专题01 三角函数（概念、图象性质、恒等变换、伸缩平移、应用）（6大考点59题）（期中真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

专题01 三角函数（概念、图象性质、恒等变换、伸缩平移、应用） ( 地 城 考点01 任意角和弧度制 ) 1．【答案】 2．【答案】 ( 地 城 考点02 任意角的三角函数及诱导公式 ) 3．【答案】BD 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】 ( 地 城 考点0 3 三角恒等变换 ) 单选题 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】A 12．【答案】C 13．【答案】A 14．【答案】A 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】A 多选题 18．【答案】AC 填空题 19．【答案】（答案符合即可） 20．【答案】 解答题 21．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和差公式以及倍角公式运算求解； （2）根据复数的除法结合复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）因为， 原式 . （2）原式. 22． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，利用两角差的正弦公式结合平方关系展开即可求解； （2）由得，利用二倍角公式即可求解. 【详解】（1）， ， 则， . （2）， 即又， 即. ( 地 城 考点0 4 三角函数的图象与性质 ) 单选题 23．【答案】B 24．【答案】B 25．【答案】D 26．【答案】C 27【答案】C 28．【答案】B 29．【答案】A 30．【答案】D 31．【答案】D 32．【答案】B 33．【答案】B 多选题 34．【答案】ABD 35．【答案】BC 36．【答案】ACD 37．【答案】AC 填空题 38．【答案】或， 39．【答案】 （）或（） 解答题 40． 【答案】(1)，（）. (2). 【分析】（1）根据表格数据可求解析式，整体代入可得减区间； （2）分离参数求解最值可得答案或者利用数形结合法可得答案. 【详解】（1）由题意知，， 令， 解得，， 即的单调递减区间为（）. （2）解法一：在区间恒成立，即在区间恒成立， 所以. 由于，则，所以. 即恒成立，所以，所以的取值范围为. 解法二：在区间恒成立，即在区间恒成立， 所以, 通过题干五点法作图以及函数以为周期，作部分简图如下：    由图可知：，即的取值范围为. 41． 【答案】(1)对称中心为，减区间为 (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示求得，利用整体法可求得对称中心与单调减区间； （2）由已知结合同角正余弦定理可求得，进而利用可求值. 【详解】（1）. 由，得对称中心为. 由，解得， 所以.函数的对称中心为，单调减区间为 （2）由，得， 又，所以，所以. . 42．． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由二倍角的正余弦公式化简函数表达式，再结合正弦函数图象的性质求解出即可； （2）由特殊角的正弦值求出，再由三角函数的定义求出的正余弦，然后结合余弦展开式计算即可. 【详解】（1）， 由图象可得， 又最高点，最低点， 联立解得， 所以函数的解析式为. （2） 因为，解得， 由角的终边与单位圆交于点，可得， 所以. 43【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式； （2）由，可求得单调区间，即可对取值求解. （3）根据函数图象的平移和伸缩变换的性质即可求解. 【详解】（1）依题意，得 由于，∴，∴ ∴，把代入上式，得 又，∴，∴ ∴ （2）令，由得： 解得（）， 当时， 取，则， ，则，当，则， ∴在的单调递增区间为，， （3）将的图象向右平移个单位可得的图象，进而将的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，此时可得的图象. 44． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量垂直的坐标运算可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得函数的解析式，再由正弦型函数的值域即可得到结果. 【详解】（1）由可得，即， 则. （2）， 由可得， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， 所以的值域为. 45． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）先根据数量积坐标运算公式，再应用三角恒等变换化简，结合正弦函数对称中心计算求解； （2）根据二倍角公式计算化简结合弦切转化计算求解； （3）先求出，再应用正弦定理结合三角函数值域求解周长范围. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即函数的解析式为 所以对称中心的横坐标满足，，解得，， 所以函数的对称中心， （2）因为， 所以 即 所以，即 又由得， 所以， 又 所以 （3）若，，即， 可得，，所以，解得 由正弦定理可得：，即， 所以 ， 即 而在锐角三角形中，，可得， 所以，即， 所以三角形的面积的取值范围为． 46．【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数对称性和周期性求出系数，从而得到函数解析式，整体代入求单调区间即可； （2）数形结合分析，将问题转化成一元二次方程在区间上只有一个实数根，构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为 由图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得函数的最小正周期为， 由，得，所以， 令，解得， 所以函数在区间上的单调递减区间为. （2）因为，则， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减，的函数值从0递增到1，又从1递减回0，如图所示，    令则， 依题意得方程在上仅有一个实根，且此根应该在区间上， 令，因为 则需或，解得或 所以实数m的取值范围是或． 47．【答案】(1) (2)答案见解析 (3)的取值范围是， 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可得出函数的增区间； （2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的最大值、最小值及其对应的值； （3）分析函数在上的单调性，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，利用正弦型函数的对称性可求得的值，即可得出的值. 【详解】（1）因为，， 所以，，， ， 因为函数的最小正周期为，则，可得，故. 由可得， 因此，函数的单调递增区间为. （2）令，由可得，即， 故当时，即当时，取得最大值， 当时，即当时，取得最小值. （3）函数所在上有两个不同的零点、， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得， 故实数的取值范围是， 由可得，所以，直线为函数图象的一条对称轴， 因为，所以点、关于直线对称， 所以，因此. 48．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用三角形面积公式表示出，结合的取值范围求解. 【详解】（1）， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，又，解得， 所以． （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （3）已知，由，得， 由正弦定理，得， ， 由是锐角三角形，有， 得，则， 所以， 即面积的取值范围是． 49．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性求解. （2）正弦函数零点的意义，结合给定条件，求出的解析式，再探讨在指定区间内取值情况，换元并借助二次函数零点分布求出范围. 【详解】（1）由，得，则， 而，则，即，由，得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）由，得， 则， 解得， 则，， 即，因此，由，得， 当，每个值均有两个x值与之对应，设，， 方程化为，方程有4个不等实根， 等价于有两个不同的零点，且， 而，则在有两个不同的零点或在有两个不同的零点， 当在有两个不同的零点时，，解得； 当在有两个不同的零点时，，此不等式无解， 所以m的取值范围为． 50．【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； （2）由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. ( 地 城 考点0 5 三角函数的伸缩平移变换 ) 单选题 51．【答案】D 52．【答案】B 填空题 53．【答案】 5 54．【答案】 解答题 55． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解； （2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解． 【详解】（1）， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，则， 所以的单调递减区间为 （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 56． 【答案】(1) (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及二倍角公式、两角和的正弦公式化简； （2）依题意可得，结合角的范围得到，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标. 【详解】（1）因为，，函数， 所以 . （2）依题意， 因为，所以，而， 所以， 所以， 所以 ； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 假设的图象上存在点使得， 因为， 因为， 所以 ， 令， 因为，所以， 当且仅当时取等， 所以存唯一解，此时，点， 综上，符合条件的点坐标为． ( 地 城 考点0 6 三角函数的应用 ) 多选题 57．【答案】CD 解答题 58．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据振幅得到，根据题意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊点函数值求出； （2）由（1）得到，从而得到方程，求出，求出最小值，得到答案. 【详解】（1）由题意，振幅等于半径，即， 逆时针方向每分钟转一圈，，， 由题意， 因为时，，所以，所以， 又； （2）由（1）可得，， 令，则有， 即，， ， 当时，最小，， 盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点. 59．【答案】(1) (2)（i）；（ii）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻” 【分析】（1）设，，，根据最大值、最小值求，根据周期求，根据初始位置求即可； （2）（i）同（1）求出乙的座舱高度与时间函数为，令即可解方程； （ii）结合余弦函数图象解不等式即可. 【详解】（1）设，， 由题意可知，，，则，， 又易知，所以，得， 又当时，，则， 因，则， 所以，化简得. （2）（i）设乙的座舱高度与时间函数为， 同（1）可求得， 因为甲乙离地面高度相等，即， 可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值， 即当时，甲乙首次高度相等. （ii）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求， 化简得， 因，则，故，则， 故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数（概念、图象性质、恒等变换、伸缩平移、应用） 6大高频考点概览 考点01任意角和弧度制 考点02任意角的三角函数及诱导公式 考点03三角恒等变换 考点04三角函数的图象与性质 考点05三角函数的伸缩平移变换 考点06三角函数的应用 ( 考点01 任意角和弧度制 ) 1．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________. 【答案】 【分析】由扇形的弧长及面积公式求解可得答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为， 则由题意可得，解得， 所以扇形的面积， 故答案为：. 2．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． 【答案】 【分析】利用扇形的面积公式可得扇形和扇形的面积，扇面的面积为两个扇形面积的差. 【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为. 故答案为：. ( 考点02 任意角的三角函数及诱导公式 ) 3．(24-25高一下·湖北·期中)（多选）已知，下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】当时即可判断A；利用作商法即可判断B；当趋于0时即可判断C；结合三角函数的定义即可判断D. 【详解】A：当时，，故A错误； B：因为，所以， 则，即，故B正确； C：当趋于0时，趋于0，趋于1，故C错误； D：如图，在单位圆中，为的终边，点， 由图可知，所对的弧长大于点的纵坐标，即，故D正确. 故选：BD 4．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子分母同除，化弦为切代入求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：C． 5．(24-25高一下·湖北·期中)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简运算即可. 【详解】. 故选：A. 6．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 7．(24-25高一下·湖北·期中)在直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点B，则B的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式，即可求出结果． 【详解】角的终边与单位圆交于点，即， 所以将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点 ， 故答案为：． ( 考点03 三角恒等变换 ) 单选题 8．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角正弦公式和同角三角函数的关系化简可得结果. 【详解】. 故选：B. 9．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正切的和差角公式展开，代入计算，即可得到结果. 【详解】由得，整理得：， 即，因为，故． 故选：A 10．(24-25高一下·湖北武汉部分重点学校·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦和余弦的二倍角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以，故，， 又因为， 所以. 故选：A. 11．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角差的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以， 所以， 则 ， 故选：A． 12．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知及同角三角函数的平方关系得出，，再根据两角和的余弦公式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以，， 所以 ， 故选：C． 13．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，都是锐角，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数间的关系求得，利用二倍角的正切公式求得，进而利用两角和的正切公式可求的值. 【详解】因为，是锐角，所以， 所以，从而， 所以. 故选：A. 14．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)若，且为第三象限角，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用和角余弦公式可得，结合已知得，再由和角正切公式求. 【详解】由， 所以，又为第三象限角，所以，故， 所以. 故选：A 15．(24-25高一下·湖北·期中)下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的正切公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项， ，A不满足； 对于B选项，，B不满足； 对于C选项， ，C满足； 对于D选项，，D不满足. 故选：C. 16．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式将所求式化简，结合条件代入计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴， ∴. 故选：C． 17．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)已知，均为第二象限角，，，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用同角三角函数的平方关系和商数关系，分别求出，然后利用两角差的正切公式求值. 【详解】因为，均为第二象限角，所以，，同理可得. . 故选：A. 多选题 18．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)计算下列各式的值，结果为2的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用和角的正切公式计算求值判断A；利用二倍角的正弦公式计算可判断B；运用两角和的正切公式计算判断C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于 ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AD. 填空题 19．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可） 【答案】（答案符合即可） 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出对称中心. 【详解】函数， 由，解得， 所以对称中心为，取，得. 故答案为： 20．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)设当时，函数取得最大值，则________. 【答案】 【分析】根据题意利用辅助角公式可得，结合正弦函数最值分析求解. 【详解】因为， 令，， 则， 当，，即，时，取最大值， 此时，，所以. 故答案为：. 解答题 21．(24-25高一下·湖北·期中)计算. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和差公式以及倍角公式运算求解； （2）根据复数的除法结合复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）因为， 原式 . （2）原式. 22．(24-25高一下·湖北·期中)（1）已知，均为锐角且，，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，利用两角差的正弦公式结合平方关系展开即可求解； （2）由得，利用二倍角公式即可求解. 【详解】（1）， ， 则， . （2）， 即又， 即. ( 考点04 三角函数的图象与性质 ) 单选题 23．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由诱导公式及两角差的正弦公式得出，再根据三角函数的平移伸缩变换得出，由关于轴对称，即可求解. 【详解】， 将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍， 然后再向左平移个单位长度后，得， 又因为的图象关于轴对称，所以， 所以，当时，， 故选：B， 24．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知函数（，）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦型函数图象的周期性和特殊点值分别求出参数即可. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，即， 所以，且，故解得. 又由图象可知，时，，即， 则，即，又因为，所以. 所以. 故选：B. 25．(24-25高一下·湖北·期中)函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的周期公式及奇偶性即可求解． 【详解】设， ，所以为偶函数， 因为的周期为， 所以的周期为， 故选：D． 26．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（   ） A． B．在上有3个零点 C．在上单调递减 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，再求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项判断. 【详解】由为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1， 所以．则函数的周期为4，由，可得； 又，所以，，则，将点C代入，得，则． 而，则，所以. 因为，A错误； 若，则，因为函数，有两个零点，所以在有2个零点，B错误； 若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，C正确； ，的图象关于中心对称，D错误． 故选：C 27．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 【答案】C 【分析】B选项，根据图象得到，代入，得到方程，结合该点位于单调递增区间，求出；A选项，将代入，结合，得到；C选项，整体法求出函数单调递增区间；D选项，时，， 又关于对称，得到方程，解得，代入解析式，求出答案. 【详解】B选项，由图易得：， 又因为图像过点，所以，，得或 又因为该点位于单调递增区间，所以，所以，B对 A选项，因为图像过，即，，， 设函数最小正周期为，则由图得，即，故， 又，所以只有当时，满足要求，A对 C选项，，令， 解得， 故单调递增区间为，，C错 D选项，时，， 又，关于对称， 所以，解得 ，D对 故选：C 28．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增 【答案】B 【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，由题意，，则， 则， 又在上，则，即， 所以，则， 又，所以，所以，即，，故A正确； 对于B，因为， 所以不是图象的对称轴，故B错误； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：B. 29．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)设函数，，，则可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可知为函数的最大值和最小值，再写出自变量的取值，作差变形即可求解． 【详解】因为，且， 所以为函数的最大值和最小值， 不妨设，即， 所以， 又，所以， 所以当时，，即可以是3， 故选：A． 30．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【分析】由图像即可得到函数解析式，从而判断AB，由正弦型函数的单调区间即可判断C，由正弦型函数的零点代入计算，即可判断D. 【详解】由图可知，，且，可得， 又，∴，故A错误； 由五点作图法可知，，解得， 则的最小正周期为，故B错误； 函数解析式为， 当时，，， 在区间上不是单调减的，故C错误； 由，可得，即， 再由，解得， 由，解得， ∴，则在区间上共有8100个零点， 故D正确． 故选：D． 31．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期中)已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦函数性质求得最小正周期为，进而求出，然后利用正弦函数的单调性求解单调区间即可. 【详解】因为直线是函数图像的任意两条对称轴， 且的最小值为， 所以，即（），所以， 所以， 令，得， 所以函数的单调区间为. 故选：D 32．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（   ） A． B． C．[3，5] D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 33．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为 ， 因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为. 所以函数的最小正周期为，可得，即， 由可得， 解得或， 当时，， 由可得，可得，解得， 所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解， 令， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B 多选题 34．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B ，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D． 【详解】对于A，函数的部分图象， 可得，， ，则． 又，所以，， 所以，，又， ，，故A正确； 对于B，由， ， ，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度得到， 则为奇函数，故C错误； 对于D，当则，因为在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故D正确， 故选：ABD． 35．(24-25高一下·湖北·期中)函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（    ）    A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 【答案】BC 【分析】求出点的坐标，可得出函数的最小正周期，可判断A选项；求出、的值，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点， 结合图形可知，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，，且函数在附近单调递增， 故，所以， 又因为，故，所以，， 因为，所以函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，当时，， 所以函数在上单调递增，C对； 对于D选项，函数的图象向右平移后，得到的图象， 则函数为奇函数，D错. 故选：BC. 36．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，在的值域为 C．的取值范围为 D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】由为偶函数，结合列式计算可判断A；将函数化简后结合余弦函数性质计算求解可判断B；由函数在上单调递增，列不等式求解可判断C；根据正弦型函数性质结合，计算可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数， 所以，又，则，故A正确； 对于B，若，， 当时，， 则，故B错误； 对于C， 所以， 由知， 因为在上单调递增，故， 解得，由可得， 由可得，故，又，所以，故C正确； 对于D，，时，， 而，则，， 即，故D正确． 故选：ACD 37．(24-25高一下·湖北·期中)函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，再逐一验证即可求解． 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为为图象的一个对称中心， 所以①， 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 所以可取， 当时，，， 当时，，在单调递减，符合题意； 当时，，， 又，所以没有符合题意的值，故不合题意； 当时，，，取， 当时，，在单调递减，符合题意； 综上所述，符合题意的， 故选：AC． 填空题 38．(24-25高一下·湖北·期中)若函数，对于任意都有成立，则称与为区间上的“m阶依附函数”.若，为的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是________. 【答案】或， 【分析】将问题转化为两个函数的最值问题，即可根据三角函数的性质求解最值得解. 【详解】根据对任意的恒成立， 故对任意的， 故， 时，，故， 时，，故， 故，即，解得或， 故答案为：或， 39．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)直线与曲线和曲线分别相交于点，． （1）若，则的最大值为______； （2）若的最大值为，则的值为______． 【答案】 （）或（） 【分析】应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解；应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解 【详解】当时， 当且仅当（）即（）取等号 （2） 其中的象限由点决定，且 所以 当且仅当（）取等号 依题意，，所以，所以（）或（） 故答案为：；（）或（） 解答题 40．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)用“五点法”作函数（，，）在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 2 0 (1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，（）. (2). 【分析】（1）根据表格数据可求解析式，整体代入可得减区间； （2）分离参数求解最值可得答案或者利用数形结合法可得答案. 【详解】（1）由题意知，， 令， 解得，， 即的单调递减区间为（）. （2）解法一：在区间恒成立，即在区间恒成立， 所以. 由于，则，所以. 即恒成立，所以，所以的取值范围为. 解法二：在区间恒成立，即在区间恒成立， 所以, 通过题干五点法作图以及函数以为周期，作部分简图如下：    由图可知：，即的取值范围为. 41．