专题03 解三角形综合（8大考点51题）（期中真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

专题03 解三角形综合 ( 考点 01 正弦 定理解 三角形 ) 单选题 1．【答案】D 2．【答案】B 解答题 3．【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以； （2）因为为边上的中线， 所以，两边同时平方得， 因为，， 所以，得， 所以，解得或（舍去）， 所以的面积， 由余弦定理得，所以 设BC边上的高为，因为的面积， 所以，得. 4．【答案】(1)(2) 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 即， ， ， 因为，因此， 所以得， 即， 得或， 又因为，所以． （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 因此，， 所以． 因此，面积的取值范围是． ( 考点 02 判断三角形解的个数 ) 单选题 5．【答案】B 多选题 6．【答案】BC 填空题 7．【答案】 ( 考点 0 3 余弦 定理解 三角形 ) 单选题 8．【答案】C 9．【答案】A 填空题 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】 解答题 13． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以 14． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； （2）因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以. 15． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，化简得， 所以由正弦定理得：， 所以由余弦定理可得， 因为，所以． （2）由，，又，解得， 因为，所以 , 在中，由正弦定理得， 所以． ( 考点 0 4 判断三角形的形状 ) 单选题 16．【答案】D 17．【答案】B 多选题 18．【答案】ABD 19．【答案】BCD 20．【答案】BCD ( 考点 0 5 三角形的面积及其范围 ) 单选题 21．【答案】A 解答题 22．【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，得 ， 即， 由正弦定理可得，， 所以， 故， 故， 因为， 所以，因为，所以； （2）设， 则等腰三角形的面积可表示为， 在中，由余弦定理得， 由（1）结合知为等边三角形， 得， 故四边形的面积， 因为，所以当即时，取最大值1， S取最大值为． 23．【答案】(1)，，(2)(3) 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即函数的解析式为 所以对称中心的横坐标满足，，解得，， 所以函数的对称中心， （2）因为， 所以 即 所以，即 又由得， 所以， 又 所以 （3）若，，即， 可得，，所以，解得 由正弦定理可得：，即， 所以 ， 即 而在锐角三角形中，，可得， 所以，即， 所以三角形的面积的取值范围为． 24． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，又，解得， 所以． （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （3）已知，由，得， 由正弦定理，得， ， 由是锐角三角形，有， 得，则， 所以， 即面积的取值范围是． 25． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 则，即， 因为，所以， 则，所以. （2）因为， 则由正弦定理和二倍角公式得， 因为，所以， 因为，所以， 又由（1）知， 则， 又，由正弦定理，， 所以的面积. 26． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，则， 整理可得，即. （2）在中，由正弦定理可得， 设，则， 由（1）可知：，即， 整理可得，解得或（舍去）， 则，的面积. 27． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）化简可得：， ， 整理得：， 所以，即， 因为，所以. 根据正弦定理可得：则， 又因为，所以，解得， 由于是锐角三角形，所以 （2）由余弦定理：， 所以 利用面积公式： ,代入 得： ，结合余弦定理 ,得： ，即 ,此时三角形为等边三角形, , 故： 28． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，是的中点，则， 因为，所以， 则. 所以，. （2）因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 29． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. （2）由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. （3）由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. ( 考点 0 6 三角形的边长、周长及其范围 ) 30．【答案】C 31．【答案】C 32．【答案】D 33．【答案】ACD 34．【答案】D 35．【答案】B 36． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）由，得， 所以 又，所以，所以， 因为，所以． （2）因为，所以，则， 又，余弦定理，所以， 可得，即， 所以，即的周长为20． 37． 【答案】(1)，解集为； (2). 【详解】（1）由题设，则， 令，， 所以，，故解集为； （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为. 38． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设，，在中，，， 由余弦定理，得到 又， 所以， 得到，又，所以，则，所以， 则. （2）①由，则，又， 所以，即，又由余弦定理， 得到，所以，得以， ∴，又 ∴，又，， ∴或，即或（舍去），故， 即. ②不妨设，则， 由正弦定理知，所以， 又，∴， ∴ 又，∴原式， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为，此时. 39． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，得， 知，又，所以. （2）设，因为，，则， 法一：. 又，，则，，. 所以. 法二： . 因为，所以，所以. 所以. （3）法一：在中，由正弦定理， 得，同理. 所以四边形周长为 ，由，，令，. 则，由单调性性质可知在上单调递增， 所以当，有最小值，即时取得等号. 所以四边形周长的最小值为. 法二：由柯西不等式，当且仅当时等号成立. 而. 所以，当且仅当时取等号. 所以四边形周长的最小值为. ( 考点 0 7 解三角形的实际应用 ) 单选题 40．【答案】C 41．【答案】B 42．【答案】C 解答题 43． 【答案】(1)260米 (2)观赏步道，应均设计为长度是米 【详解】（1）依题意知， 解得，所以， 当时， 当时， 故最长需要修建260米的隔离防护栏； （2）， 当且仅当时取到等号，此时， 设（）， 在中，， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号 所以周长的最大值为，此时， 故观赏步道，应均设计为长度是米． 44． 【答案】(1)2千米 (2)平方千米 【详解】（1） 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. （2） 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 45． 【答案】(1)． (2) (3) 【详解】（1）连接AC，由题意可得 ， 则．① 由余弦定理可得， 则．② 由①②可得，从而． （2）故四边形ABCD的面积为 ． （3）由余弦定理可得． 由（1）可得， 由余弦定理可得，则， 当且仅当时取等号， 从而△AEC的面积． 由（1）可知△ACD的面积为 ， 则儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积为． ( 考点 0 8 其他综合 ) 单选题 46．【答案】B 47．【答案】C 填空题 48．【答案】8 49．【答案】/ 解答题 50． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）或. 【详解】（1） ， 即证：； （2）（Ⅰ）因为，所以， 由正弦定理得， 由（1）得， 在中，知，且， 所以， 解得或. 若，在中，得； 若，在中，此式不成立， 所以，得，即， 由正弦定理，得，又，所以， 因为为非钝角三角形，，得， 由，，得， 所以，得，所以. （Ⅱ）依题意的最小值为，，∴ 在坐标系中大致作图如下；    因为在有且只有一个零点， 则有，，所以 又由图可知，函数的零点依次为，，，……， ①当唯一的零点是时，，解得； ②当唯一的零点是时，，解得； ③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去. 故的取值范围是或. 51． 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）∵，∴，∵，， ∴， ∴，∴，即，又， 由勾股定理得，则． 在中，设，则， 由正弦定理可得， 所以，化简可得． 综上，，． （2） ，所以． 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得：， 由上面可得， 所以， 先求， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以 再求． 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由（2）可知，所以； 所以 ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形综合 8大高频考点概览 考点01正弦定理解三角形 考点02判断三角形解的个数 考点03余弦定理解三角形 考点04判断三角形的形状 考点05三角形的面积及其范围 考点06三角形的边长、周长及其范围 考点07解三角形的实际应用 考点08其他综合 ( 考点 01 正弦定理解三角形 ) 单选题 1．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先由正弦定理求出或，两种情况分别用正弦定理求即可. 【详解】由正弦定理，得， 因为，，所以，所以或. ①当时，.此时 ； ②当时，.此时 . 所以或. 故选：D 2．（24-25高一上·湖北·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理可得，进而可得角C. 【详解】在△ABC中，，，， 由正弦定理得， 且，则，可得， 所以． 故选：B． 解答题 3．（25-26高一·湖北宜昌部分省级示范高中·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式化简结合两角和正弦公式计算求解； （2）由题意可得，两边平方化简可求出，从而可求出的面积，再利用三角形面积公式可求出BC边上的高. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以； （2）因为为边上的中线， 所以，两边同时平方得， 因为，， 所以，得， 所以，解得或（舍去）， 所以的面积， 由余弦定理得，所以 设BC边上的高为，因为的面积， 所以，得. 4．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理化简再应用辅助角公式化简求出三角函数值进而求出角； （2）先由正弦定理化简面积结合三角恒等变换，最后应用三角函数的值域可得范围. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 即， ， ， 因为，因此， 所以得， 即， 得或， 又因为，所以． （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 因此，， 所以． 因此，面积的取值范围是． ( 考点 02 判断三角形解的个数 ) 单选题 5．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意有，利用正弦定理有，即可求解. 【详解】由正弦定理有， 又， 所以， 故选：B. 多选题 6．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，，且有且仅有一个解，则 【答案】BC 【分析】根据余弦定理求出为锐角；边化角化简可得；根据正弦定理，求解即可判断C、D. 【详解】对于A项，由已知结合余弦定理可得，则为锐角.不能说明为锐角三角形.故A错误； 对于B项，由结合正弦定理边化角可得，. 又， 所以，. 所以，为等腰三角形.故B正确； 对于C项，由正弦定理可得. 又，所以，有两解. 即符合条件的有两个.故C正确； 对于D项，若，则有，此时有且仅有一个解； 若，由正弦定理可得. 当，即时，为直角，此时有且仅有一个解. 综上所述，当或时，有且仅有一个解.故D错误. 故选：BC. 填空题 7．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______； 【答案】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】满足三角形有两个的条件为，又因为，， 所以，所以. 故答案为：. ( 考点 0 3 余弦定理解三角形 ) 单选题 8．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题目中的等式转化为关于边长的方程，结合余弦定理建立方程组，最终求解角A的值. 【详解】设， 则： 由 ，消去得： 由 ，消去得： 将余弦定理 ， 代入方程(1)和(2)，化简得： (3) (4) 联立得： 代入(3)得： 由余弦定理： ， 因为 所以 . 故选：C 9．（24-25高一下·湖北松滋贺炳炎中学·期中）中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 所以. 故选：A 填空题 10．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）在中，，，则角为____________. 【答案】 【分析】由正弦定理得，从而，由余弦定理得，所以. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 故答案为：. 11．（24-25高一上·湖北·期中）在中，角的对边分别为，则___________． 【答案】 【分析】由余弦定理及数量积的定义即可求解. 【详解】由余弦定理可得：， ∴， 所以2． 故答案为： 12．（25-26高一·湖北宜昌部分省级示范高中·期中）记的内角、、所对的边分别为、、，已知，，点在边上，若，，则的值为________. 【答案】 【分析】由题意可得，结合平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质、余弦定理以及已知条件可求出的值. 【详解】如下图所示：    由题意可知，则，所以，， 所以，， 即①， 由余弦定理可得②， 又因为，联立①②可得，代入②可得. 故答案为：. 解答题 13．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且. (1)求. (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理得到，结合，求出答案； （2）先由正弦定理得到，再结合余弦定理得到，由三角形面积公式得到答案. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以 14．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，结合余弦定理化简得，再根据三角形面积计算公式计算即可； （2）根据及，化简计算即可. 【详解】（1）由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； （2）因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以. 15．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为， (1)求B； (2)若，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边，再由余弦定理即可求解； （2）利用同角三角函数的基本关系求出，由两角和的正弦公式求得，最后利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，化简得， 所以由正弦定理得：， 所以由余弦定理可得， 因为，所以． （2）由，，又，解得， 因为，所以 , 在中，由正弦定理得， 所以． ( 考点 0 4 判断三角形的形状 ) 单选题 16．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 17．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 多选题 18．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）设的内角的对边分别为，下列能判断为钝角三角形的有（    ） A． B． C． D．， 【答案】ABD 【分析】对于A，利用诱导公式结合余弦函数的单调性分析判断，对于B，由题意可求得，然后结合余弦定理分析判断，对于C，由题意得，然后画图分析判断，对于D，将已知等式结合余弦定理和正弦定理化简得，然后利用三角函数恒等变换公式化简，结合分析判断即可. 【详解】A选项，因为，所以，所以由，得， 所以，由，得， 若为钝角，则，由，得， 因为在上单调递减，所以，得，符合题意，则为钝角三角形， 若为锐角，则，因为在上单调递减，， 所以，得，因为，所以，所以为钝角三角形， 综上，为钝角三角形，所以A正确， B选项，由，设，得， 所以，所以角为钝角，所以B正确． C选项，，如图所示， 当时，以C为圆心，a为半径作圆，与射线AB交于B1和B2点，分别对应B为钝角和锐角． 所以为钝角或锐角三角形，所以C错误． D选项，由题意可得，故， 所以，所以由正弦定理得， 所以， 所以，，因为，所以， 所以，所以为钝角，所以D正确． 故选：ABD． 19．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）下列结论正确的是（   ） A．中，若，则为锐角三角形 B．锐角三角形中， C．中，若，则 D．中，若，则为锐角三角形 【答案】BCD 【分析】根据边角关系，结合正弦定理以及三角恒等变换，逐项判断即可. 【详解】对于A，，又 所以，化简得，所以、中有一个为钝角，所以错误； 对于B，因为为锐角三角形，所以，即， 且，，所以，即，所以正确； 对于C，由正弦定理，又，所以，所以C正确； 对于D，又可得，易得，均为锐角，所以， 化简得，即，所以也为锐角，所以D正确. 故选：BCD 20．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则为直角三角形 B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】BCD 【分析】对A，由已知确定的角平分线与垂直，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得解；对B，根据可得O为的重心，结合判断；对C，由正弦定理角化边得，利用余弦定理可判断，得解；对D，由两角和的正切公式结合条件可得，进而判断得解. 【详解】对于A，因为分别为单位向量， 所以的角平分线与垂直，所以． 又因为，即，因为，所以， 故，所以为等边三角形，故A错误； 对于B，因为，所以O为的重心， 由知O为的外心，故为等边三角形，故B正确； 对于C，由，可得，由正弦定理可得， 所以，因为，所以，则为钝角三角形，故C正确； 对于D，由， 所以，而，故都为锐角，故D正确. 故选：BCD. ( 考点 0 5 三角形的面积及其范围 ) 单选题 21．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）在平行四边形中，，直线与直线所成的夹角为，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据图形，由三角形的面积公式结合向量数量积的运算律和定义式计算即可. 【详解】设与相交于点，由题意可得 由平行四边形的面积等于， 因为， 所以， 又 所以， 由得，则， 所以四边形的面积为. 故选：A 解答题 22．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）已知的角所对边分别． ． (1)求； (2)如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦的二倍角公式、正弦定理得，再利用三角形内角和为可得答案； （2）设，则，由余弦定理求出，利用，可得四边形的面积，再由两角差的正弦公式结合的范围可得答案． 【详解】（1）由，得 ， 即， 由正弦定理可得，， 所以， 故， 故， 因为， 所以，因为，所以； （2）设， 则等腰三角形的面积可表示为， 在中，由余弦定理得， 由（1）结合知为等边三角形， 得， 故四边形的面积， 因为，所以当即时，取最大值1， S取最大值为． 23．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）先根据数量积坐标运算公式，再应用三角恒等变换化简，结合正弦函数对称中心计算求解； （2）根据二倍角公式计算化简结合弦切转化计算求解； （3）先求出，再应用正弦定理结合三角函数值域求解周长范围. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即函数的解析式为 所以对称中心的横坐标满足，，解得，， 所以函数的对称中心， （2）因为， 所以 即 所以，即 又由得， 所以， 又 所以 （3）若，，即， 可得，，所以，解得 由正弦定理可得：，即， 所以 ， 即 而在锐角三角形中，，可得， 所以，即， 所以三角形的面积的取值范围为． 24．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用三角形面积公式表示出，结合的取值范围求解. 【详解】（1）， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，又，解得， 所以． （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （3）已知，由，得， 由正弦定理，得， ， 由是锐角三角形，有， 得，则， 所以， 即面积的取值范围是． 25．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）记的内角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式得出，再结合角的范围即可求得角； （2）由已知利用正弦定理和二倍角公式可求得，求出，再由正弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）因为， 则，即， 因为，所以， 则，所以. （2）因为， 则由正弦定理和二倍角公式得， 因为，所以， 因为，所以， 又由（1）知， 则， 又，由正弦定理，， 所以的面积. 26．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，线段与交于的中点，已知，，且.    (1)求线段的长； (2)若，求线段的长及的面积 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）在、中，利用余弦定理结合运算求解即可； （2）利用正弦定理可得，设，利用余弦定理和面积公式运算求解. 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，则， 整理可得，即. （2）在中，由正弦定理可得， 设，则， 由（1）可知：，即， 整理可得，解得或（舍去）， 则，的面积. 27．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． (1)求角B的大小． (2)求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等式将条件方程化简，结合锐角三角形的性质确定角B的大小； （2）通过余弦定理和三角形面积公式建立边角关系化简可得，进而可得出结果. 【详解】（1）化简可得：， ， 整理得：， 所以，即， 因为，所以. 根据正弦定理可得：则， 又因为，所以，解得， 由于是锐角三角形，所以 （2）由余弦定理：， 所以 利用面积公式： ,代入 得： ，结合余弦定理 ,得： ，即 ,此时三角形为等边三角形, , 故： 28．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； (1)若，试用向量，表示，； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果； （2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意，是的中点，则， 因为，所以， 则. 所以，. （2）因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 29．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求边长的最大值； (3)若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解； （2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解； （3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. （2）由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. （3）由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. ( 考点 0 6 三角形的边长、周长及其范围 ) 30．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得，由可得为角的平分线，再利用等面积法可得，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则，即， 所以， 又，所以， 因为，即，故为角的平分线，且， 由，则， 故，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故选：C．    31．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）在中，，角，则的外接圆半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由，得， 设外接圆的半径为， 由正弦定理，得， 所以. 故选：C 32．（24-25高一下·武汉七校·期中）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可． 【详解】由题意得，， 即， 所以，得， 得， 当且仅当，即时，的最小值为. 故选：D． 33．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）（多选）已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，则边上高的最大值为 B．若，则周长的最小值为 C．若的角平分线长为，且，则 D．若是锐角三角形，且，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据题中条件，得.对于A，利用余弦定理和及基本不等式，得到，再由三角形面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理和基本不等式结合，计算周长最值；对于C，利用分割计算三角形面积，得，结合条件可得，，再利用余弦定理计算得出边长；对于D，利用正弦定理、三角形内角和和辅助角公式，结合角的范围计算得出结果. 【详解】由，可得， 又，得到, 又，所以，即，又，所以； 对于选项A，时，由余弦定理得， 所以，所以边上的高，故选项A正确， 对于选项B，因为，则， 所以，得到， 所以，则周长，周长的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C，由，得， 又，所以， 又，得到，则， 又， 所以，所以选项C正确； 对于选项D，由正弦定理知， ， 又是锐角三角形，所以，得到， 所以，则，所以，故选项D正确， 故选：ACD. 34．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可. 【详解】， , ， ，， ， ， 即， ， 当且仅当时等号成立， ，即的最大值是. 故选：D 35．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，再利用余弦定理及基本不等式求出范围. 【详解】由，得， 在，由余弦定理得：， 即，则， 即，当且仅当时等号成立，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：B 36．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据诱导公式及两角和与差的正弦公式即可求解； （2）根据平面向量数量积的定义求得，再根据余弦定理得出，即可求解周长． 【详解】（1）由，得， 所以 又，所以，所以， 因为，所以． （2）因为，所以，则， 又，余弦定理，所以， 可得，即， 所以，即的周长为20． 37．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)，解集为； (2). 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的单调性及周期性求不等式解集； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【详解】（1）由题设，则， 令，， 所以，，故解集为； （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为. 38．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． (1)若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求； (2)在中，记的对边分别为，的面积为，满足 ①求证：； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设，，根据条件得到，结合条件，即可求解； （2）①根据条件，利用三角形面积及余弦定理得到，利用正弦定理边转角，得到，即可求解；②设，利用①及正弦定得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设，，在中，，， 由余弦定理，得到 又， 所以， 得到，又，所以，则，所以， 则. （2）①由，则，又， 所以，即，又由余弦定理， 得到，所以，得以， ∴，又 ∴，又，， ∴或，即或（舍去），故， 即. ②不妨设，则， 由正弦定理知，所以， 又，∴， ∴ 又，∴原式， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为，此时. 39．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）如图，四边形ABCD中，，，，，，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)求四边形周长的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用两角和的正切公式求解即可. （2）法一：先求得，进一步化切为弦，根据两角和差的正余弦公式得，根据余弦函数性质求解范围即可； 法二：先求得，进一步化切为弦，根据两角和差的正余弦公式及二倍角公式化简得，根据正弦函数性质求解范围即可. （3）法一：由正弦定理化边为角得，然后利用两角和差的余弦公式得，令，则，最后根据函数单调性求解最值； 法二：由柯西不等式，根据两角和差的正余弦公式化简得，根据正弦函数性质得，即可得解. 【详解】（1）由，得， 知，又，所以. （2）设，因为，，则， 法一：. 又，，则，，. 所以. 法二： . 因为，所以，所以. 所以. （3）法一：在中，由正弦定理， 得，同理. 所以四边形周长为 ，由，，令，. 则，由单调性性质可知在上单调递增， 所以当，有最小值，即时取得等号. 所以四边形周长的最小值为. 法二：由柯西不等式，当且仅当时等号成立. 而. 所以，当且仅当时取等号. 所以四边形周长的最小值为. ( 考点 0 7 解三角形的实际应用 ) 单选题 40．（24-25高一下·武汉新洲·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果. 【详解】由题意得，， 在中，，，则， 在中，， 则， 由正弦定理得，，得， 在中，，则， 所以. 故选：C 41．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（    ）    A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h 【答案】B 【分析】由余弦定理与三角函数的恒等式，利用正弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得，在中，，，， 由余弦定理，则， 即，， 在中，易知，则，， ， 由正弦定理，则，即， 由，则. 故选：B. 42．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作出示意图，在中，得，可由三角函数求的长，进而得到答案. 【详解】由题意知，在中，，， ， 所以为直角三角形，又， ，故（小时）， 故选：C. 解答题 43．（24-25高一下·武汉新洲·期中）如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 【答案】(1)260米 (2)观赏步道，应均设计为长度是米 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，所以，利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式，利用三角函数性质即可求解． 【详解】（1）依题意知， 解得，所以， 当时， 当时， 故最长需要修建260米的隔离防护栏； （2）， 当且仅当时取到等号，此时， 设（）， 在中，， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号 所以周长的最大值为，此时， 故观赏步道，应均设计为长度是米． 44．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 【答案】(1)2千米 (2)平方千米 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果. （2）利用三角恒等变换表示出面积和之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的最大值. 【详解】（1） 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. （2） 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 45．（25-26高一下·荆州成丰学校·期中）某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形ABCD为儿童娱乐设施建筑用地，． (1)求和 (2)求儿童娱乐设施建筑用地的面积 (3)若A，C，D不动，在圆弧 上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积最大，并求出最大值． 【答案】(1)． (2) (3) 【分析】（1）由题意可得 ，则，由余弦定理可得答案； （2）四边形面积为，由三角形面积公式及（1）可得答案； （3）由（1）结合余弦定理可得，然后由重要不等式可得 ，据此可得答案. 【详解】（1）连接AC，由题意可得 ， 则．① 由余弦定理可得， 则．② 由①②可得，从而． （2）故四边形ABCD的面积为 ． （3）由余弦定理可得． 由（1）可得， 由余弦定理可得，则， 当且仅当时取等号， 从而△AEC的面积． 由（1）可知△ACD的面积为 ， 则儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积为． ( 考点 0 8 其他综合 ) 单选题 46．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由三角恒等变换可得，据此判断费马点的位置，由余弦定理及条件求出，再由等面积法求出，利用费马点转化为向量数量积即可得解. 【详解】，由正弦定理得， ，， 则有， 即， ，，有，得， 因为，所以，所以，所以. 由三角形内角和性质知：内角均小于， 结合题设易知：P点一定在三角形的内部， 再由余弦定理知，， 又因为，所以， 所以 ， 所以. 由，等号左右两边同时乘以可得： ， . 故选：B. 47．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 由，解得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 填空题 48．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______． 【答案】8 【分析】由正弦定理可得，再由三角恒等变换计算可得，利用换元法以及基本不等式计算可得当时取得最小值为8. 【详解】根据正弦定理由，可得， 所以， 即可得， 又因为，可得， 因此， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即， 令，可知， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题目条件并结合三角恒等变换得出，并求得，由锐角三角形以及基本不等式计算即可. 49．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知在等腰中，在直线上，且，令，则__________． 【答案】/ 【分析】根据题意，用表示各角，在两个三角形中利用正弦定理分别求出，构建等式求值即可. 【详解】 如图，在直线上，且，所以, 因为，，所以, 又因为是等腰三角形，所以，， 则, . 在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 所以，因为，解得， 所以，. 故答案为：. 解答题 50．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. (1)证明：； (2)若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）或. 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算即可证明； （2）（I）根据正弦定理，由（1），利用三角恒等变换的化简计算可得，结合即可求解；（II）易知，则，作出图形，得函数的零点依次为，，，……，分别代入建立不等式，解之即可. 【详解】（1） ， 即证：； （2）（Ⅰ）因为，所以， 由正弦定理得， 由（1）得， 在中，知，且， 所以， 解得或. 若，在中，得； 若，在中，此式不成立， 所以，得，即， 由正弦定理，得，又，所以， 因为为非钝角三角形，，得， 由，，得， 所以，得，所以. （Ⅱ）依题意的最小值为，，∴ 在坐标系中大致作图如下；    因为在有且只有一个零点， 则有，，所以 又由图可知，函数的零点依次为，，，……， ①当唯一的零点是时，，解得； ②当唯一的零点是时，，解得； ③当唯一的零点不小于时，，解得，与相矛盾，故舍去. 故的取值范围是或. 51．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据题意可得，则，即，又，可得，，再在中，利用正弦定理求解； （2）先根据，得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，，进一步化简即可. 【详解】（1）∵，∴，∵，， ∴， ∴，∴，即，又， 由勾股定理得，则． 在中，设，则， 由正弦定理可得， 所以，化简可得． 综上，，． （2） ，所以． 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得：， 由上面可得， 所以， 先求， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以 再求． 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由（2）可知，所以； 所以 ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形综合 8大高频考点概览 考点01正弦定理解三角形 考点02判断三角形解的个数 考点03余弦定理解三角形 考点04判断三角形的形状 考点05三角形的面积及其范围 考点06三角形的边长、周长及其范围 考点07解三角形的实际应用 考点08其他综合 ( 考点 01 正弦 定理解 三角形 ) 单选题 1．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一上·湖北·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（   ） A． B． C． D．或 解答题 3．（25-26高一·湖北宜昌部分省级示范高中·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高. 4．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． ( 考点 02 判断三角形解的个数 ) 单选题 5．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 多选题 6．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，，且有且仅有一个解，则 填空题 7．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______； ( 考点 0 3 余弦 定理解 三角形 ) 单选题 8．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·湖北松滋贺炳炎中学·期中）中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 填空题 10．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）在中，，，则角为____________. 11．（24-25高一上·湖北·期中）在中，角的对边分别为，则___________． 12．（25-26高一·湖北宜昌部分省级示范高中·期中）记的内角、、所对的边分别为、、，已知，，点在边上，若，，则的值为________. 解答题 13．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且. (1)求. (2)若，，求的面积. 14．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 15．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为， (1)求B； (2)若，求c． ( 考点 0 4 判断三角形的形状 ) 单选题 16．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 17．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 多选题 18．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）设的内角的对边分别为，下列能判断为钝角三角形的有（    ） A． B． C． D．， 19．（24-25高一下·十堰六县市一中·期中）下列结论正确的是（   ） A．中，若，则为锐角三角形 B．锐角三角形中， C．中，若，则 D．中，若，则为锐角三角形 20．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则为直角三角形 B．若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为锐角三角形 ( 考点 0 5 三角形的面积及其范围 ) 单选题 21．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）在平行四边形中，，直线与直线所成的夹角为，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C．1 D．3 解答题 22．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）已知的角所对边分别． ． (1)求； (2)如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 23．（24-25高一下·武汉新洲·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 24．（24-25高一下·荆州成丰学校·期中）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围． 25．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）记的内角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求的面积． 26．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）如图所示，线段与交于的中点，已知，，且.    (1)求线段的长； (2)若，求线段的长及的面积 27．（24-25高一下·荆襄&宜·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． (1)求角B的大小． (2)求的取值． 28．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； (1)若，试用向量，表示，； (2)若，求的面积. 29．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求边长的最大值； (3)若的面积为，且，求面积的取值范围. ( 考点 0 6 三角形的边长、周长及其范围 ) 30．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一下·湖北部分高中&联考协作体·期中）在中，，角，则的外接圆半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·武汉七校·期中）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 33．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）（多选）已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，则边上高的最大值为 B．若，则周长的最小值为 C．若的角平分线长为，且，则 D．若是锐角三角形，且，则的取值范围是 34．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 35．（24-25高一下·湖北汉川一中·期中）在中，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若，，求的周长． 37．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 38．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． (1)若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求； (2)在中，记的对边分别为，的面积为，满足 ①求证：； ②求的最小值． 39．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）如图，四边形ABCD中，，，，，，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)求四边形周长的最小值. ( 考点 0 7 解三角形的实际应用 ) 单选题 40．（24-25高一下·武汉新洲·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 41．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（    ）    A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h 42．（24-25高一下·宜城一中&枣阳一中·期中）一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 解答题 43．（24-25高一下·武汉新洲·期中）如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 44．（24-25高一下·湖北恩施高中教育联盟·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 45．（25-26高一下·荆州成丰学校·期中）某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形ABCD为儿童娱乐设施建筑用地，． (1)求和 (2)求儿童娱乐设施建筑用地的面积 (3)若A，C，D不动，在圆弧 上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积最大，并求出最大值． ( 考点 0 8 其他综合 ) 单选题 46．（24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中）法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 47．（24-25高一下·武汉部分重点学校·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 填空题 48．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______． 49．（24-25高一下·鄂东南联盟·期中）已知在等腰中，在直线上，且，令，则__________． 解答题 50．（24-25高一下·湖北部分高中·期中）在非钝角中，角，，所对的边分别为，，. (1)证明：； (2)若，. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）当取得最小值时，（），若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 51．（24-25高一下·武汉华师一附中·期中）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $