专题04 复数（8大考点23题）（期中真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

专题04 复数 8大高频考点概览 考点01复数的实部与虚部 考点02复数的分类 考点03复数的几何意义 考点04复数的模 考点05周期 考点06最值与轨迹 考点07欧拉公式 考点08综合运算 ( 考点 01 复数的实部与虚部 ) 单选题 1．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数，复数除法运算化简，得解. 【详解】， ，故的虚部为3. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知，则的虚部是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由共轭复数和复数的乘法运算计算可得. 【详解】，故的虚部是． 故选：B ( 考点 02 复数的分类 ) 3．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）复数（为虚数单位）为纯虚数，则（    ） A．4i B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用复数的除法求出，再结合纯虚数及共轭复数求解. 【详解】依题意， ， 由复数z为纯虚数，得，所以． 故选：D 4．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数． (1)求实数m的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的运算得出的表达式，进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案； （2）由（1）得出，然后根据共轭复数的概念得出，进而根据复数的乘法运算计算化简即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为是纯虚数，所以有，解得. （2）由（1）可知，，， 所以， 所以. 5．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知复数，.（其中为虚数单位，） (1)若为纯虚数，求的值： (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列方程组求解； （2）方法一：利用实系数方程的虚根成共轭对的结论，得到方程的两个根，然后利用韦达定理得结果；方法二：直接将方程的根代入方程，利用复数相等的条件得到方程组求解即可. 【详解】（1）由为纯虚数，所以有，解得. （2）方法一  是关于的方程的一个根 是的另一个根， ，，. 方法二  是关于的方程的一个根，. . 即，，. 6．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为． (1)求向量的坐标； (2)若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用复数的除法，结合复数的概念求出即可； （2）求出及在复平面内对应的点，再列式求得范围. 【详解】（1）由为实数，得，则， 又为实数， 则，解得，因此，所以； （2）由（1）知，，而，则， 复数在复平面内对应的点在第四象限， 于是，即，解得或， 所以的取值范围为． ( 考点 0 3 复数的几何意义 ) 单选题 7．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）设，，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据所给的两个复数，求出，写出对应点的坐标，看出所在的象限. 【详解】∵复数，， ∴z=， ∴复数在复平面上对应的点的坐标是 ∴在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D 解答题 8．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）（1）计算： （2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？ 【答案】（1）；（2），z在复平面对应的点位于第一象限. 【分析】（1）根据复数的运算性质解题即可； （2）设，，则，根据化简可得，然后求解即可. 【详解】（1）； （2）设，，则， 由可得，化简得， 所以，所以，，所以， 所以， 在复平面对应的点坐标为，位于第一象限. 9．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知复数，复数，其中i是虚数单位，为实数． (1)若，求的值； (2)若， ①求的值； ②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1），利用模长公式得到； （2）①根据得到方程组，求出的值； ②，根据所在象限得到不等式组，求出 【详解】（1）当时，， 所以， 所以． （2）①若，则， 所以，解得； ②，，所以， 又在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解得，所以． 所以实数的取值范围为． ( 考点 0 4 复数的模 ) 单选题 10．（24-25高一下·武汉新洲·期中）若复数，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解． 【详解】， 则， 故选：C． 11．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）若复数满足，其中为虚数单位.则（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等式进行化简，通过复数的商的运算法则计算求得的表达式，进而可求. 【详解】由，可得， 所以， 则. 故选：C. 12．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）复数z满足，则复数z=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模，复数除法运算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：C 13．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）计算. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和差公式以及倍角公式运算求解； （2）根据复数的除法结合复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）因为， 原式 . （2）原式. ( 考点 0 5 周期 ) 填空题 14．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数，则______． 【答案】 【分析】先求出，，发现具有周期性,周期为3，由周期性求解即可. 【详解】， ， ，故周期为3， ， 故答案为： ( 考点 0 6 最值与轨迹 ) 15．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）若（，i是虚数单位），则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的计算公式及三角函数性质可得解. 【详解】由已知，则， 则， 其中满足， 则， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值为， 故选：C. 16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．复数的虚部为1 C．若，则方程在复数集中的解集为 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【分析】利用复数得四则运算法则可以得到A不正确、B正确，根据复数域上一元二次方程得求解公式，可得C项正确，根据复数得几何意义可得D项圆环的面积. 【详解】对于A，设，则，化简得，不需要，所以A项不对. 对于B，，虚部为1，B项正确. 对于C，，所以，得，所以方程在复数集中的解集为，C项正确. 对于D，根据复数得几何意义可知，复数z对应的点所构成的图形为如图所示得圆环，所以面积为，所以D项正确. 故选：BCD. 17．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．对于复数，若，则 C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D．复数z满足，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为. 【详解】对于A选项，设，则， 为实数，A对； 对于B，若，例如，满足， 但，，即，故B错误； 对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）， 所以为一元二次方程的两根，C对； 对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对． 故选：ACD ( 考点 0 7 欧拉公式 ) 18．（24-25高一下·武汉七校·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．的模长为定值 B．为纯虚数 C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为 【答案】AD 【分析】A选项，，故模长为，A正确；B选项，，B错误；C选项，对应的点坐标为，C错误；D选项，计算出，根据共轭复数的概念得到答案. 【详解】A选项，，故的模长为，A正确； B选项，，为实数，B错误； C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误； D选项，，共轭复数为，D正确. 故选：AD 19．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定公式，结合复数的乘方及除法运算求解. （2）利用欧拉公式求出的坐标，进而求出夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，，， ，因此， 所以． （2），则， 于是，， 所以. ( 考点 0 8 综合运算 ) 多选题 20．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则实数或 D．若复数满足，则 【答案】AD 【分析】A选项，可判断；B选项，举出反例可判断；C选项，得到方程组，求出可判断；D选项，，从而根据模长公式得到方程，化简得可判断. 【详解】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，不妨设，故，但，故B错误； 对于C选项，复数，则， 解得，故C错误； 对于D选项，复数满足，即， 即，化简得，故D正确. 故选：AD. 21．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知复数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由复数的乘法，除法，以及模长的运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，所以， 而，所以，故B正确； 对于C，，所以， 由AB可得，故C正确； 对于D，，，故D正确. 故选：BCD 22．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，设，根据共轭复数的定义得到，计算出；B选项，举出反例得到B错误；C选项，，D选项，计算出，D正确. 【详解】设， A选项，由于互为共轭复数，故， 故，A正确； B选项，不妨设，满足，但且，B错误； C选项，若，则，C正确； D选项，， 故， ， 而， 所以，D正确. 故选：ACD 23．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解. 【详解】若，则或，故A正确； 若， ，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确. 故选：ACD. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 ( 考点 01 复数的实部与虚部 ) 单选题 1．【答案】B 2．【答案】B ( 考点 02 复数的分类 ) 3．【答案】D 4．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的运算得出的表达式，进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案； （2）由（1）得出，然后根据共轭复数的概念得出，进而根据复数的乘法运算计算化简即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为是纯虚数，所以有，解得. （2）由（1）可知，，， 所以， 所以. 5．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列方程组求解； （2）方法一：利用实系数方程的虚根成共轭对的结论，得到方程的两个根，然后利用韦达定理得结果；方法二：直接将方程的根代入方程，利用复数相等的条件得到方程组求解即可. 【详解】（1）由为纯虚数，所以有，解得. （2）方法一  是关于的方程的一个根 是的另一个根， ，，. 方法二  是关于的方程的一个根，. . 即，，. 6．【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用复数的除法，结合复数的概念求出即可； （2）求出及在复平面内对应的点，再列式求得范围. 【详解】（1）由为实数，得，则， 又为实数， 则，解得，因此，所以； （2）由（1）知，，而，则， 复数在复平面内对应的点在第四象限， 于是，即，解得或， 所以的取值范围为． ( 考点 0 3 复数的几何意义 ) 单选题 7．【答案】D 解答题 8．【答案】（1）；（2），z在复平面对应的点位于第一象限. 【分析】（1）根据复数的运算性质解题即可； （2）设，，则，根据化简可得，然后求解即可. 【详解】（1）； （2）设，，则， 由可得，化简得， 所以，所以，，所以， 所以， 在复平面对应的点坐标为，位于第一象限. 9．【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1），利用模长公式得到； （2）①根据得到方程组，求出的值； ②，根据所在象限得到不等式组，求出 【详解】（1）当时，， 所以， 所以． （2）①若，则， 所以，解得； ②，，所以， 又在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解得，所以． 所以实数的取值范围为． ( 考点 0 4 复数的模 ) 单选题 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和差公式以及倍角公式运算求解； （2）根据复数的除法结合复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）因为， 原式 . （2）原式. ( 考点 0 5 周期 ) 填空题 14．【答案】 ( 考点 0 6 最值与轨迹 ) 15．【答案】C 16．【答案】BCD 17．【答案】ACD ( 考点 0 7 欧拉公式 ) 18．【答案】AD 19．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定公式，结合复数的乘方及除法运算求解. （2）利用欧拉公式求出的坐标，进而求出夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，，， ，因此， 所以． （2），则， 于是，， 所以. ( 考点 0 8 综合运算 ) 多选题 20．【答案】AD 21．【答案】BCD 22．【答案】ACD 23．【答案】ACD 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 8大高频考点概览 考点01复数的实部与虚部 考点02复数的分类 考点03复数的几何意义 考点04复数的模 考点05周期 考点06最值与轨迹 考点07欧拉公式 考点08综合运算 ( 考点 01 复数的实部与虚部 ) 单选题 1．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）已知，则的虚部是（   ） A．2 B． C． D． ( 考点 02 复数的分类 ) 3．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）复数（为虚数单位）为纯虚数，则（    ） A．4i B． C． D．4 4．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数． (1)求实数m的值． (2)求的值． 5．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知复数，.（其中为虚数单位，） (1)若为纯虚数，求的值： (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 6．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为． (1)求向量的坐标； (2)若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． ( 考点 0 3 复数的几何意义 ) 单选题 7．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）设，，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解答题 8．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）（1）计算： （2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？ 9．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知复数，复数，其中i是虚数单位，为实数． (1)若，求的值； (2)若， ①求的值； ②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． ( 考点 0 4 复数的模 ) 单选题 10．（24-25高一下·武汉新洲·期中）若复数，则（   ） A． B．2 C． D．10 11．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）若复数满足，其中为虚数单位.则（    ） A．10 B．5 C． D． 12．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）复数z满足，则复数z=（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）计算. (1)； (2) ( 考点 0 5 周期 ) 填空题 14．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知复数，则______． ( 考点 0 6 最值与轨迹 ) 15．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）若（，i是虚数单位），则的最大值是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．复数的虚部为1 C．若，则方程在复数集中的解集为 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形的面积为 17．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．对于复数，若，则 C．若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D．复数z满足，则的最大值为 ( 考点 0 7 欧拉公式 ) 18．（24-25高一下·武汉七校·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．的模长为定值 B．为纯虚数 C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为 19．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． ( 考点 0 8 综合运算 ) 多选题 20．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则实数或 D．若复数满足，则 21．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知复数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C．若，则 D． 23．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $