专题05 排列组合与二项式定理、概率（7大考点74题）（期中真题汇编，湖北专用）高二数学下学期

专题05 排列组合与二项式定理、概率 7大高频考点概览 考点01两个计数原理的简单应用 考点02排列数与组合数的计算 考点03排列 考点04组合 考点05二项式定理 考点06展开式系数问题 考点07概率 ( 考点01 两个计数原理的简单应用 ) 单选题 1．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（    ） A．24 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】由题意可知每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理可知， 不同选法的种数为. 故选：D. 2．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有种，经检验只有A选项符合. 故选：A. 3．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲､乙､丙､丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分步乘法原理，根据正难则反的思想，先求总情况数，再求不符合题意的情况数，相减即可. 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩， 且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则5人一共有种情况， 若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫， 每人有2种选择方法，则5人一共有种情况， 故金顶一定要有人去有种情况． 故选：B． ( 考点02 排列数与组合数的计算 ) 单选题 4．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)若，则实数的值为（    ） A．10 B．10或8 C．8 D．6 【答案】B 【分析】由组合数的性质列出两个方程求解即可. 【详解】由组合数的性质可知或， 解得或. 故选：B. 5．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列，组合数公式与性质计算判断即可. 【详解】对于A，∵，∴A不正确； 对于B，，，故B不正确； 对于C，由组合数性质可得，故C不正确； 对于D，由组合数性质可知，故D正确． 故选：D． 6．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知m，且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】由组合数、阶乘的计算公式逐个判断即可. 【详解】，， ，A错误； ，B正确； ， ，C正确， 由，可得，即，又，解得：，D正确； 故选：A 多选题 7．(24-25高二下·湖北宜昌协作体·期中)已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】BD 【分析】根据排列数的计算得出不等式，解不等式再根据的范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以或4， 故选：BD. 填空题 8．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)若，则______________. 【答案】或 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得或，经检验符合题意. 故答案为：或 9．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)若，则__________ 【答案】7 【分析】根据排列数和组合数运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，解得. 故答案为：7. 10．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)若，则______． 【答案】2或3 【分析】由组合数性质可得答案. 【详解】因为，则或，且， 解得或3． 故答案为：2或3 ( 考点03 排列 ) 单选题 11．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（      ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】优先安排甲，结合排列计数原理可得结果. 【详解】安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场， 则甲有种选择，其余名歌手任意排列， 所以，不同的安排方法种数为种. 故选：C. 12．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有（    ）种 A．20 B．12 C．36 D．24 【答案】D 【分析】首先将、捆绑作为一组，与、排列，再将名教师插入中间的个空中，利用排列数公式计算可得. 【详解】首先将、捆绑作为一组，与、排列，则有种排法， 再将名教师插入中间的个空中，则有种排法， 综上可得一共有种排法. 故选：D 13．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 14．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】这道题考查的是排列的应用，首先找出小于等于的自然数的平方有哪些，再列出可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，最后算出这些数的排列数即可. 【详解】小于等于的自然数的平方有：，而 ， 由构成的有序数组的个数为：个； 由构成的有序数组的个数为：个； 由构成的有序数组的个数为：个； 所以一共有：个. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，局部元素相同法求排列数： 在对元素进行排列时，出现部分元素相同时，则要除以相同元素数量的全排列，以消除顺序，有多少就除多少； 思路点睛：解题时先求出可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，再应用排列的相关知识求排列数，最后相加即为最后的答案； 关键点点睛：这道题考查排列及排列数问题，列出三种情况后能否求出其排列数是关键，故应对局部元素相同的排列数的求法加以巩固. 15．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)由组成没有重复数字的5位数，其中大于21300的正整数个数为（    ） A．81 B．87 C．96 D．105 【答案】C 【分析】根据题意，分类讨论，然后结合排列数代入计算，即可得到结果. 【详解】当首位是其中一个时，剩下位上的数任意排列， 此时有种情况； 当首位是时，第二位数是其中一个时，剩下位上的数任意排列， 此时有种情况； 当首位是时，第二位数是时，第三位数是其中一个时，剩下位上的数任意排列， 此时有种情况； 所以一共有种情况. 故选：C 多选题 16．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（      ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C．将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有720种 D．7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 【答案】BCD 【分析】对于A：可以看做从8个人中取2个人的排列；对于B：先从男生中选1个，再从女生中选1人，进而可得；对于C：利用捆绑法，先把女生看成一个整体，再与男生排列；对于D：先排列再把男生的顺序排除. 【详解】对于选项A：从7个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 对于选项B：从7个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 对于选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与4个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 对于选项D：7名学生排成一排，共有种情况， 已知4名男生已排好，则需要把男生的顺序排除，共有种情况，故D正确； 故选：BCD. 17．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（   ） A．《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B．两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C．两部动画片相邻放映，共有48种排法 D．3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 【答案】ABC 【分析】由特殊元素优先法即可判断A，由倍缩法即可判断B，由捆绑法即可判断C，由插空法即可判断D. 【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列， 则有种排法，故A正确； 对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定， 则有种排法，故B正确； 对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列， 则有种排法，故C正确； 对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空， 则有种排法； 故选：ABC 18．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)将四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》，诗集《唐诗三百首》、《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（   ） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】BD 【分析】利用全排列可判断A；利用捆绑法可判断B；利用插空法可判断C；先将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，再将剩余的书和位置进行全排列可判断D. 【详解】对于A，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法， 故A错误； 对于B，将两本诗集进行捆绑，有种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书， 进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻的不同放法有种，故B正确； 对于C，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书之间产生4个空位， 将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，故C错误； 对于D，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法， 再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法，故四大名著不放在两端的不同放法有 种，D正确. 故选：BD. 19．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)下列说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法 B．2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种 C．2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种 D．2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种 【答案】AD 【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余4个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确； 对于B：2名男生相邻，有种排法，和剩余5名女生排列，相当于6人作排列，有种排法，所以共有种排法，故B错误； 对于C：先排5名女生，共有种排法，且形成6个空位，再排2名男生，共有种排法，所以共有种排法，故C错误； 对于D：由C选项可得2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，所以2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有种，故D正确. 故选：AD 填空题 20．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为_______．（用数字作答） 【答案】 【分析】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上， 因此，满足条件的四位数的个数为个. 故答案为：. 解答题 21．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校会. (1)若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数字作答） (2)已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作答） (3)在完成（2）的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)34 (2)12 (3)48 【分析】（1）结合组合数利用间接法列式计算即可； （2）结合组合数根据分步乘法原理求解即可； （3）利用捆绑法结合分步乘法原理求解即可. 【详解】（1）如果选出的4人中同时包含男生和女生，先从所有7人中选4人，去掉只有男生的情况，故有种组合方式. （2）先选出的4人中安排1人担任校会主持，再从剩余3人中安排1人进行国旗下的讲话， 最后让剩余2人负责升旗仪式，共有种职务分配方案 （3）将两位升旗手看成一个整体，与其它的3人排列有种情况， 再排两位升旗手有种情况，共有种排法. 22．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)含有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (3)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 【答案】(1)5400 (2)3360 (3)360 【分析】（1）由题意可得男女的人数，根据分组分配，可得答案； （2）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案； （3）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案. 【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）. （2）分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. （3）第一步，安排某男生，有种方法； 第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法； 第三步，选出的3人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. 23．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？ （2）某市2025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？ （3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数. 【答案】（1）216；（2）2880；（3）28 【分析】（1）由分步乘法计数原理即可求解； （2）先将家公司的产品捆绑，再与公司的3件产品全排列，最后由插空法即可求解； （3）分甲所在班级第5个出场和甲所在班级不是第5个出场两种情况讨论即可. 【详解】（1）3个家庭依次选择，均有6种方法， 根据分步计数原理，所有不同的方法数为. （2）由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起， 再与公司的3件产品一起组成4个不同的元素的全排列， 最后让公司产品插空.所以符合条件的排法数为. （3）若甲所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场， 乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为， 若甲所在班级不是第5个出场，则丁或戊所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场， 甲在剩余的中间2场中选择一场，符合条件的出场顺序数为， 所以所有可能的出场顺序数为. 24．(24-25高二下·湖北武汉七校·期中)为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【答案】(1)210 (2)2100 (3)259200 【分析】（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案； （2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案； （3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】（1）将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为． （2）将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. （3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种． ( 考点04 组合 ) 单选题 25．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)学生甲从8门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合数及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】甲从8门选修课中任意选择3门，共有种选法， 从5种课外活动小组中选择2种，共有种选法， 所以共有种选法. 故选：. 26．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】由题意可知只要从7个不同的书架中选出3个书架即可 【详解】由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签， 所以只要选出3个不同的书架即可． 故共有种不同的放法 故选：D 27．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理，组合计数问题列式求解. 【详解】从4所学校任取1所的2名教师，再从余下3所学校取2所，并分别取1名教师， 所求的不同方法种数为. 故选：B 28．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)现有6个编号为不同的球和6个编号为不同的盒子，每盒放一球，则恰有三个球的编号和盒子的编号相同的放法，有（    ） A．20种 B．30种 C．40种 D．80种 【答案】C 【分析】选择3个盒子使编号与球相同，再求出另三球的方法数，利用分步乘法计数原理求解. 【详解】从6个盒子任取3个，使其与球的编号相同，有种方法，另三球的放法数为2种， 所以恰有三个球的编号和盒子的编号相同的放法的（种）. 故选：C 29．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（    ） A．48 B．36 C．18 D．12 【答案】C 【分析】平均分成三组，再全排列即可求解. 【详解】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有， 再分配到3个林场，共种方法， 故选：C. 30．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知元一次方程（，，，）的正整数解的个数为，则方程满足（）的整数解的个数为（    ） A．35 B．56 C．84 D．120 【答案】B 【分析】令，得到，结合条件即可求解. 【详解】由得，， 令，. 则原问题等价于方程的正整数解的个数， 由题意知符合条件的个数为， 故选：B. 31．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（    ） A．180 B．360 C．540 D．670 【答案】C 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：C 32．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．108 【答案】C 【分析】考虑间接法求解, 求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数，利用排列组合数公式计算即得. 【详解】根据题意，考虑间接法求解，即求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名 老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数即可. 将甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，可分为两种情况， 其一：按照“221”分组，有种方法；其二：按照“113”分组，有种方法. 而每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法有种. 故不同的分配方法总数为种. 故选：C. 33．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据题意，将5人分成四组，再分配得解. 【详解】由题，先将5人分成四组有种，再将四组分配给4个社团有种， 所以不同的报名方法有种. 故选：B. 多选题 34．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2025年到2029年间，有93%的概率平均气温会超过2020年，达到历史上最高气温纪录.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中6名男生4名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则下列说法正确的是（    ） A．选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种 B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种 C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种 D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 【答案】AC 【分析】由组合数的计算，根据分步乘法原理、正难则反以及分类加法原理，逐项计算，可得答案. 【详解】选取的4名学生都是男生的不同选法共有种，故A正确； 恰有2名女生的不同选法共有种，故B错误； 至少有1名女生的不同选法共有种，故C正确； 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D错误. 故选：AC． 填空题 35．(24-25高二下·湖北宜昌协作体·期中)某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有______种. 【答案】30 【分析】根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种. 【详解】根据题意可知，第一步，派1名男队员共有种； 第二步，派1名男队员共有种， 所以由分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种. 故答案为： 36．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 【答案】360 【分析】依题意，将问题分成0人参加“舞动青春”社团和人参加“舞动青春”社团两种情况讨论，然后分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数. 【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数： 将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加. 可先将人分成，，三组，有种， 再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种； (2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数： 先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种. 然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加， 可将人按照，或，，分组. ① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个， 则有种，故方法数为种； ② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列， 则有，故方法数为种. 故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种.   综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种. 故答案为：360. 解答题 37．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求： (1)恰好取到2个红球的概率； (2)至少取到1个红球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解； （2）根据对立事件的概率关系结合古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）设“恰好取到2个红球”为事件A，则； （2）设“至少取到1个红球”为事件B，则. 38．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 【答案】(1)150 (2)14 【分析】（1）按照1，1，3或1，2，2两种方式，先分组再分配即可； （2）先考虑5人中选3人安排到全程马拉松项目的所有情况，再计算甲乙两人在同一个项目的情况，利用间接法即可. 【详解】（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案. （2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种， 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案. 39．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)有2件次品，4件正品混放在一起（这6件产品均不相同），现对这6件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ (2)一共抽取了5次，检测结束，有多少种不同的抽法？ (3)若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ (4)若第1次抽到的是次品且第3次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？ （要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【答案】(1)24 (2)384 (3)114 (4)120 【分析】（1）利用排列知识以及乘法计数原理即可； （2）分最后以正品结束和以次品结束两种情况，再结合排列组合知识即可； （3）分检测2次、3次、4次结束，再结合排列组合知识即可； （4）分最终以正品结束、最终以次品结束两种情况，再讨论抽检次数即可. 【详解】（1）第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品：共有种. （2）一共抽取5次结束，则 前4次有1次为次品剩下3次为正品，第5次是正品：种， 前4次有1次为次品剩下3次为正品，第5次是次品：种， 共有种 （3）第1，2次测出次品结束：， 前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束：， 前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束：， 前4次全部测出正品：， 共有种； （4）①最终以正品结束， 则共抽5次，则第1次为次品，其余均为正品，共有种； ②最终以次品结束， 则分三种情况： 共抽4次，则第1，4次为次品，第2，3次为正品，共有种； 共抽5次，则第1，5次为次品，第2，3，4次为正品，共有种； 共有：种 40．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师； (2)6人支教小组中，既有男教师，又有女教师； (3)6人支教小组中，至少有1名主任参加； (4)6人支教小组中既有主任，又有女教师． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用组合数的性质求解即可. （2）（3）（4）先求出目标事件的对立事件概率，再求出目标事件的概率求解即可. 【详解】（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法， 从4名女教师里选3名有种选派方法， 由分步乘法计数原理得共有种选派方法. （2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师， 若全是男教师，有种选派方法， 故既有男教师，又有女教师的选派方法为种. （3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 则至少有1名主任参加有种选派方法. （4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 若有主任，且没有女教师，有种选派方法， 则既有主任，又有女教师有种选派方法. 41．(24-25高二下·湖北宜昌协作体·期中)实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【分析】（1）按照分步乘法计数原理计算可得结果； （2）按照分组分配的方式计算可得结果； （3）可分为三类，在每一类中再利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】（1）6名教师选1名到甲学校任教有种方法， 从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法， 剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法， 则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法； （2）6名教师按，，分为三个组，有种方法， 则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法. （3）由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2， ①6名教师按，，分为三个组有种方法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ②6名教师按，，分为三个组有种分法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ③6名教师平均分配到3所学校有种方法 则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法 42．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)对于正整数和正整数，现定义函数. (1)当时，分别计算在处的取值； (2)为了研究函数的单调性，现定义差分比； ①证明：当时，； ②对于任意正整数，当取到最大值时，求正整数. 【答案】(1)，，， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意依次计算； （2）①根据题意得，即可证明； ②由①可知，对于任意正整数，在时，严格递减，在时，严格递增，接着分为偶数和奇数进行研究即可. 【详解】（1）由题意，，，， . （2）① ，即 当时，. ②由①可知，对于任意正整数，， 即在时，严格递减. 当时，，， 即在时，严格递增. 故对于任意正整数，总在附近取到最大值. 当为偶数时，设，此时，故仅比较与的大小， ， 当时，取到最大值； ②当为奇数时，设，此时， 当时，仅比较与的大小， ， 当时，仅有. 故当时，取到最大值； 综上，当取到最大值时，. 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可； 假如是新定义的性质，一般要判断性质的合用性，可否利用定义的外延. ( 考点05 二项式定理 ) 单选题 43．(24-25高二下·湖北宜昌协作体·期中)化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】由二项式定理写可得答案. 【详解】因为， ，所以. 故选：C. 44．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)在的展开式中，常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题可得二项式展开式的通项公式为， 令，所以展开式中的常数项为. 故选：B 45．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)的展开式中的系数为（   ） A．12 B．40 C．60 D．100 【答案】C 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：C 46．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)的展开式的第7项的二项式系数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的通项公式求解. 【详解】的展开式的第7项的二项式系数是. 故选：C. 47．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)二项式的展开式中的系数为（    ） A．60 B． C． D．12 【答案】C 【分析】化简通项，令的指数为4求出，代回通项可得答案. 【详解】展开式的通项， 令，解得，所以，即的系数为. 故选：C 48．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)若的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用展开式的通项公式即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 令，得；令，得． 所以的展开式中的系数为，解得． 故选：B． 49．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)的展开式中，含项的系数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，然后整理出项的系数，根据系数相等可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以含项的系数为，即，解得. 故选：C. 多选题 50．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)的展开式中，下列说法正确的是（      ） A．展开式共10项 B．含项的系数为2016 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为512 【答案】ABD 【分析】对于AD：根据二项展开式的性质即可得结果；对于BC：根据二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】对于选项AD：因为，则展开式共10项，所有项的二项式系数之和为，故AD正确； 对于BC：二项展开式的通项为， 令，可得，则含项的系数为，故B正确； 令，可得，则展开式中有常数项，故C错误； 故选：ABD. 51．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为1 B．各项系数的绝对值之和为 C．常数项为140 D．的系数为40 【答案】BD 【分析】利用赋值法可计算并判断A、B；利用通项公式可计算并判断C、D. 【详解】对于A，令，可得各项系数之和为，故A错误； 对于B，多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等， 在多项式中，令，可得各项系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 令，则有4种情况： 当时，该项为； 当时，该项为； 当时，该项为； 当时，该项为. 故常数项为，故C错误； 对于D，令，结合， 则有，解得或， 当时，该项为； 当时，该项为， 所以的系数为，故D正确. 填空题 52．(24-25高二下·湖北部分高·期中)在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 【答案】 【分析】先将问题转化为各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案. 【详解】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 53．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)二项式展开式中的系数为______. 【答案】112 【分析】应用二项式的通项公式计算求解即可. 【详解】通项公式，令得，， 所以展开式中的系数为112. 故答案为： 54．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)的展开式中，的系数为__________（结果用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式定理结合条件求解即可. 【详解】由题意可知：含的为， 所以的系数为. 故答案为：. 55．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数______. 【答案】5 【分析】根据题意可得，结合组合数公式运算求解. 【详解】因为为偶数，为奇数，结合二项式系数的最值可得， 又因为，即， 可得，整理可得，解得， 故答案为：5. 56．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)除以26所得余数为______. 【答案】1 【分析】由二项式定可得，即可得出结论. 【详解】 ， 因为都能被26整除， 所以除以26所得余数为1. 故答案为：1 解答题 57．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)（1）求的展开式中的常数项； （2）用二项式定理证明可以被100整除. 【答案】（1）84；（2）证明见解析 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式是常数项得出，即可求解； （2）转化为，再根据二项式展开式计算求解. 【详解】（1）展开式的通项为：，， 令得， 所以展开式中的常数项为； （2）∵ ， ∴能被100整除． 58．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. (1)求的值. (2)记，求被除的余数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得出，可得出关于的方程，由题意得出，可解出的值； （2）由题意得出，结合二项展开式可求出除的余数. 【详解】（1）的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和， 由题意有，即，整理得， 因为，解得. （2）因为， 所以， ， 所以能被整除 因此，被除的余数为. 59．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)在的展开式中， (1)求有理项的个数； (2)系数最大的项是第几项? 【答案】(1)4个 (2)第8项 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可； （2）设第项的系数最大，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）由二项式定理知， 要为有理项则，因为，且， 所以，故有理项有4个； （2）设第项的系数最大，则 解得， 又，故. 所以系数最大的项为第8项 60．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列满足，数列满足. (1)求数列的前项和； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求和. （2）由恒成立的不等式分离参数，构造新数列，探讨春单调性求出最小值即可. 【详解】（1）依题意，， 则，令， 于是， 两式相减得：， 则，所以. （2）由（1）得， 整理得，令，显然，， 当时，，当时，，于是， 因此，，则， 所以的取值范围是. 61．在的展开式中，前3项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； (3)求展开式中含的项的系数及有理项． 【答案】(1) (2)展开式中二项式系数最大的项为，各二项式系数和为 (3)展开式中含的项的系数为，有理项为，， 【分析】（1）求得展开式的通项，得到前三项系数为，结合题意，列出方程，即可求得的值； （2）根据二项展开式的性质，得到展开式中二项式系数最大的项为第五项，结合通项求得展开式的底5项，以及各二项式系数和； （3）由展开式的通项，令，得到，求得含的项的系数，再由，4，8，求得对应的有理项. 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为， 因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为， 所以，即，所以（舍去）或． （2）解：当时，可得所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即，且各二项式系数和为． （3）解：由二项式展开式的通项公式为：， 令，可得，所以含的项的系数为； 设展开式中第项为有理项，由， 当，4，8时对应的项为有理项，其中有理项分别为：． ( 考点0 6 展开式系数问题 ) 62．(24-25高二下·湖北九师联盟·期中)若，则______. 【答案】 【分析】直接利用赋值法求解即可. 【详解】在中， 令，得. 故答案为： 63．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)回答下列问题，请写出必要的答题步骤： (1)若（，为有理数），请求出的值. (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式计算即可； （2）根据题干中展开式的特征，将变形为，再由其展开式的通项公式求系数即可. 【详解】（1）∵展开式的通项公式为：. ∴， ， ，. （2）∵ ∴由展开式的通项公式可知： ，，. 64．(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)已知，. (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得出的值； （2）分别令、，两式相加可得出的值. 【详解】（1）因为，， 令得，. （2）因为，， 令得，， 令得，， 上述两个等式相减得，故. 65．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令可求出，令求解判断，对于B，对原式变形后，分别令可求得结果，，对于C，对原式变形后，根据二项式展开式的通项公式求解判断，对于D，对已知等式两边求导后，赋值判断. 【详解】对于A，当时，得，因为， 当时，所以， 所以，A选项正确； 对于B，， 当时，所以， 令，则， 所以两式相加化简得，所以B错误； 所以其展开式的通项公式为， 当时，，所以C正确， 对于D，由， 得， 令，得， 所以，所以D正确， 故选：ACD 66．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)（多选）对任意实数x，有.则下列结论正确的是（   ） A． B．（，1，…，9）的最大值为 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法可判断A；由，可判断为负，为正，计算可判断B；令，计算可判断C；结合B计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，故A错误； 对于B，由， 则展开式的通项公式为， 所以为负，为正， 当时，计算可得，， ，，， 所以（，1，…，9）的最大值为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得， 所以，又，可得，故C正确； 对于D，由B可知，故D正确. 故选：BCD. 67．若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据题意，令，求得，再令，可得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由， 令，可得， 再令，可得， 所以. 故选：A. 68．(24-25高二下·湖北部分高中·期中)若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以， 故选：A 69．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用赋值法求解判断ABC；两边求导，再赋值求解判断D. 【详解】对于B，取，得，B正确； 对于A，取，得，则，A错误； 对于C，依题意，均为正数，均为负数， 取，得，则 ，C正确； 对于D，两边求导得，取， 得，D正确. 故选：BCD ( 考点0 7 概率 ) 单选题 70．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该家族某位成员出现A性状为事件，出现B性状为事件，先计算，由计算，最后由即可计算. 【详解】设该家族某位成员出现A性状为事件，出现B性状为事件， 则有， 所以， 又, 所以， 所以， 故选：D. 多选题 71．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)下列说法正确的是（    ） A．由甲地到乙地有3条不同的道路，由乙地到丙地有2条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共有6种不同的道路选择方式 B．在3张奖券中仅有1张能中奖，3人依次抽取一张，则排在第2的人抽奖中奖概率为 C．某地预测明天下雨的概率为，连续两天下雨的概率为，则在明天下雨的条件下后天也下雨的概率为 D．同时投掷质地均匀的2枚骰子，点数和有共11种可能，则掷出点数和为7的概率为 【答案】AC 【分析】利用分步计数原理，古典概型，条件概型来进行计算即可得到判断. 【详解】对于A. 由甲地到乙地有3条不同的道路，由乙地到丙地有2条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共分步有种不同的道路选择方式，故A正确； 对于B. 在3张奖券中仅有1张能中奖，3人依次抽取一张，则排在第2的人抽奖中奖概率为，故B错误； 对于C. 某地预测明天下雨的概率为，连续两天下雨的概率为，则在明天下雨的条件下后天也下雨的概率为，故C正确； 对于D. 同时投掷质地均匀的2枚骰子，点数和有共11种可能，这11种可能不是等可能事件，应该用每个骰子有6个点数，两个骰子共有36个点数，所以掷出点数和为7的概率为，故D错误； 故选：AC. 72．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A操作一次后甲袋中有1个红球，则有两种情况，第一种相互交换了1个红球，第二种情况都只是交换了1个白球，即可计算，对于B操作两次后甲袋中有0个红球，即可求，对于C由表示操作3次后甲袋有两个红球，所以后面两次操作乙袋中的红球要交换到甲袋，即可计算，对于D由条件概率公式即可计算. 【详解】对于A：操作一次后甲袋中有1个红球，则有两种情况，第一种相互交换了1个红球，第二种情况都只是交换了1个白球，所以，故A错误； 对于B：操作两次后甲袋中有0个红球， 则第一种情况：第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个白球，第二次操作甲袋的一个白球换乙袋中的1个白球， 第二种情况，第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个红球，第二次操作甲袋的红球换乙袋中的1个白球， 第三种情况：第一次操作甲袋中1个白球换乙袋中的一个白球，第二次操作甲袋中的红球换乙袋中一个白球， 所以，故B正确； 对于C：表示第一次操作甲袋中有0个红球，则，表示操作3次后甲袋有两个红球，所以后面两次操作乙袋中的红球要交换到甲袋， 则，故C正确； 对于D：，表示第一次甲袋1个红球交换乙袋中的1个白球，第二次甲袋中1个白球交换乙袋中1个红球， 则， 所以，故D正确， 故选：BCD. 填空题 73．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________. 【答案】 【分析】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，，由全概率公式先求，由即可求解. 【详解】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，， 则，， 由全概率公式有， 所以， 故答案为：. 解答题 74．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%． (1)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率； (2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率． 【答案】(1)0.86 (2) 【分析】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，根据全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可． 【详解】（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件， 由题可知，， 则． （2）． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05排列组合与二项式定理、概率 ☆7大高频考点概览 考点01两个计数原理的简单应用 考点02排列数与组合数的计算 考点03排挒 考点04组合 考点05二项式定理 考点06展开式系数问题 考点07概率 目目 考点01 两个计数原理的简单应用 单选题 1.(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体期中)现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选 一个参加，不同选法的种数是() A.24 B.12 C. D.43 2.(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的 4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有() A.74种 B.4种 C.7×6×5×4种 D.4×3×2种 3.(24-25高二下·湖北云学名校联盟期中)“灵秀湖北梦，大道武当山”，2025年“五一”长假来临之际，甲、 乙、丙、丁、戌五位同学决定一起游览“祈福圣地”一武当山到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、 南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00-9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有 人去，则不同游览方案的种数为() A.243 B.211 C.125 D.60 目目 考点02 排列数与组合数的计算 单选题 4.(2425高二下湖北孝感一般高中协作体期中)若C5=C°，则实数x的值为() 1/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.10 B.10或8 C.8 D.6 5.(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中下列有关排列数、组合数的计算，正确的是() A.A3×3!=60 B.C 8121 C.C+Cioo=Ciol D.Cio=Cio 6.(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知m,n∈N且n≥m,则下列结论错误的是() A.C=(n+l)C日 B.n!=nx(n-1！ C.CRM=C+C D.若C-2=21,则n=7 多选题 7.(24-25高二下湖北宜昌协作体期中)已知n≥3，n∈N,,则满足不等式A-,-n<7的的值为(） A.6 B.3 C.8 D.4 填空题 8.(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中) 若C=C3,则x= 9.(24-25高二下湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)若A=10C2,则”= 10.(24-25高二下湖北天门外国语，江汉学校等期中)若neN,C=C-1,则n= 目目 考点03 排列 单选题 11.(2425高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)安排5名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出 场，也不是最后一个出场，则共有安排方法() A.84种 B.80种 C.72种 D.68种 12.(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体期中)参加实践活动的2名教师和A,B,C,D,4名志愿 者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有()种 A.20 B.12 C.36 D.24 2/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25高二下.湖北部分级示范高中.期中)DeepSeek系统的登录密码由6个字符组成，其中前4位是大 写字母D、E、E、P的某种排列，后2位是不相同的数字(0-9)，则可能的密码总数是多少() A.360 B.540 C.1080 D.2160 14.(24-25高二下湖北部分级示范高中.期中)初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日 等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整 数6=22+12+12+02.设26=a2+b2+c2+d2,其中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序数组(a,b,c,d)的 个数是() A.28 B.36 C.42 D.48 15.(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”期中)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的5位数， 其中大于21300的正整数个数为() A.81 B.87 C.96 D.105 多选题 16.(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人， 女生3人，则下列说法正确的是() A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C.将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有720种 D.7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法 17.(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜刷电影、 2部动画电影.其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军，该影院某天预留了一个影 厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是() A.《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B.两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C.两部动画片相邻放映，共有48种排法 D.3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 18.(24-25高二下湖北武汉新洲区·期中将四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》， 诗集《唐诗三百首》、《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则() 3/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.戏曲书放在正中间位置的不同放法有二A?种 B.诗集相邻的不同放法有AA。种 C.四大名著互不相邻的不同放法有AA种 D.四大名著不放在两端的不同放法有AA;种 19.(24-25高二下湖北部分高中期中)下列说法正确的是() A.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法 B.2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种 C.2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种 D.2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种 填空题 20.(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)用数字0、1、2、3、4组成的无重复数字的四位数的个数 为 (用数字作答) 解答题 21.(2425高二下·湖北武汉部分重点中学期中)高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校 会 (1)若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数 字作答) (2)已经按照(1)中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进 行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作 答) (3)在完成(2)的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相 邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 22.(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科 代表，求分别符合下列条件的选法数 ()含有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； 4/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 23.(24-25高二下湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)(1)某大型电影院在春节期间推出 了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观 看，共有多少种选法？ (2)某市2025年初科创展览会上，A,B,C三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览， 工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求A公司的产品相邻，C公司的产品不相邻，共有多 少种排法？ (3)树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分 别参与抽签决定出场顺序抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”， 丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”请你根据这些信息推测所 有可能的出场顺序数 24.(24-25高二下·湖北武汉七校·期中)为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑 选11名球员组建校足球队 (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练若其中一组4人，另外两组 每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时A、B、C三人必须相邻，D、E、F、 G四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 目目 考点04 组合 单选题 25.(24-25高二下湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)学生甲从8门选修课中任意选择3门，并从5种课 外活动小组中选择2种，不同的选法种数为() A.CC? B.CC2A C.AA? D.CC2A 26.(24-25高二下湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有() A.3种 B.7种 C.A种 D.C种 27.(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛， 现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有() 5/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 28.(2425高二下湖北部分普通高中联盟期中)现有6个编号为1,2,3,4,5,6不同的球和6个编号为 1,2,3,4,5,6不同的盒子，每盒放一球，则恰有三个球的编号和盒子的编号相同的放法，有() A.20种 B.30种 C.40种 D.80种 29.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中为了践行习近平总书记“绿水青山就 是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2 个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是() A.48 B.36 C.18 D.12 30.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知k元一次方程 +x2+x+…+x=n(n2k,n≥2，n,k∈N)的正整数解的个数为C,则方程x+x2+x3+x4=25 满足x,≥2i（i=1,2,3,4)的整数解的个数为() A.35 B.56 C.84 D.120 31.(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学期中)某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖 北省博物馆三个景区可供选择若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的 种数为() A.180 B.360 C.540 D.670 32.(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体期中)在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊 五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校， 则不同的分配方法总数为() A.36 B.72 C.144 D.108 33.(24-25高二下·湖北部分高中期中)5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团 至少1人，不同的报名方法有() A.43-4种 B.CA4种 C.AA4种 D.54-4种 多选题 34.(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组 织预测2025年到2029年间，有93%的概率平均气温会超过2020年，达到历史上最高气温纪录某校环保兴 趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中6名男生4名女生，若从中选取4名学 6/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 生参加研讨会，则下列说法正确的是() A.选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种 B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种 C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种 D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 填空题 35.(24-25高二下·湖北宜昌协作体期中)某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员， 1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有种 36.(24-25高二下·湖北楚天协作体期中)某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团， 高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团若每名同学必须 参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不 同方法数为 (用数字作答) 解答趣 37.(24-25高二下湖北部分高中期中)从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求： (1)恰好取到2个红球的概率； (2)至少取到1个红球的概率. 38.(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条 串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳.本次赛事设置全程马拉松、 半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在 三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分 配方案？ 39.(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体期中)有2件次品，4件正品混放在一起（这6件产品均不相同）， 现对这6件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测 结束 (1)若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的 7/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 抽法？ (2)一共抽取了5次，检测结束，有多少种不同的抽法？ (3)若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ (4)若第1次抽到的是次品且第3次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？ (要求：解答过程要有必要的说明和步骤》 40.(2425高二下·湖北部分普通高中联盟期中)一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教 师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师： (2)6人支教小组中，既有男教师，又有女教师； (3)6人支教小组中，至少有1名主任参加： (4)6人支教小组中既有主任，又有女教师. 41.(24-25高二下湖北宜昌协作体期中)实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、 塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区 优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教 (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 42.(24-25高二下湖北武汉部分重点中学期中)对于正整数n和正整数k∈{1,2,3，n,现定义函数 Q(n,k)=C·k2 (1)当n=4时，分别计算Q4,k)在k=1,2,3,4处的取值： (2为了研究函数Q(,)的单调性，现定义差分比R,=m,k+ 2(n,k) ①证明：当>号时，Rn小<： ②对于任意正整数n,当Q(n,k)取到最大值时，求正整数k 目目 考点05 二项式定理 单选题 43.(24-25高二下·湖北宜昌协作体期中)化简：C1(-2)+C(-2)2+…+C18(-2)°=() 8/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.1 C.0 D.-2 4,2425高=下潮北部分普通商中联显期中在（父-号 的展开式中，常数项为() A.160 B.-160 C.-80 D.-120 45.(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中) (x-号引x+2的展开式中y的系数为（) A.12 B.40 C.60 D.100 46.(2425高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)(x-1)的展开式的第7项的二项式系数是() A.Cio B.-Cjo C.Co D.-CHo 47.2425商二下湖北武汉部分重点中学期中二项式x2 的展开式中x4的系数为() A.60 B.-60 C.-12 D.12 .425合小湖北云字名校联盟期中若2+4。+ 的展开式中x的系数为75，则a=() A.±25 B.1 C.±2 D.±4 5 49.2425高二下湖北武汉新洲区期中)x-a+°的展开式中，含xy项的系数为-15，则a=(） A.-2 B.-1 C.±1 D.±2 多选题 50.（2425高二下湖北仙桃田家炳实验高级中学期中儿x+】 2 的展开式中，下列说法正确的是() A.展开式共10项 B.含x项的系数为2016 C.无常数项 D.所有项的二项式系数之和为512 51.(2425高二下湖北宜昌部分示范高中期中)关于多项式1+2-x 的展开式，下列结论正确的是() A.各项系数之和为1 B.各项系数的绝对值之和为22 C.常数项为140 9/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.x的系数为40 填空题 52.(24-25高二下·湖北部分高期中)在(3x-2y+)的展开式中，不含x的所有项的系数和为 (用数 值作答) 53.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)二项式(2x-1)展开式中x2的系数 为 54.(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)(x+y-1)的展开式中，y2的系数为 (结 果用数字作答) 55.(24-25高二下湖北部分高中期中)已知(x+y)2，,(x+y)2m+的二项式系数的最大值分别为a,b,若 11a=6b,则正整数m= 56.(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)32025除以26所得余数为 解答题 57.(24-25高二下·湖北仙桃田家炳实验高级中学期中(1)求 9x*、1 的展开式中的常数项； 3√ (2)用二项式定理证明11"-1可以被100整除 58.(24-25高二下湖北楚天协作体期中)已知(2x-1)”的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数 成等差数列. (1)求的值 (2)记f(x)=(2x-1)”,求f(14)被4除的余数. 10 59.(24-25高二下·湖北部分高中.期中)在 x+ 的展开式中， (1)求有理项的个数； (2)系数最大的项是第几项？ 60.(24-25高二下.湖北云学名校联盟·期中)己知数列{an}满足an=2”+2"-C-+2-2C-2+…+2C2+2C,, 10/13