专题05 期中压轴题（5大考点23题）（期中真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

专题05 期中压轴题 5大高频考点概览 考点01平面向量 考点02三角函数 考点03解三角形 考点04函数及其性质 考点05复数 ( 考点 01 平面向量 ) 1．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________． 2．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 3．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） ( 考点 02 三角函数 ) 4．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）已知函数，值域为，则下列选项错误的是（   ） A． B．的图像关于直线对称 C．的最大值为1 D． 5．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（   ） A． B． C．[3，5] D． 7．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）（多选）函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（   ） A．函数的解析式为 B．函数的对称中心为 C．若，则x的取值范围为 D．若方程在内恰有两个根，则 9．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的是（   ） A．是函数（）的对称中心 B．函数在区间上单调递增，满足题意的的值组成集合，则 C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 10．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. ( 考点 0 3 解三角形 ) 11．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 13．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则为直角三角形 B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 14．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在平面四边形中，，，，则的取值范围是________. 15．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______． 16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． (1)求角B的大小． (2)求的取值． 17．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. (1)证明：； (2)若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 18．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求边长的最大值； (3)若的面积为，且，求面积的取值范围. 19．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 20．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 21．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． ( 考点 0 4 函数及其性质 ) 22．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． (1)已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． (2)若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． ( 考点 0 5 复数 ) 23．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中压轴题 5大高频考点概览 考点01平面向量 考点02三角函数 考点03解三角形 考点04函数及其性质 考点05复数 ( 考点 01 平面向量 ) 1．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先通过题意将用表示出来，然后代入投影向量的定义式中求模长，通过化简发现可以化简为关于的不等式，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意可得 ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 2．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 3．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)证明解析. (3)，理由见解析 【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算； （3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个； ②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小. 【详解】（1）因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. （2）因为向量，，所以，， 所以 化简得. （3）①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理： 如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得. 如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得. ( 考点 02 三角函数 ) 4．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）已知函数，值域为，则下列选项错误的是（   ） A． B．的图像关于直线对称 C．的最大值为1 D． 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数关系和换元法得到，，A选项，当时，，由函数单调性求出最值，得到值域；B选项，计算出，B正确；C选项，，故；D选项，化简得到，由单调性求出最值，得到值域. 【详解】因为，所以， 令，则，. A选项，当时，， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， ，故正确； B选项，因为， 所以的图像关于直线对称，故B正确 C选项，因为，所以，所以， ，故，当且仅当或时，等号成立， 所以的最大值为1，故C正确. D选项，当时，， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 故，故D错 故选：D 5．（24-25高一下·武汉七校·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为 ， 因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为. 所以函数的最小正周期为，可得，即， 由可得， 解得或， 当时，， 由可得，可得，解得， 所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解， 令， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B 6．（24-25高一下·湖北·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（   ） A． B． C．[3，5] D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 7．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）（多选）函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，再逐一验证即可求解． 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为为图象的一个对称中心， 所以①， 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 所以可取， 当时，，， 当时，，在单调递减，符合题意； 当时，，， 又，所以没有符合题意的值，故不合题意； 当时，，，取， 当时，，在单调递减，符合题意； 综上所述，符合题意的， 故选：AC． 8．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（   ） A．函数的解析式为 B．函数的对称中心为 C．若，则x的取值范围为 D．若方程在内恰有两个根，则 【答案】ACD 【分析】先通过图象变换得到，然后利用三角函数的性质，通过整体代入求函数的对称中心和不等式的解集，最后利用整体代换的思想将令，将转化为，得出答案. 【详解】左平移个单位长度 横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 向下平移个单位长度 所以，即，A项正确. 由得， 即函数的对称中心为，B项错误. 由，得，由三角函数的图象可得 ，所以x的取值范围为，C项正确. 令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则即在内恰有两个根， 所以，而，故， 故，D项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：在三角函数的解题中，我们经常使用整体代换的思想，令解决问题. 9．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是.结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的是（   ） A．是函数（）的对称中心 B．函数在区间上单调递增，满足题意的的值组成集合，则 C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【分析】对于A：根据正弦函数的对称中心判断；对于B：观察函数单调性判断；对于C：确定函数周期来判断；对于D：确定函数频率来判断. 【详解】对于A：由正弦函数的对称中心可得是函数（）的对称中心，故A正确； 对于B：由正弦函数的单调性可得当时为递增函数； 当时为增函数； 当时为增函数； 当为增函数，由复合函数的单调性可得原函数在区间上单调递增， 所以当时，，故B正确； 对于C：，即的振幅比的振幅大，又响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小，所以声音甲的响度一定比纯音响度大，故C错误； 对于D：因为， 所以的一个周期为， 假设存在一个为的一个周期， 则， 即， 所以， 因为，， 所以不符合题意，所以的最小正周期为，频率为， 的频率为，，所以声音乙一定比纯音更低沉，故D正确. 故选：C 10．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； （2）由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. ( 考点 0 3 解三角形 ) 11．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 由，解得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 12．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可. 【详解】， , ， ，， ， ， 即， ， 当且仅当时等号成立， ，即的最大值是. 故选：D 13．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则为直角三角形 B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】BCD 【分析】对A，由已知确定的角平分线与垂直，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得解；对B，根据可得O为的重心，结合判断；对C，由正弦定理角化边得，利用余弦定理可判断，得解；对D，由两角和的正切公式结合条件可得，进而判断得解. 【详解】对于A，因为分别为单位向量， 所以的角平分线与垂直，所以． 又因为，即，因为，所以， 故，所以为等边三角形，故A错误； 对于B，因为，所以O为的重心， 由知O为的外心，故为等边三角形，故B正确； 对于C，由，可得，由正弦定理可得， 所以，因为，所以，则为钝角三角形，故C正确； 对于D，由， 所以，而，故都为锐角，故D正确. 故选：BCD. 14．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在平面四边形中，，，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意作图，延长，交于，作，分别求出和两个临界位置的长，即可得出的取值范围 【详解】如图所示，延长，交于，作， 由，，可得， 所以点与不重合，点与也不重合，点与不重合， 在中，，，，， 由正弦定理可得，即， 由，解得， 在中，，则， 则是正三角形，解得（此时为临界位置，不能取）， 所以的取值范围为. 故答案为： 15．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______． 【答案】8 【分析】由正弦定理可得，再由三角恒等变换计算可得，利用换元法以及基本不等式计算可得当时取得最小值为8. 【详解】根据正弦定理由，可得， 所以， 即可得， 又因为，可得， 因此， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即， 令，可知， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题目条件并结合三角恒等变换得出，并求得，由锐角三角形以及基本不等式计算即可. 16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． (1)求角B的大小． (2)求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等式将条件方程化简，结合锐角三角形的性质确定角B的大小； （2）通过余弦定理和三角形面积公式建立边角关系化简可得，进而可得出结果. 【详解】（1）化简可得：， ， 整理得：， 所以，即， 因为，所以. 根据正弦定理可得：则， 又因为，所以，解得， 由于是锐角三角形，所以 （2）由余弦定理：， 所以 利用面积公式： ,代入 得： ，结合余弦定理 ,得： ，即 ,此时三角形为等边三角形, , 故： 17．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. (1)证明：； (2)若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）或. 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算即可证明； （2）（I）根据正弦定理，由（1），利用三角恒等变换的化简计算可得，结合即可求解；（II）易知，则，作出图形，得函数的零点依次为，，，……，分别代入建立不等式，解之即可. 【详解】（1） ， 即证：； （2）（Ⅰ）因为，所以， 由正弦定理得， 由（1）得， 在中，知，且， 所以， 解得或. 若，在中，得； 若，在中，此式不成立， 所以，得，即， 由正弦定理，得，又，所以， 因为为非钝角三角形，，得， 由，，得， 所以，得，所以. （Ⅱ）依题意的最小值为，，∴ 在坐标系中大致作图如下；    因为在有且只有一个零点， 则有，，所以 又由图可知，函数的零点依次为，，，……， ①当唯一的零点是时，，解得； ②当唯一的零点是时，，解得； ③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去. 故的取值范围是或. 18．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求边长的最大值； (3)若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解； （2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解； （3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. （2）由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. （3）由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. 19．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据题意可得，则，即，又，可得，，再在中，利用正弦定理求解； （2）先根据，得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，，进一步化简即可. 【详解】（1）∵，∴，∵，， ∴， ∴，∴，即，又， 由勾股定理得，则． 在中，设，则， 由正弦定理可得， 所以，化简可得． 综上，，． （2） ，所以． 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得：， 由上面可得， 所以， 先求， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以 再求． 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由（2）可知，所以； 所以 ． 20．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 【答案】(1)2千米 (2)平方千米 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果. （2）利用三角恒等变换表示出面积和之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的最大值. 【详解】（1） 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. （2） 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 21．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点P即为费马点．已知分别为三内角的对边，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可. （2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由得，再结合余弦定理可求出可得周长. （3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为，所以可化为， 由正弦定理可得，因为，所以， 因此，， 即，因为． 所以，故． （2）因为，所以的内角均小于，所以点P在的内部，且， 设， 因为， 整理得：， 由得， 即， 在中，由余弦定理得，即， 则，解得，所以的周长为． （3）在中，由余弦定理得： 将三个等式左右分别相加，， 由（2）知①， 在中，由余弦定理得，即②， 将①，②代入整理得，， 于是， 从而，， 由题意，当时，不等式恒成立， 即在上恒成立． 因为，当且仅当时等号成立，故， 即实数n的取值范围为． ( 考点 0 4 函数及其性质 ) 22．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． (1)已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． (2)若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)① 证明见解析；② 【分析】（1）根据型函数的定义，结合函数奇偶性的判断方法即可证明； （2）① 设，由为型函数可得，由此推出，即得，故得证；② 先将题设不等式转化成，通过化简，利用换元，将其化成关于的二次函数，即可求其值域，得到参数范围. 【详解】（1）若关于对称，所以， 即， 故为偶函数，即为型函数． （2）① 设， 则为奇函数，即在R上恒成立； 由 ， 则，即， 因为，所以． ② 由①知，，则不等式化为： ，则. 因 , 令，则，， 故当时，取到最小值，所以． 故a的取值范围为． ( 考点 0 5 复数 ) 23．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中压轴题 ( 考点 01 平面向量 ) 1．【答案】 2．【答案】(1) (2)存在， (3) 【详解】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 3． 【答案】(1) (2)证明解析. (3)，理由见解析 【详解】（1）因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. （2）因为向量，，所以，， 所以 化简得. （3）①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理： 如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得. 如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得. ( 考点 02 三角函数 ) 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】AC 8．【答案】ACD 9．【答案】C 10． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； （2）由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. ( 考点 0 3 解三角形 ) 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】BCD 14．【答案】 15．【答案】8 16．【答案】(1) 17．【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）或. 【详解】（1） ， 即证：； （2）（Ⅰ）因为，所以， 由正弦定理得， 由（1）得， 在中，知，且， 所以， 解得或. 若，在中，得； 若，在中，此式不成立， 所以，得，即， 由正弦定理，得，又，所以， 因为为非钝角三角形，，得， 由，，得， 所以，得，所以. （Ⅱ）依题意的最小值为，，∴ 在坐标系中大致作图如下；    因为在有且只有一个零点， 则有，，所以 又由图可知，函数的零点依次为，，，……， ①当唯一的零点是时，，解得； ②当唯一的零点是时，，解得； ③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去. 故的取值范围是或. 18．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. （2）由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. （3）由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. 19． 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）∵，∴，∵，， ∴， ∴，∴，即，又， 由勾股定理得，则． 在中，设，则， 由正弦定理可得， 所以，化简可得． 综上，，． （2） ，所以． 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得：， 由上面可得， 所以， 先求， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以 再求． 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由（2）可知，所以； 所以 ． 20． 【答案】(1)2千米 (2)平方千米 【详解】（1） 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. （2） 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 21． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以可化为， 由正弦定理可得，因为，所以， 因此，， 即，因为． 所以，故． （2）因为，所以的内角均小于，所以点P在的内部，且， 设， 因为， 整理得：， 由得， 即， 在中，由余弦定理得，即， 则，解得，所以的周长为． （3）在中，由余弦定理得： 将三个等式左右分别相加，， 由（2）知①， 在中，由余弦定理得，即②， 将①，②代入整理得，， 于是， 从而，， 由题意，当时，不等式恒成立， 即在上恒成立． 因为，当且仅当时等号成立，故， 即实数n的取值范围为． ( 考点 0 4 函数及其性质 ) 22． 【答案】(1)证明见解析 (2)① 证明见解析；② 【详解】（1）若关于对称，所以， 即， 故为偶函数，即为型函数． （2）① 设， 则为奇函数，即在R上恒成立； 由 ， 则，即， 因为，所以． ② 由①知，，则不等式化为： ，则. 因 , 令，则，， 故当时，取到最小值，所以． 故a的取值范围为． ( 考点 0 5 复数 ) 23． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $