专题02 等差等比数列与数列求和（7大考点49题）（期中真题汇编，湖北专用）高二数学下学期

专题02 等差等比数列与数列求和 7大高频考点概览 考点01等差数列的通项公式及基本量的计算 考点02证明等差数列 考点03等差数列的性质 考点04等比数列及其性质 考点05证明等比数列 考点06数列的概念及数列递推 考点07数列求和 ( 考点01 等差数列的通项公式及基本量的计算 ) 一、单选题 1．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．25 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质，易知，，成等差数列，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以，，成等差数列，所以，解得. 故选：B. 2．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（   ） A．21 B．20 C．19 D．18 【答案】A 【分析】根据等差数列项的性质结合求和公式及通项公式计算求解. 【详解】因为为等差数列的前n项和，设公差为， 所以，，即得， 所以，所以， 则. 故选：A. 3．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)记等差数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质得到，再代入等差数列前项和公式计算． 【详解】由题知． 故选：A． 二、填空题 4．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)设，且，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】由已知得，代入得是以为首项，为公差的等差数列，求出通项公式可得答案. 【详解】由已知， 当时，，所以， 代入得，所以， 当时，，，解得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 则数列的通项公式为. 故答案为：. 三、解答题 5．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由得到，再由，即可得到，从而求出、，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法计算可得； 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为. （2）因为， 所以 . 6．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 7．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知等差数列中，前10项和. (1)求数列的通项公式； (2)若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由错位相减法以及分组求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）， 则， 设，则， 又因为， 所以， 则， 所以. 8．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)数列的前项和为，已知且． (1)求数列的通项公式； (2)在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，求集合中元素的个数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）化简的表达式，然后解不等式，即可得出所求集合元素的个数. 【详解】（1）因为，即， 当时，可得，则， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得且， 所以，数列为首项为，公比为的等比数列，故. （2）由题可知： 所以集合 故集合中元素的个数为. ( 考点02 证明等差数列 ) 9．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知两个数列与，满足，且 (1)求证：是等差数列. (2)记，求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后结合等差数列的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由知. 则， ， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， ， ， 相减得：， ， 得. 10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知递增数列满足，点在函数的图象上. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将点代入到函数式得递推公式，根据等差数列的定义结合对数的运算即可得结果； （2）结合（1）中的结论得到数列的通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 所以当时， 又因为点在函数的图象上， 所以， 所以 ， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列 （2）由（1）可知，， 所以， 所以 所以 所以 ， 即 ( 考点03 等差数列的性质 ) 单选题 11．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出首项和公差，利用得到，再求值即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 则，即，得到， 而，故C正确. 故选：C 多选题 12．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)设数列的前项和是，且，已知，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小为15 【答案】ACD 【分析】先由题设条件求出和，再结合等差数列定义和二次函数性质即可一一计算求解判断各选项. 【详解】数列的前项和，且， 所以， 且， 对于A，当时，， 当时，， 显然满足上式，所以， 所以，故数列是等差数列，故A正确； 对于BC，由上， 因为，所以有最大值；故B错误，C正确； 对于D，令，所以的最小为15，故D正确. 故选：ACD 13．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)设等差数列的前项和，公差为且，下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，最大 D． 【答案】ABD 【分析】由可得异号，进而分析易得，可得数列为递减数列，从而判断ABC选项；结合等差数列的前项和公式及等差数列的性质判断D选项. 【详解】在等差数列中，由，可得异号， 若，由，则，不满足题意，则，故A正确； 由于，则数列为递减数列，所以，故B正确； 由于时，；时，， 所以时，最大，故C错误； 又， ，故D正确. 故选：ABD. 填空题 14．(24-25高二下·湖北九师联盟·期中)已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】7 【分析】根据等差数列前n项和的片段和性质列式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 即，即，解得. 故答案为：7 15．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时，_____. 【答案】5或6 【分析】利用等差中项可得数列为等差数列，进而求出公差、、，结合的函数特性可得或的正负性也可行. 【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为d 因，，则公差， 法一：所以， 因函数的对称轴为， 所以当取最大值时，或6 法二：， 则时，；时，；时， 所以当取最大值时，或6. 故答案为：5或6 16．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则__________. 【答案】/2.2 【分析】利用等差数列前项和公式的性质计算即可. 【详解】由等差数列前项和公式的性质可知，同理， 所以. 故答案为： 17．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则_______． 【答案】4 【分析】由等差数列下标和的性质，结合等差数列前项和的性质即可求解. 【详解】由题意知， 由， 所以， 故答案为：4 18．(24-25高二下·湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中)已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________. 【答案】19 【分析】根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和可得解. 【详解】设等差数列的前项和为，项数为， 则， ， 两式相除得，解得， 则项数为. 故答案为：19 ( 考点04 等比数列及其性质 ) 单选题 19．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)“”是“成等比数列”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】据等比数列及充分必要条件的定义判断即可得解. 【详解】充分性：若，a或b为0时，，但此时不能构成等比数列，充分性不成立； 必要性：若成等比数列，则，即，必要性不成立. 故选：D. 20．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)在等比数列中，是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到，，进而判断出，再利用等比中项性质求出，最后得到目标式的值即可. 【详解】由题意得在等比数列中，是方程的两个实数根， 则由韦达定理得，，故，得到， 由等比中项性质得，解得，得到，故A正确. 故选：A 21．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的基本性质得出，再结合对数的运算性质可求得结果. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，且， 由等比数列的性质得， 因此，. 故选：B. 22．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)各项为正的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．9 C．4或 D．2或 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得或（舍去）， 故. 故选：A 23．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（    ） A．8 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】根据等比数列基本量的计算和性质即可求解. 【详解】由可知等比数列的公比不为1， 故， ， 又，所以，故，则， 故选：A 填空题 24．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)化简_________. 【答案】 【分析】由等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：． ( 考点05 证明等比数列 ) 多选题 25．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D. 【详解】A.由条件，可知，， 且，则，所以数列为等比数列，故A正确； B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列， 所以数列不是等差数列，故B错误； C.由A可知，，所以时，， ，也适合，故C正确； D.由C可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 26．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知数列满足，，则下列结论正确的有（   ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前项和 【答案】ABD 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而判断A、B；利用作差法判断的单调性，即可判断C；利用分组求和法判断D. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得，故A、B正确； 又， 即，所以数列为递减数列，故C错误； 因为，所以， 所以数列的前项和为 ，故D正确. 故选：ABD. 解答题 27．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式，结合等比数列的定义，即证明； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，则， ， ∴， ∴ ， ∴. 28．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知数列满足，（）. (1)证明：数列是等比数列. (2)设，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对取倒数，整理得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列满足，（）， 则， ∴， 又∵， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，则（）， ∴ ， ∴ . ( 考点0 6 数列的概念及数列递推 ) 单选题 29．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 30．(24-25高二下·湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中)已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由数列的递推公式求出数列前几项，即可得数列是周期为3的周期数列，由其周期性即可求值. 【详解】因为，，， 所以， 则，，，， 所以数列是周期为3的周期数列，则. 故选：D. 31．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（   ） A．10 B．11 C．12 D．12或13 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式求出，再由单调性求得答案. 【详解】，，当时，，两式相减得， 而，解得，因此数列是等比数列，， 数列是递增正项数列，， 因此，所以当取最小值时，. 故选：C 32．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是递增数列，所以，不等式恒成立求解参数的取值范围即可. 【详解】由题可知是递增数列，所以，即， 所以，故．因为，所以． 故选：C. 33．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列， 又数列满足， 所以，，即， 即，解得. 故选：C. 34．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 35．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】C 【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：可判断；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可求解. 【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确； 对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前项和即为，，B选项正确； 对C选项， ，C选项错误； 对D选项，由B选项分析可得，又， ，又， 是以首项为，公比为3的等比数列， ，D选项正确． 故选：C． 多选题 36．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图： 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第n个图的樱花数是，设数列的前n项和为.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D．数列的前n项和为 【答案】BCD 【分析】写出前3项可判断A；利用累加法求出，继而可求出，判断B，利用作差法判断数列单调性可判断C；利用裂项相消求和可判断D. 【详解】A，由题意可知，显然，A错误； B，由题意可得， 则 ， 也适合，故， 所以 ，B正确； C，，则 ， 当时，， 即，故数列是递增数列，C正确； D，， 故数列的前n项和为 ，D正确， 故选：BCD 填空题 37．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)数列中，，，则通项______． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 38．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________. 【答案】 2 37 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合数列的增减性以及的各项均是正整数，逐一代入计算，即可得到结果. 【详解】由已知，若，将有，矛盾； 若，则，与单调性矛盾；故. 由，有，所以； 又，则，所以， 故， 则由，即，知，故. 故答案为：； 39．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)在数列中，，对任意，则______．已知是数列的前项和，且，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将化简，得是等比数列，通过的通项公式求出的通项公式；通过的通项公式化简分析，取和最小的几项之和，即为所求. 【详解】由，可得，即． 令，得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则，即． 又， 所以当且仅当时，， 即的最小值为． 故答案为：；. 40．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)已知，，…，是，，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中存在唯一使得，满足性质的数列，，…，的个数为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到和之间的关系：，再计算，代入即可. 【详解】设为符合题意的的个数， 考虑和之间的关系，为此考虑两种情况下的： 第一种为1到符合性质排列，不妨设，此时要么放在末尾要么放在和之间，这一共有 种情况； 第二种为1到不符合性质排列，此时若想插入数使得序列满足性质，则前个数只能递增排列，然后插入，有种情况； 故 设 易知 ， 所以. 故答案为：. 解答题 41．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知中，，．是的前项和． (1)求的通项公式； (2)求的取值范围； (3)，，求的通项公式. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用累加法求出的通项. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性求出范围. （3）由（1）的结论，利用构造常数列法求出通项公式. 【详解】（1）在数列中，当时，，， ，满足上式， 所以的通项公式是. （2）由（1）知， 则， 而数列单调递增，则，因此， 所以的取值范围是. （3）由（1）知，当时，， 而， 则，即， 因此数列是常数列，则， 所以的通项公式是. 42．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知函数. (1)当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值； (2)当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得数列通项，求得数列中小于零的项，可得答案； （2）由题意可得数列的递推公式，从而可得数列的递推公式，根据等差数列的相关概念，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，，令． 故：，当时，；当时，． 故：当时，数列前项和取得最小值． （2）解法一：当时，， ． 因为数列是公差为等差数列， 所以：不为常数， 故：的值为． 解法二：由解法一知：，，可得：，． 因为数列是公差为等差数列 解得：或． 检验：当时，，故：满足条件； 当时，， ，此时：， 故：为常数数列，不满足条件． 综上：的值为． 43．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)“勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵.数阵的第一行是（）个连续的自然数，从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字.                                                                                                                                               请仔细观察数阵，解决下列问题： (1)求数阵中数字为奇数的项数. (2)设数阵第行的第一个数字为，请直接写出与的等量关系，并求. (3)设数阵所有行第一个数字之和为，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，； (3)，理由见解析. 【分析】（1）根据数阵特点，进行分类讨论，即可求解； （2）观察每一行的前两项的增量规律，猜测出它们的关系（才想验证即可，不要求证明，若需证明，可用数学归纳法证明），进而可得，通过构造即可求得； （3）通过错位相减法可求得，再结合组合数的性质运算，可求得，通过构造函数，可比较其大小关系. 【详解】（1）观察数阵知，第一行的数奇偶性相间，第二行的数都为奇数，从第三行起所有数是偶数. 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以； （2）由题意知，，即 变形得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以； （3）. 理由如下： 因为 相减得，， 所以 又因为 令，则， 又（）， 所以在上单调递增，所以， 所以. ( 考点0 7 数列求和 ) 单选题 44．(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)设函数的导函数，则数列的前100项和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的导函数可得，再利用裂项求和可求得结果. 【详解】由可得其导函数为， 又，可得，所以， 所以， 因此数列的前100项和为 . 故选：C 解答题 45．(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用通项公式和前项和的关系可求得，又，可得的通项公式； （2）首先分母有理化求得的通项公式，再利用裂项相消法即可其前项和为. 【详解】（1）由题干条件，当时，， 当时，， 与已知式子相减得，因为，所以， 又也符合上式，故； （2）由已知得， 故. 46．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系，结合等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，而，即， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前项和. 47．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)若，证明数列是等差数列. (3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出即可得出双曲线方程； （2）根据等差数列定义证明即可； （3）应用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可设双曲线的标准方程为（，）， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）因为点（）在曲线上，所以 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知， 由于，所以 所以 所以 48．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列满足，数列满足. (1)求数列的前项和； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求和. （2）由恒成立的不等式分离参数，构造新数列，探讨春单调性求出最小值即可. 【详解】（1）依题意，， 则，令， 于是， 两式相减得：， 则，所以. （2）由（1）得， 整理得，令，显然，， 当时，，当时，，于是， 因此，，则， 所以的取值范围是. 49．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②16 【分析】（1）由题意，配方得，利用“平方递推数列”定义即可证明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明； （2）①求出，然后利用错位相减法求和即可； ②将原不等式恒成立转化为恒成立，分离参数恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】（1）点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； （2）①由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， ； ②恒成立， 恒成立， 恒成立，恒成立， 又，当且仅当时，取到等号， ，即. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02等差等比数列与数列求和 ☆7大高频考点概览 考点01等差数列的通项公式及基本量的计算 考点02证明等差数列 考点03等差数列的性质 考点04等比数列及其性质 考点05证明等比数列 考点06数列的概念及数列递推 考点07数列求和 目目 考点01 等差数列的通项公式及基本量的计算 一、单选题 1.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S=3,S6=9,则S,=() A.12 B.18 C.24 D.25 2.(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a,=6,S12=48,则 a1s的值为() A.21 B.20 C.19 D.18 3.(24-25高二下·湖北云学名校联盟期中)记等差数列{an}的前项和为Sn若a,=-8,ao=2,则S4=() A.-42 B.-49 C.-63 D.-70 二、填空题 4.(24-25高二下·湖北武汉新洲区期中)设b,=a,a,a…a,且 上+2=1，则数列6，的通项公式为 "an b 三、解答题 5.(24-25高二下湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中) 1/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 己知Sn是等差数列{an}的前n项和，S,=5S,42n=2an-1. (I)求数列{an}的通项公式： 1 (2)设bn= ,求数列(bn}的前n项和T am·an+l 6.(24-25高二下湖北部分级示范高中期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,42a=40,S,=15,数列bn}满 +A+++宁=aeN) 1 (I)求数列an}和(bn}的通项公式： (2)若从数列{an}中依次剔除与数列{b}的公共项，剩下的项组成新的数列{cn},求数列{c}的前50项和To· 7.(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”期中)已知等差数列an}中a2=8，前10项和 S10=185 (1)求数列{an}的通项公式a,; (2)若从数列an}中依次取出第2,4,8，…，2”，…项，按原来的顺序排列成一个新的数列bn},若cn=(an-2)b。, 求数列{c}的前n项和T 8.(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)数列an}的前n项和为Sn,已知a1=1且an1-S。=1. (1)求数列{a}的通项公式： (2)在数学中，常用符号“Π”表示一系列数的连乘，求集合 ≤1024 中元素的个数. 目目 考点02 证明等差数列 9.(24-25高二下湖北孝感一般高中协作体期中)已知两个数列{a}与{bn},满足a,=0,且 a b -1,anan+1=-2a+ 1 (1)求证： 是等差数列， 1 (2)记cn= ,22m，求数列{c.的前n项和S 10.(24-25高二下·湖北武汉新洲区期中)已知递增数列{an}满足a,=1,点(a,an+)在函数f(x=4x+9的 2/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图象上 (1)证明：数列{1og2(an+3}是等差数列： a,+3 (2诺6，=a.+41a+4, 求数列bn}的前n项和Tn 目目 考点03 等差数列的性质 单选题 1山.(2425商二下衡北部分普通高中联盟期中)设S是等差数列a的前项和，若=， 2=() 4则 A.3 B.1 C.9 D. 5 16 9 多选题 12.(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)设数列{an}的前n项和是Sn,且S。=An2+Bn,已知， S3=S>0,则下列说法正确的有（) A.数列an}是等差数列 B.Sn的最小值是S4 C.Sn的最大值是S4 D.an<0的最小n为15 13.(24-25高二下湖北孝感一般高中协作体期中)设等差数列{an}的前n项和Sn,a,>0,公差为 d,a,+ag>0且aag<0,下列结论正确的是() A.d<0 B.a,>0,ag<0 C.n=8时，Sn最大 D.S14>0,Ss<0 填空题 14.(24-25高二下湖北九师联盟期中)已知等差数列(an}的前n项和为Sn,若S4=4,S2=9，则S= 15.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)若数列{an}满足a,+a+2=2a1 neN),a,=10,a,=-2,设数列{an}的前n项和为Sn,则当Sn取最大值时，n= 3/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)己知两个等差数列{an}与{bn}的前项和分别是Sn和Tn, 其中 。=4n+3 2n-1，则 17.(2425高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知Sn与Tn分别是等差数列an}与等差数列(bn}的前n项和， 且g-3n+2025 n b5+b2021b2+b2024 18.(24-25高二下·湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中)己知等差数列{a}的项数为奇数， 其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为 目目 考点04 等比数列及其性质 单选题 19.(24-25高二下湖北孝感一般高中协作体期中)“G=√ab”是“a,G,b成等比数列的()条件。 A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 20.(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)在等比数列{an}中，a3,a15是方程x2+10x+9=0的两个实 数根，则，=() a3015 1 A.3 B. 1 3 c号 D.3 21.(24-25高二下·湖北部分级示范高中·期中)等比数列{an}的各项均为正数，且a44,=2,则 l0g2 a+log2 a2+...+log2 ao=() A.4 B.5 C.10 D.2+l0g2 5 22.(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”期中)各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn, 若3，=7,4，=4，则+0=（) a3+41 A.4 B.9 C.4或4 D.2或 23.(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体期中)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn, a2a4=9,9S4=10S2,则a2-a4的值为() 4/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.10 C.9 D.6 填空题 24.(24-25高二下湖北云学名校联盟期中)化简1+23+26+2”+…+23m+6= 目目 考点05 证明等比数列 多选题 25.(24-25高二下湖北武汉部分重点中学·期中已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a=1,a2=4, an+1=4a-3an-1n≥2，n∈N),则下列说法正确的有（) A.数列{a1-a}为等比数列 B.数列a+1-2a}为等差数列 C.a=3”-1 D.S,= +1-2n-3 2 4 26.(24-25高二下湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中) 已知数列a}满足a=1,a1= 0n+2, 则下列结论正确的有() 为等比数列 B.a的通项公式为a2 1 C.{an}为递增数列 D 的前n项和T=2"1-2-n a. 解答题 27.Q425商=下潮北武议重点中学5G联合体期中已知数列a,的首项4-}且满足0=。 2an+11 (1)求证： 数列 为等比数列； 2)求数列 的前n项和Sn 1 34,(nEN') 28.(Q425高二下澜北楚天协作体期中)已知数列a,}满足a=2,a.1+2a. )证明： 数列日一是等比数列 5/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2设b=2aa型，求6+，+…+b 3” 目目 考点06 数列的概念及数列递推 单选题 29.(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体期中)数列1，-1,1，-1，…n∈N)的一个通项公式为() A.(-1)+2 B.cosn-lπ c.1--) 2 D.sin (2+1) 30.(24-25高二下湖北部分高中协作体（广水第二高级中学等校）·期中已知数列{an}中，41=2，a2=4, an+an1+an+2=2,则a2025=(） A.4 B.2 C.-2 D.-4 31.(24-25高二下湖北楚天协作体·期中)已知数列an}的前n项和为Sn,前n项的积为Tn,若 S=2a,4095,当x取最小值时，1：（) 1 A.10 B.11 C.12 D.12或13 高下洲北天门外国语，汉学校等中已知数列，的通项公式为心，-《”， 增数列，则k的取值范围为() A.（-0,1 B.(1,+0 .-02 D. 1-3an+15a,n≤4 33.(24-25高二下·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知数列{an}满足an= ,若 4a"-3+4,n≥5 HneN,an+1<an恒成立，则实数a的取值范围是() 34.(24-25高二下湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数 分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数，第三行 的1,5,12,22称为五边形数则正方形数、五边形数所构成的数列的第5项分别为() 6/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10 16 12 22 A.24,34 B.25,35 C.25,34 D.24,35 35.(2425高二下·湖北云学名校联盟期中)定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列， 这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到数 列1,4,4,16,4；，设第n次“美好成长”后得到的数列为1，x,x2,…,x,4,记an=l0g41x1x2…·x4),则 下列说法错误的是() A.a2=5 B.k=2”-1 C.a=2a+1 D.数列a,的通项公式为a,=3”+1 2 多选题 36.(2425高二下湖北部分级示范高中·期中)烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园将樱花抽象并按照 一定的规律循环出下图： 图①将樱花抽象后，得樱花数a,=1,图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数2=6，以此 类推.假设第n个图的樱花数是a,设数列{an}的前n项和为Sn.则下列说法正确的是() A.a=6an- B.S= 5m-5n 164 C.数列 S 5" 是递增数列 D.数列 的前n项和为1- 4 5*1-1 7/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 填空题 37.(2425高二下湖北部分普通高中联盟期中)数列an}中，a1=1,a+1=3a。-1，则通项a。=一： 38.(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”期中)已知递增数列{an}的各项均是正整数，且 满足a。.=3n,则a= ，ag+a10= 39.(24-25高二下湖北天门外国语，江汉学校等期中)在数列(an}中，4，=2，对任意 m,nEN',amn= 11 aman,则an=·已知Sn是数列b}的前n项和，且bn=(n2+122"-3-a,若 m n p,9∈N,p>q,则S。-S,的最小值为 40.(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期中)己知a1,a2,…,4n是1,2，…，n(n≥2，neN）满 足下列性质T的一个排列，性质T:排列a,a2,，an中存在唯一k∈l,2,,n-1使得a>a1,满足性 质T的数列a1,a2,…，4的个数为 解答题 41.(24-25高二下湖北部分普通高中联盟期中)已知a,}中，a,=1,0,-a1=n(m≥2).S是{}的前项 a 和. (1)求{an}的通项公式： (2)求Sn的取值范围； (3)b=1,b。-b.-1=an(n≥2)，求{bn}的通项公式 2.Q4-25商二下潮北云学名校联盟期中已知函数f川=-子a,b∈R. 2x-b (1)当a=l,b=15时，数列an}满足an=f(n),记数列{an}前n项和为Sn,则当Sn取得最小值时，求的值： ②当6=-1时，数列6，满足乌=分6=f6,+2,若数列 是公差d≠0的等差数列，求a的值. b. 43.(24-25高二下.湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中“勤于思考，乐于探索，勇于创新” 是学习数学的必备思维品质某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关，自主构造了下述 8/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 数阵数阵的第一行是n(n>2)个连续的自然数，从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和， 最后一行仅有一个数字 12345……n-3n-2n-1n 3579………2n-52n-32n-1 81216………4n-84n-4 2028 …………8n-12 ……… 请仔细观察数阵，解决下列问题： (1)求数阵中数字为奇数的项数M, (2)设数阵第m行的第一个数字为am,请直接写出am1与am的等量关系，并求am (3)设数阵所有行第一个数字之和为S,试判断S与C+C+C:++C的大小关系，并说明理由， 目目 考点07 数列求和 单选题 44.(24-25高二下·湖北部分级示范高中.期中)设函数f(x)=x2+ax的导函数f'(x)=2x+1,则数列 1 n∈N的前100项和是() f(n) 98 99 A. B. C.100 101 D. 99 100 101 102 解答题 45.(24-25高二下湖北孝感一般高中协作体期中已知数列a,满足a2+a+ag++a-n”-l,。 2,0n≥0 (1)求{an}的通项公式： (2)记6，-1 数列bn}的前n项和为Sn,求Sn an+an+ 46.(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2-2a。=0,n∈N1 (I)求{an}的通项公式： 9/10 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2” (2)若bn= 求数列{b}的前n项和Tn (an+10(an+1+l) 47.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)设等轴双曲线C的焦点在x轴上，焦 距为22，点Q(a+,an)(n∈N)在曲线C上 (1)求双曲线C的标准方程. (2)若a=1,证明数列{a}是等差数列 1 (3)在(2)的条件下，若数列{an}为正项数列，求数列 的前n项和Sn an +an 48.(24-25高二下.湖北云学名校联盟期中)已知数列{an}满足an=2”+2-C+2-2C-2+…+2C2+2C, 数列{bn}满足bn=nan (1)求数列bn}的前n项和Sn; ②洁5≤-兮+2)+子对任意的neN恒成立，求实数2价取值花同 49.(24-25高二下湖北武汉部分重点中学期中)若数列{Pn}满足P+1=pn2,则称数列{Pn}为“平方递推数列” 己知数列{a,}中，a=7,点(an,a+)在函数f(x=x2+6x+6的图象上，其中n为正整数 (1)证明：数列{an+3)是平方递推数列”，且数列{lg(an+3}为等比数列； (2)设b.=(2n-1)lga,+3),数列bn}的前n项和为Sn; ①求Sn; ②若S2m+13-(n-14"1≥1lga。+3)恒成立，求实数1的最大值 10/10