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，，函数. (1)求函数的对称中心及单调减区间； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)对称中心为，减区间为 (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示求得，利用整体法可求得对称中心与单调减区间； （2）由已知结合同角正余弦定理可求得，进而利用可求值. 【详解】（1）. 由，得对称中心为. 由，解得， 所以.函数的对称中心为，单调减区间为 （2）由，得， 又，所以，所以. . 42．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 (1)求函数的解析式； (2)已知，角的终边与单位圆交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由二倍角的正余弦公式化简函数表达式，再结合正弦函数图象的性质求解出即可； （2）由特殊角的正弦值求出，再由三角函数的定义求出的正余弦，然后结合余弦展开式计算即可. 【详解】（1）， 由图象可得， 又最高点，最低点， 联立解得， 所以函数的解析式为. （2） 因为，解得， 由角的终边与单位圆交于点，可得， 所以. 43．(24-25高一下·湖北·期中)函数，其中，，,图象经过同一个周期上最高点和最低点. (1)求的解析式； (2)求在的单调递增区间； (3)的图象经过怎样的变换可以得到的图象?写出变换过程. 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式； （2）由，可求得单调区间，即可对取值求解. （3）根据函数图象的平移和伸缩变换的性质即可求解. 【详解】（1）依题意，得 由于，∴，∴ ∴，把代入上式，得 又，∴，∴ ∴ （2）令，由得： 解得（）， 当时， 取，则， ，则，当，则， ∴在的单调递增区间为，， （3）将的图象向右平移个单位可得的图象，进而将的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，此时可得的图象. 44．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，. (1)若，求的值； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量垂直的坐标运算可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得函数的解析式，再由正弦型函数的值域即可得到结果. 【详解】（1）由可得，即， 则. （2）， 由可得， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， 所以的值域为. 45．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）先根据数量积坐标运算公式，再应用三角恒等变换化简，结合正弦函数对称中心计算求解； （2）根据二倍角公式计算化简结合弦切转化计算求解； （3）先求出，再应用正弦定理结合三角函数值域求解周长范围. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即函数的解析式为 所以对称中心的横坐标满足，，解得，， 所以函数的对称中心， （2）因为， 所以 即 所以，即 又由得， 所以， 又 所以 （3）若，，即， 可得，，所以，解得 由正弦定理可得：，即， 所以 ， 即 而在锐角三角形中，，可得， 所以，即， 所以三角形的面积的取值范围为． 46．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为， (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数对称性和周期性求出系数，从而得到函数解析式，整体代入求单调区间即可； （2）数形结合分析，将问题转化成一元二次方程在区间上只有一个实数根，构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为 由图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得函数的最小正周期为， 由，得，所以， 令，解得， 所以函数在区间上的单调递减区间为. （2）因为，则， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减，的函数值从0递增到1，又从1递减回0，如图所示，    令则， 依题意得方程在上仅有一个实根，且此根应该在区间上， 令，因为 则需或，解得或 所以实数m的取值范围是或． 47．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，函数，的最小正周期为. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)的取值范围是， 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可得出函数的增区间； （2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的最大值、最小值及其对应的值； （3）分析函数在上的单调性，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，利用正弦型函数的对称性可求得的值，即可得出的值. 【详解】（1）因为，， 所以，，， ， 因为函数的最小正周期为，则，可得，故. 由可得， 因此，函数的单调递增区间为. （2）令，由可得，即， 故当时，即当时，取得最大值， 当时，即当时，取得最小值. （3）函数所在上有两个不同的零点、， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得， 故实数的取值范围是， 由可得，所以，直线为函数图象的一条对称轴， 因为，所以点、关于直线对称， 所以，因此. 48．(24-25高一下·湖北·期中)已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用三角形面积公式表示出，结合的取值范围求解. 【详解】（1）， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，又，解得， 所以． （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （3）已知，由，得， 由正弦定理，得， ， 由是锐角三角形，有， 得，则， 所以， 即面积的取值范围是． 49．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)函数的最小正周期为T，且． (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性求解. （2）正弦函数零点的意义，结合给定条件，求出的解析式，再探讨在指定区间内取值情况，换元并借助二次函数零点分布求出范围. 【详解】（1）由，得，则， 而，则，即，由，得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）由，得， 则， 解得， 则，， 即，因此，由，得， 当，每个值均有两个x值与之对应，设，， 方程化为，方程有4个不等实根， 等价于有两个不同的零点，且， 而，则在有两个不同的零点或在有两个不同的零点， 当在有两个不同的零点时，，解得； 当在有两个不同的零点时，，此不等式无解， 所以m的取值范围为． 50．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； （2）由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. ( 考点05 三角函数的伸缩平移变换 ) 单选题 51．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)要得到的图象，只需将的图象（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【答案】D 【分析】直接按照图象的伸缩平移变换可得正确选项. 【详解】因为， 所以先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再向左平移个单位，得到的图象. 故选：D． 52．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式. 【详解】函数的图象向右平移，得， 再将横坐标伸长为原来的3倍，得， 故选：B 填空题 53．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 5 【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围. 【详解】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 故答案为：5， 54．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先由题目条件得到函数的表达式，再得到由的范围得到的范围，结合角的范围，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变， 再将所得图象向左平移个单位长度后可得， 由，则， 因为，即， 故有或， 解得． 故答案为： 解答题 55．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期中)已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解； （2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解． 【详解】（1）， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，则， 所以的单调递减区间为 （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 56．(24-25高一下·湖北·期中)已知向量，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及二倍角公式、两角和的正弦公式化简； （2）依题意可得，结合角的范围得到，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标. 【详解】（1）因为，，函数， 所以 . （2）依题意， 因为，所以，而， 所以， 所以， 所以 ； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 假设的图象上存在点使得， 因为， 因为， 所以 ， 令， 因为，所以， 当且仅当时取等， 所以存唯一解，此时，点， 综上，符合条件的点坐标为． ( 考点06 三角函数的应用 ) 多选题 57．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【答案】CD 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出和，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确. 【详解】函数中，，所以， 时，，解得，所以， 所以，故A错误； 令时，得，则， 解得，所以的最小值为分钟，即用时秒， 所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误； 由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确； 当点运动2秒时，即时，，故D正确； 故选：CD 解答题 58．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为    (1)求的值； (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据振幅得到，根据题意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊点函数值求出； （2）由（1）得到，从而得到方程，求出，求出最小值，得到答案. 【详解】（1）由题意，振幅等于半径，即， 逆时针方向每分钟转一圈，，， 由题意， 因为时，，所以，所以， 又； （2）由（1）可得，， 令，则有， 即，， ， 当时，最小，， 盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点. 59．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻” 【分析】（1）设，，，根据最大值、最小值求，根据周期求，根据初始位置求即可； （2）（i）同（1）求出乙的座舱高度与时间函数为，令即可解方程； （ii）结合余弦函数图象解不等式即可. 【详解】（1）设，， 由题意可知，，，则，， 又易知，所以，得， 又当时，，则， 因，则， 所以，化简得. （2）（i）设乙的座舱高度与时间函数为， 同（1）可求得， 因为甲乙离地面高度相等，即， 可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值， 即当时，甲乙首次高度相等. （ii）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求， 化简得， 因，则，故，则， 故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数（概念、图象性质、恒等变换、伸缩平移、应用） 6大高频考点概览 考点01任意角和弧度制 考点02任意角的三角函数及诱导公式 考点03三角恒等变换 考点04三角函数的图象与性质 考点05三角函数的伸缩平移变换 考点06三角函数的应用 ( 考点01 任意角和弧度制 ) 1．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________. 2．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． ( 考点02 任意角的三角函数及诱导公式 ) 3．(24-25高一下·湖北·期中)（多选）已知，下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·湖北·期中)（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知，那么（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·湖北·期中)在直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，将的终边沿逆时针方向旋转与单位圆交于点B，则B的坐标为_______． ( 考点03 三角恒等变换 ) 单选题 8．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知，且，则（   ） A． B． C． D．2 10．(24-25高一下·湖北武汉部分重点学校·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，都是锐角，，，则（    ） A．1 B． C． D． 14．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)若，且为第三象限角，则（   ） A．7 B． C． D． 15．(24-25高一下·湖北·期中)下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)已知，均为第二象限角，，，则等于（   ） A． B． C． D．2 多选题 18．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)计算下列各式的值，结果为2的有（   ） A． B． C． D． 填空题 19．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可） 20．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)设当时，函数取得最大值，则________. 解答题 21．(24-25高一下·湖北·期中)计算. (1)； (2) 22．(24-25高一下·湖北·期中)（1）已知，均为锐角且，，求的值； （2）已知，，求的值. ( 考点04 三角函数的图象与性质 ) 单选题 23．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)已知函数（，）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高一下·湖北·期中)函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 26．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（   ） A． B．在上有3个零点 C．在上单调递减 D．函数的图象关于直线对称 27．(24-25高一下·湖北十堰六县一中教联体·期中)若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 28．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于对称 D．函数在上单调递增 29．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)设函数，，，则可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 31．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期中)已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 32．(24-25高一下·湖北部分级示范高中·期中)若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（   ） A． B． C．[3，5] D． 33．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 多选题 34．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减 35．(24-25高一下·湖北·期中)函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（    ）    A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 36．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，在的值域为 C．的取值范围为 D．函数在区间上单调递增 37．(24-25高一下·湖北·期中)函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，则的可能值所在的区间有（   ） A． B． C． D． 填空题 38．(24-25高一下·湖北·期中)若函数，对于任意都有成立，则称与为区间上的“m阶依附函数”.若，为的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是________. 39．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)直线与曲线和曲线分别相交于点，． （1）若，则的最大值为______； （2）若的最大值为，则的值为______． 解答题 40．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)用“五点法”作函数（，，）在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，见下表： 0 2 0 (1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 41．(24-25高一下·湖北云学名校联盟·期中)已知，，函数. (1)求函数的对称中心及单调减区间； (2)若，且，求的值. 42．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 (1)求函数的解析式； (2)已知，角的终边与单位圆交于点，求的值． 43．(24-25高一下·湖北·期中)函数，其中，，,图象经过同一个周期上最高点和最低点. (1)求的解析式； (2)求在的单调递增区间； (3)的图象经过怎样的变换可以得到的图象?写出变换过程. 44．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，. (1)若，求的值； (2)若，求的值域. 45．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 46．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为， (1)求函数在区间上的单调递减区间； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 47．(24-25高一下·湖北·期中)已知，，函数，的最小正周期为. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值. 48．(24-25高一下·湖北·期中)已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围． 49．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)函数的最小正周期为T，且． (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 50．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. ( 考点05 三角函数的伸缩平移变换 ) 单选题 51．(24-25高一下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)要得到的图象，只需将的图象（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 52．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 填空题 53．(24-25高一下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________. 54．(24-25高一下·湖北汉川第一高级中学等校·期中)先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是_______． 解答题 55．(23-24高一下·湖北武汉5G联合体·期中)已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 56．(24-25高一下·湖北·期中)已知向量，函数． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． ( 考点06 三角函数的应用 ) 多选题 57．(24-25高一下·湖北武汉新洲区部分学校·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 解答题 58．(24-25高一下·湖北武汉七校·期中)如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为    (1)求的值； (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？ 59．(24-25高一下·湖北部分高中·期中)摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $