义，可得答案. 【详解】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意； 对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意； 对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意； 对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意. 故选：CD. 7．(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算，判断AB，根据数量积的定义，结合几何图形判断C，根据向量的几何意义，判断D. 【详解】对于A，因为，故A正确． 对于B，因为 ，故B正确． 对于C，因为，故C错误． 对于D，设与的夹角为θ，则在上的投影为，由图可知 当点在点时，此时在上的投影最大，最大值为，当点在点时，此时在上的投影最小，最小值为， 所以，即的取值范围为．故D正确． 故选：ABD 三、填空题 8．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为___． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答. 【详解】在中，，即， 又，即， 因此，而点B，P，N共线，于是，解得. 故答案为： 9．(24-25高一下·湖南部分校·期中)如图，在平行四边形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论. 【答案】(1)， (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】（1）用平面向量的线性运算可得，,并结合已知条件可得； （2）根据题意，，再通过计算得，即可得证. 【详解】（1）由题意得，， 则． ． （2）是直角三角形． 证明如下：由题意得，， 则 所以．故是直角三角形． 10．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)菱形中，，点在线段上，且，则__________. 【答案】/ 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值从而得解． 【详解】因为，所以， 所以， 因为点在线段上， 可设 ， 而，所以，解得， 所以， 则， 所以，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，进一步将其表示成以，为基底的向量，从而可解. ( 地 城 考点02 平行与垂直 ) 单选题 11．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)已知向量，则实数的取值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 多选题 12．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知向量，则（    ） A．是的充要条件 B．是与的夹角为锐角的必要不充分条件 C．是的充要条件 D．是的充要条件 【答案】AC 【分析】由向量垂直、平行的坐标表示及夹角公式的坐标表示逐项判断即可. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由为锐角且不共线且，故B错误； 对于C，由或，故C正确； 对于D，时，可得：， ，此时， 仍满足，故D错误， 故选：AC. 填空题 13．(23-24高一下·湖南部分学校·期中)已知向量．若，则_________；若，则_________． 【答案】 【分析】运用向量平行垂直的坐标结论可解. 【详解】由于，则时，，解得； 则时，，解得. 故答案为： ；. 解答题 14．(24-25高一下·湖南长沙芙蓉高级中学·期中)设，，向量，，，且，． (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 【详解】（1）向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； （2）因为，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 15．(24-25高一下·湖南邵阳邵东创新高级中学·期中)已知与的夹角为，． (1)已知∥，求实数k的取值范围； (2)已知⊥，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的基本定理计算可得； （2）先由定义求出向量的数量积，再利用数量积的运算律和垂直的条件计算可得. 【详解】（1）∵∥，∴， 则． ，且. （2）由题意得． ∵⊥，， 则， ，即， ． ( 地 城 考点0 3 投影向量 ) 单选题 16．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合数量积和模的坐标运算，根据投影向量定义计算可得答案. 【详解】在上的投影向量为． 故选：D 17．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由已知平方得，再根据投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 18．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边平方，由向量数量积的定义可得，再由投影向量的计算公式计算即可. 【详解】由题意知，，设，夹角为， ， 又，，， 所以， 向量在向量上的投影向量为． 故选：B. 填空题 19．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知向量，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的计算，结合数量积以及模长的计算，可得答案. 【详解】在上的投影向量为. 故答案为：. 解答题 20．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知单位向量，，夹角为，，，且与的夹角为． (1)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围； (2)若向量为在上的投影向量，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，先求出m，根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数m的取值范围； （2）求出，则可求出，即可求得． 【详解】（1）因为单位向量，，夹角为，，， 则， 又，， 所以，解得， 所以，， 则由题可知，解得． 所以实数的取值范围为． （2）由（1）知，， 向量为在上的投影向量， 则，且， 则， 所以． ( 地 城 考点0 4 模长与夹角 ) 单选题 21．(24-25高一下·湖南邵东第七中学·期中)已知向量，满足，，与的夹角为，则（      ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据夹角可得两个向量共线反向，故，可求. 【详解】因为与的夹角为，故，故. 故选：. 22．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以与的夹角. 故选：C 多选题 23．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知向量满足，与的夹角为，则（    ） A． B． C．与共线 D． 【答案】ACD 【分析】由已知可得和，根据向量模的坐标运算即可判断；根据向量数量积的坐标运算即可判断；由向量共线定理可判断；由向量夹角的坐标运算即可判断. 【详解】因为，所以，， 所以，故正确； 因为，所以与不垂直，故不正确； 因为，所以，所以与共线，故正确； 因为，因，故，故正确. 故选：. 填空题 24．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知，为单位向量，且，则_________.. 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向量，则， 所以， 所以. 故答案为： 25．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知向量满足，则__________. 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律与求解. 【详解】由， 则，即， 则，即， 故，即. 故答案为：. 解答题 26．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)-4 (2)或3. 【分析】（1）代入向量数量积的定义，即可求解； （2）根据模长，转化为向量数量积的运算，即可求解. 【详解】（1）由向量，的夹角为，且， 得. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 27．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知. (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)的坐标为或 (2) 【分析】（1）由平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案； （2）根据数量积的运算律，求得数量积的值，结合数量积的定义式，可得答案. 【详解】（1）设，由题意有，解得或. 故的坐标为或； （2）由化简整理得， 则，解得， =. ( 地 城 考点0 5 数量积及其应用 ) 单选题 28．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】变形得到，求出，得到为等腰三角形. 【详解】， 即，，， 所以，为等腰三角形. 故选：D 29．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知单位向量、、满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式变形得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，同理可得出、的值，再由结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为单位向量、、满足， 则，所以， 所以，，解得，同理可得， 因为 . 故选：D. 多选题 30．(24-25高一下·湖南永州·期中)下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为的重心，则 【答案】CD 【分析】由，可得，可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等于0计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D. 【详解】对于A选项，若，则，， 与平行或与夹角为锐角，所以A错误； 对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量， 而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误； 对于C选项，因为，所以， ，所以C正确； 对于D选项，为的重心，    则点，，分别为，，的中点， 且，，， 则，所以D正确． 故选：CD． 31．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若为锐角三角形且外心为，且，则 【答案】ABC 【分析】A选项，将转化为，然后求数量积；B选项，将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C选项，由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；取AB中点F，利用共线向量定理的推论推理判断D； 【详解】A选项，因为为的垂心，所以， 则，故A正确； B选项，设中点为，中点为，   ，即， 所以点为中位线靠近点的三等分点， 所以，故B正确； C选项，设中点为，则， 结合题设， 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上， 所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； 对于D，为锐角的外心，取AB中点F，则，如图， 由，，得，而， 于是，即，即，则点共线， 因此垂直平分边，有，没有条件确保有成立，D错误； 故选：ABC. 填空题 32．(24-25高一下·湖南部分学校·期中)如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 【答案】 【分析】根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以， 所以， 又，，，所以. 故答案为： 33．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】取的中点，连接、， 则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故答案为： 解答题 34．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)半径为1的圆内接，且． (1)求数量积，，； (2)求的面积． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】（1）将变形为，两边平方即可求得的值，同理可求，的值； （2）利用向量的数量积或夹角公式求出的夹角或余弦值进而可得正弦值，结合三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1），， 则，即得， 所以，同理，． （2）由，， 由，，得， 则， 同理，， 则， 所以． 35．(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知A，B是半径为1的圆O上两点，且． (1)求的余弦值； (2)若点，，…，，依次将线段AO平均分成2026份，设，，，求的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）利用得，平方即可求解； （2）由题知AO的中点为，也为线段，线段，…，线段的中点，根据向量的加法运算即得，进而得解. 【详解】（1）设，由可得， 即， 平方得，解得， 故的余弦值为． （2）由题知AO的中点为，也为线段，线段，…，线段的中点， 因为， 所以， 而， 平方得， 即， 故． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02平面向量 ☆5大高频考点概览 考点01线性运算与平面向量基本定理 考点02平行与垂直 考点03投影狗量 考点04模长与夹角 考点05数量积及其应用 目目 考点01 线性运算与平面向量基本定理 一、单选题 1.(2425高一下·湖南娄底期中)在ABC中，D为线段BC的靠近B点的一个三分点，则AD=() A. B 24B+4C 3 c丽c 2 D. 24B-1AC 3 3 2.(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中在ABC中，AM=4MC,记BM=a,BC=b,则BA=() A.4a-3b B.3b-4a C.5a-4b D.46-5a 3.2425高-下湖商淘一名校联盟期)如图，E是平行四边形8CD的边BC上一点，且BE=}C,P为 CD的中点，则DE+AF=() E B A. AB+14D B.3B+D 4 4 C. 4 D.B30 2 4 4.(24-25高一下湖南邵东第四中学期中)在ABC中，AM=,MC,点P在BM上，满足 AP=AB+m·AC,则m=(） B. 6 c.4 D.? 1/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高一下·湖南永州期中)已知圆0的半径为2，六边形PPPPPP是圆0的内接正六边形，P为圆 0上的任意一点，则PE+P++PE=() A.48 B.36 C.24 D.52 二、多选题 6.(24-25高一下·湖南娄底期中)下列各组向量中，不能作为基底的是() A.e=(1,0),e2=0,1 B.1=(2,4),e2=（-4,2 C.=(3,-4,e2=（-3,4 D.e=(2,6),e2=(-1,-3 7.(24-25高一下·湖南期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列 说法正确的是() B A.BD-BF=AC B压号亚研 C.BD.CB=6a2 D.BG.BC的取值范围为[-2a2,6a2] 三、填空题 8.(24-25高一下湖南邵阳邵东创新高级中学期中)如图所示，在△ABC中，N=}AC,P是BN上的一点， 若mAC=AP-二AB,则实数m的值为 3 B C 9.(24-25高一下·湖南部分校期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3AE,AD=4AG,BF=FC. 2/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 G B (I)用AB,AD表示DF,GF; AB (2)若 AD 年，判断aEFG的形状，并用向量的方法证明你的结论 10.(24-25高一下湖南三湘名校联盟·期中)菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60,CE=2EB,CF=2FD,点 M在线段EF上，且AM=xAB+AD,则x+AM= 目目 考点02 平行与垂直 单选题 11.(24-25高一下湖南邵阳邵东创新高级中学期中)已知向量ā=(4，m),b=(1,3),ā1b,则实数m的取值为 () B.3 4 c D. 多选题 12.(24-25高一下·湖南三湘名校联盟期中)已知向量ā=(1，p),b=（-1,q,则() A.p9=1是ā⊥万的充要条件 B.pg>1是a与的夹角为锐角的必要不充分条件 C.a∥五是p+q=0的充要条件 D.<a6>-骨是(+g)P=3p四-l的充要条件 填空题 13.(23-24高一下湖南部分学校期中)已知向量a=(2+4,4),b=(2,1).若a∥b,则2=；若 3/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 a⊥b,则2= 解答题 14.(24-25高一下湖南长沙芙蓉高级中学期中设x,y∈R,向量a=（x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 aLb,bllc. (1)求a+: (2)求向量a+6与2a+b-c夹角的余弦值 15.(24-25高一下湖南邵阳邵东创新高级中学期中)已知=2，=3，ā与的夹角为60°， c=5a+3b,d=3a+kb (I)已知Cd,求实数k的取值范围； (2)已知C1d,求实数k的取值范围。 目目 考点03 投影向量 单选题 16.(24-25高一下湖南湘潭第一中学期中)已知a=(2,0),五=1,5)，则在a上的投影向量为() A.（-2,0 B.-1,0 C.（2,0 D.(1,0) 17.(24-25高一下湖南部分学校期中已知向量m,n满足m=4,n=6,m+n=210,则向量在向量m上 的投影向量为() 3一 B.-m C.-3 D.-3 m 8 2 18.(24-25高一下湖南永州期中)已知向量ā和满足同=V5,=1,a+=√万，则向量在向量a上 的投影向量为() A.a 1 B. D.-2d 填空题 19.(24-25高一下·湖南娄底期中)己知向量ā=（-1,1)，b=(3,1),则a在五上的投影向量为 4/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解答题 20,2425商一下潮南水州期中已知单位向量，g,夹角为受石=-写，6=m日+民，且a与2的夹角 为至 (1)若ā+2b与2ā+b所成的角为锐角，求实数1的取值范围； (2)若向量c为a在五上的投影向量，求a+. 目目 考点04 模长与夹角 单选题 21.(24-25高一下·潮南邵东第七中学期中)已知向量a,b满足=2，=1，a与b的夹角为元，则 13a+2b1=(） A.1 B.2 C.3 D.4 22.(24-25高一下.湖南湘潭第一中学期中)已知向量a,b满足a.b=-2,且a=1,6=4,则a与的夹角为 () A. π 6 B. 3 c 多选题 23.(24-25高一下.湖南湘一名校联盟期中)已知向量a,b,c满足a+b=(4-2),a-6=(0,2),c=(-1,1),a与 的夹角为0，则() A.a=2 B.a⊥b C.五与c共线 D.0=45 填空题 24.(24-25高一下·湖南长沙第一中学.期中)已知a,五为单位向量，且ā+b=1,则2ā-6= 25.(24-25高一下湖南湘一名校联盟期中)已知向量a,5满足|a-26=V2,2ā-=V2a+,则6 5/8 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 解答题 26.(Q425高一下满南衡阳商阳县第四中学期中已知向量ā，无的夹角为行，且a=2=4。 (1)求ab; (2)若a+=2V万，求t的值 27.(24-25高一下湖南娄底期中)已知ā=(1,2)，5=V5 (1)若a/1五，求的坐标； (2)若(2ā-)(a+列=4，求a与的夹角的余弦值， 目目 考点05 数量积及其应用 单选题 28.(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团期中)设A,B,C,D是平面上四个不同的点，其中任意三点不 共线，若(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是() A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D,等腰三角形 29.(24-25高一下·湖南娄底期中)已知单位向量PA、PB、P℃满足2PA+3PB+3PC=0,则AB.AC的值 为() C.3 2 D.8 9 多选题 30.(2425高一下·湖南永州·期中)下列关于平面向量的说法中正确的是() A.设a,为非零向量，若ab>0,则a,的夹角为锐角 B.设a,五，c为非零向量，则(abc=ab.c) c.设a,五为非零向量，若(a+6)1(a-6),则= D.若点G为ABC的重心，则GA+GB+GC=0 6/8 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 31.(24-25高一下湖南常德临禮县第一中学.期中)己知点P在ABC所在的平面内，则下列命题正确的是 () A.若P为ABC的垂心，且AB·AC=3,则AP.AC=3 B.若PA+2PB+3PC=0,则ABC的面积与△ABP的面积之比为2：1 C.若AP AB+ AC,则动点P的轨迹经过ABC的外心 AB cosB D.若ABC为锐角三角形且外心为P,AP=xAB+yAC且2x+y=1,则AB=BC 填空题 32.Q425高一下湖南部分学校期中如图，在4BC中，∠CAB-子D是AB上的一点，P为CD上一 点，且亚-c+号，若aC-5,=2,则-CD的值为 A D B 33.(24-25高一下·湖南邵东第四中学期中)已知圆0的半径为2，AB为圆0的弦，弦长AB=2,C为圆0上任 意一动点，则AC.BC的取值范围是 解答题 34.(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团期中)半径为1的圆0内接ABC,且30A+40B+50C=0. (1)求数量积OA.OB,0B.0C,OC.0A; (2)求ABC的面积. 35.(24-25高一下湖南期中)如图，己知A,B是半径为1的圆O上两点，且A0+AB=√2A0-AB. 7/8 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)求∠AOB的余弦值； (2)若点C,C2,…,C2024,C22s依次将线段A0平均分成2026份，设BA=a,B0=b, BC+BC,+BC+…+BC4+BC5=c,求a+b+c的值. 8/8