专题01 三角函数与三角恒等变换（4大考点27题）（期中真题汇编，湖南专用）高一数学下学期

专题01 三角函数与三角恒等变换 4大高频考点概览 考点01任意角的三角函数及诱导公式 考点02三角函数的图象与性质 考点03三角函数的伸缩偏移变换 考点04三角恒等变换 ( 地 城 考点01 任意角的三角函数及诱导公式 ) 单选题 1．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 【答案】A 【分析】判断弧度2，3表示的角的范围，判断的正负，即可得答案. 【详解】，，． 故选：A 2．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】若， 则，即， 故选：A． 3．(24-25高一下·湖南娄底·期中)若，则（    ） A． B．2 C．2023 D．2025 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的商式关系，可得答案. 【详解】. 故选：A. 4．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据齐次式可得，进而根据正切差角公式求解. 【详解】由得，故， 因此， 故选：D 5．(24-25高一下·广东揭阳第一中学·)已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B． 填空题 6．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知函数，则_____ 【答案】/ 【分析】根据分段函数函数值的计算求解即可. 【详解】，所以． 故答案为：. 解答题 7．(24-25高一上·湖南娄底·期中)已知． (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式，齐次化变形，代入求值即可； （2）利用同角三角函数关系得到，，，利用余弦差角公式进行求解. 【详解】（1）原式 （2）由为第一象限角，且， 即，解得，； 又，且，故． 8．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知角终边上的一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再由诱导公式化简即可； （2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解. 【详解】（1）因为角终边上的一点， 所以， 所以 ； （2）因为， 所以 . ( 地 城 考点02 三角函数的图象与性质 ) 单选题 9．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦型函数的图象及性质即可求解. 【详解】对，，结合的图象可知． 故选：C. 10．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数，确定函数的奇偶性及在上的单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 则函数在区间上单调递减， 又，即是偶函数， ，又在上递增，则， 而在区间上单调递增，则， 因此，则， 所以. 故选：B 多选题 11．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合 【答案】ABD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在区间上不单调，C错； 对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数的图象，D对. 故选：ABD. 12．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)下列关于函数的说法正确的是（   ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于点中心对称 C．若，则 D．函数在区间内单调递增 【答案】BCD 【分析】对于A，求出平移后图象对应的解析式，利用特值法可判断其正误；对于B，由代入检验法可判断其正误；对于C，由诱导公式计算后可判断其正误；对于D，结合正弦函数的性质可判断其正误. 【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为： ，当时，该函数的函数值为，而， 故与不是同一函数，故A错误； 对于B，，故函数的图象关于点中心对称， 故B正确； 对于C，因为，故即， 故，故C正确； 对于D，当时，， 而在上为增函数， 故在区间内单调递增，故D正确； 故选：BCD. 13．(24-25高一下·湖南·期中)已知函数的两个相邻对称中心的距离为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上是增函数 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 【答案】ACD 【分析】根据两个相邻对称中心距离为得出周期可得出判断A，根据代入法求解函数的单调性判断B，根据代入检验判断对称轴可判断C，应用函数图象的平移可判断奇函数判断D. 【详解】易知，则，所以，即， 又因为，，解得，所以． 对于A，因为，所以，故A正确. 对于B，由知，则在该区间有增有减，故B错误. 对于C，因为，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，该图象关于原点对称，故D正确． 故选：ACD. 14．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，则下列结论正确的是（   ） A．的单调递增区间为 B．在区间上的值域为 C．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由正弦型函数的性质，图象的平移变换及函数的零点问题逐项判断求解即可. 【详解】对于A，由，解得，选项A正确； 对于B，令，由得在上单调递增，在上单调递减， 的值域为，选项B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又， 即 ， ，即，选项C正确； 对于D，令在区间上恰有两个零点， 在区间上恰有两个零点， ，解得，选项D正确． 故选：ACD 填空题 15．(24-25高一下·湖南永州·期中)的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先根据已知点求出的值，再根据余弦函数的单调性列出关于的不等式求解即可. 【详解】因为的图象经过点，所以， 又因为，所以， 当时，， 因为在区间上单调递增， 则，，知， 又因为，且，， 所以，即． 故答案为：. 解答题 16．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知函数的最大值为1. (1)求的值及的最小正周期； (2)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）先化简函数利用最值求，利用周期公式求周期； （2）根据三角函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）， 因为最大值为1，所以；周期. （2）由可得， 所以，解得， 故使成立的的取值集合为. 17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称. (1)求； (2)求的相位及其最小正周期； (3)当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围. 【答案】(1) (2)相位为，最小正周期为 (3) 【分析】（1）根据图象变换得，再根据对称性得，计算即可得到； （2）由（1）得后可得出相位，根据最小正周期计算公式计算可得周期； （3）令，，由题意得原不等式为，再根据正弦函数、余弦函数性质计算即可求解. 【详解】（1）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由题意该函数为偶函数，所以， 解得， 又因为，解得. （2）由（1）可得， 故的相位为， 最小正周期为. （3）令，因为，所以， 则原题等价于求使得不等式恒成立时，对应的取值范围， 注意到当或时，， 当时，单调递增，单调递减，又因为， 所以时，，不符合题意； 当时，，符合题意；时，单调递减，单调递增， 所以时，，符合题意. 综上，满足题意，此时. 18．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (2)若方程在上的解为，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求函数的解析式，再根据代入法，转化为，有两个不等的实根，结合三角函数的图象，即可求解； （2）利用对称性求得，代入，根据函数解析式，即可求解. 【详解】（1）由平移规律可知，， 当时，， 当时，单调递增，值域是， 当时，单调递减，值域是， 方程有两个不等的实根，则，有两个不等的实根， 则，得； （2）由条件可知，，即，， ，， 当，单调递增，当，单调递减， ，在有两个实数根，则， 即，即，则， . 19．(24-25高一下·湖南部分校·期中)设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． (1)直接写出集合的上确界． (2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 【答案】(1)3 (2)①,②的上确界是.,证明见解析 【分析】（1）根据正切函数的单调性求解值域，即可根据确界的定义求解， （2）根据可得，进而根据可得求解①，化简，即可利用正弦函数的性质求解，利用上确界的定义求证即可. 【详解】（1）由于， 进而，故的上确界为3. （2）由可得，故，则, 设距离最短的两个交点为， 则， 因此，即， , 得， 则， 解得， ②由题意可得， 由得， 所以故， 接下来证明是的上确界， ， 对任意给定的，若，可取使得， 若,可取，使得， 综上可得的上确界是. ( 地 城 考点0 3 三角函数的伸缩偏移变换 ) 20．(24-25高一下·湖南部分校·期中)（多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的值域为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】AC 【分析】求出变换之后得到的的解析式，依次代入选项判断可得结果. 【详解】依题意可得， 对于A，因正弦函数的值域为，则，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由，可得，则在上先增后减，故D错误． 故选：AC. 21．(24-25高一下·湖南株洲渌口区第五中学·期中)（多选）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（   ） A．在上也恰有两个零点 B．的取值范围是 C．的图象在上恰有一条对称轴 D．的图象在上最多有三条对称轴 【答案】ACD 【分析】根据三角函数图象变换的知识将问题等价转化为在上恰有两个零点，可判断A；再由零点个数列不等式，从而求得 的取值范围，可判断B；由正弦型函数的图象的对称轴判断C、D． 【详解】的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，在上恰有两个零点，故函数在 上恰有两个零点，故A正确； 由题意知 且 ，则 ，，． 由“五点法”知 或 ， 得 或，故B错误； 若，则， 而或， 因为，故的图象恰有一条对称轴，故C正确； ，若，则， 若 ，则，， 若 ，则，， 所以的图象在上最多有三条对称轴，故D正确． 故选：ACD. 22．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知向量，，函数． (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案； （2）由图象变换得到解析式，再利用整体法求值域. 【详解】（1）因为向量，，函数， 所以 ， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）知， 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位， 则， 当时，，， 则． 所以在的值域为. ( 地 城 考点 04 三角恒等变换 ) 单选题 1．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据齐次式可得，进而根据正切差角公式求解. 【详解】由得，故， 因此， 故选：D 2．(24-25高一下·湖南·期中)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的余弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】依题意，，整理得，即， 所以. 故选：C 填空题 3．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，则______． 【答案】 【分析】将变形结合两角和与差的正弦公式得到的关系，进而可求. 【详解】由得， ①，②， 即，， ∴ ∵， ∴. 故答案为：. 4．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)已知，则_________． 【答案】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 解答题 5．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)用向量方法证明： (1)两角差的余弦公式： (2)柯西不等式： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在单位圆中利用向量的数量积公式证明即可； （2）用坐标表示向量，再利用平面向量数量积的定义以及三角函数的有界性证明即可. 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B． 则 由向量数量积的坐标表示，有： 设的夹角为θ，则 另一方面，由图（1）可知，； 由图（2）可知，，于是. 所以，也有， 所以，对于任意角有：. （2）设， ，则， 又 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数与三角恒等变换 4大高频考点概览 考点01任意角的三角函数及诱导公式 考点02三角函数的图象与性质 考点03三角函数的伸缩偏移变换 考点04三角恒等变换 ( 考点 01 任意角的三角函数及诱导公式 ) 单选题 1．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 2．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，那么（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·湖南娄底·期中)若，则（    ） A． B．2 C．2023 D．2025 4．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·广东揭阳第一中学·)已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 填空题 6．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知函数，则_____ 解答题 7．(24-25高一上·湖南娄底·期中)已知． (1)化简求值：； (2)若是第一象限角，，且，求的值． 8．(24-25高一下·湖南衡阳衡阳县第四中学·期中)已知角终边上的一点. (1)求的值； (2)求的值. ( 考点 02 三角函数的 图象 与性质 ) 单选题 9．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 多选题 11．(24-25高一下·湖南娄底·期中)已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合 12．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)下列关于函数的说法正确的是（   ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于点中心对称 C．若，则 D．函数在区间内单调递增 13．(24-25高一下·湖南·期中)已知函数的两个相邻对称中心的距离为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上是增函数 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 14．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)已知，则下列结论正确的是（   ） A．的单调递增区间为 B．在区间上的值域为 C．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 填空题 15．(24-25高一下·湖南永州·期中)的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____． 解答题 16．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知函数的最大值为1. (1)求的值及的最小正周期； (2)求使成立的的取值集合. 17．(24-25高一下·湖南三湘名校联盟·期中)已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称. (1)求； (2)求的相位及其最小正周期； (3)当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围. 18．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期中)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (2)若方程在上的解为，，求． 19．(24-25高一下·湖南部分校·期中)设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． (1)直接写出集合的上确界． (2)在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． ( 考点 0 3 三角函数的伸缩偏移变换 ) 20．(24-25高一下·湖南部分校·期中)（多选）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的值域为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 21．(24-25高一下·湖南株洲渌口区第五中学·期中)（多选）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上恰有两个零点，则（   ） A．在上也恰有两个零点 B．的取值范围是 C．的图象在上恰有一条对称轴 D．的图象在上最多有三条对称轴 22．(24-25高一下·湖南永州·期中)已知向量，，函数． (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． ( 考点 04 三角恒等变换 ) 单选题 1．(24-25高一下·湖南湘一名校联盟·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·湖南·期中)若，则（   ） A． B． C． D． 填空题 3．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，则______． 4．(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)已知，则_________． 解答题 5．(24-25高一下·湖南邵东第四中学·期中)用向量方法证明： (1)两角差的余弦公式： (2)柯西不等式： 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $