第8章 专题微课 离散型随机变量及其概率分布列 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

第8章 专题微课 离散型随机变量及其概率分布列 [课时跟踪检测] 1.某一供电网络有n个用电单位,每个单位在一天中用电的机会都是p,则供电网络中一天平均用电的单位个数是 (　　) A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p) 解析:选B　∵用电单位的个数X~B(n,p), ∴E(X)=np. 2.若随机变量X的概率分布如表所示,则E(X)等于 (　　) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 解析:选C　因为2x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1,所以x=,因此E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=. 3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表所示: 使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60 个数 10 40 80 50 20 若以频率视为概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=,则所求概率为××+=. 4.已知离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P m 则D(X)的值为 (　　) A. B. C. D.1 解析:选B　由概率分布的性质,知+m+=1,∴m=.∴E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 5.已知X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 (　　) A. B. C.3 D. 解析:选C　∵E(X)=x1+x2=,∴x2=4-2x1,又D(X)=×+×=,x1<x2,∴x1=1,x2=2,∴x1+x2=3. 6.已知随机变量ξ的概率分布如表,若D(ξ-1)=,则E(ξ-1)= (　　) ξ -1 0 1 P a c A. B.- C.-或- D.或- 解析:选C　由题意得,a+c=,a∈,E(ξ)=-2a+.若D(ξ-1)=,则D(ξ)=,所以a++=,整理得,12a2-8a+1=0,解得a=或a=,所以E(ξ)=-2a+=-或,E(ξ-1)=E(ξ)-1=-或-. 7.[多选]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100),其中A的各位数中ak(k=1,2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a1+a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时 (　　) A.X服从超几何分布 B.P(X=1)= C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)= 解析:选BCD　由二进制数A的特点知,每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响,故X的可能取值有0,1,2,3,4,5,且X的取值表示1出现的次数,由二项分布的定义,可得X~B,故A错误;故P(X=1)==,故B正确;因为X~B,所以E(X)=5×=,D(X)=5××=,故C、D正确.故选BCD. 8.(5分)李明参加某大会的青年志愿者选拔,在已知备选的10道题中,李明能答对其中的6道,规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为　　　　.  解析:设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为N=10,M=6,n=3的超几何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2,3),故所求概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=. 答案: 9.(5分)某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬,组织了一场类似《诗词大会》PK赛(共4局),A,B两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,除第三局胜者得2分外,其余各胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为　　　　.  解析:比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有三种, 第一种:A队全胜,概率为=. 第二种:A队三胜一负,概率为××=. 第三种:A队胜第三局,另外三局一胜二负,概率为×××=. 所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为++=. 答案: 10.(5分)五一临近,某火车站有三个安检入口,每个安检入口每天通过的旅客人数(单位:人)超过1 100人的概率不低于0.2,假设三个安检入口均能正常工作,则这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为　　　.  解析:由题意可知旅客人数X超过1 100人的概率不低于0.2,即P(X>1 100)≥0.2,所以这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104. 答案:0.104 11.(15分)袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为X,求X的概率分布;(7分) (2)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为Y,求Y的概率分布及均值.(8分) 解:(1)若每次抽取后都放回,则每次抽到黑球的概率均为=,而3次取球可以看成3重伯努利试验,因此X~B, 所以P(X=0)=××=, P(X=1)=××=, P(X=2)=××=, P(X=3)=××=. 因此X的概率分布为 X 0 1 2 3 P (2)若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次可看成随机抽取1次,但1次抽取了3个,因此黑球数Y服从参数为10,3,2的超几何分布,即P(Y=k)=, 因此P(Y=0)==,P(Y=1)==, P(Y=2)==. 因此Y的概率分布为 Y 0 1 2 P E(Y)=3×=. 12.(15分)某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的考核,每个项目只有一次补考机会,补考不及格者不能进入下一个项目的考核(即淘汰).若该学生身体体能考核合格的概率是,外语考核合格的概率是,假设每一次考核是否合格互不影响,该生不放弃每一次考核的机会.用X表示其参加补考的次数,求随机变量X的均值与方差. 解:X的可能取值为0,1,2. 设“该学生第一次、第二次身体体能考核合格”分别为事件A1,A2,“第一次、第二次外语考核合格”分别为事件B1,B2, 则P(X=0)=P(A1B1)=×=, P(X=2)=P(A2B2)+P(A2)=×××+×××=. 根据概率分布列的性质,可知P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=. 13.(17分)在某地区进行高中学生每周户外运动调查,随机调查了1 000名高中学生户外运动的时间(单位:小时),得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求a的值,估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间;(同一组数据用该区间的中点值作代表)(4分) (2)为进一步了解这1 000名高中学生户外运动的时间分配,在[14,16),[16,18]两组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了5人,现从这5人中随机抽取3人进行访谈,记在[14,16)内的人数为X,求X的概率分布和期望;(6分) (3)以频率估计概率,从该地区的高中学生中随机抽取8名学生,用“P8(k)”表示这8名学生中恰有k名学生户外运动时间在[8,10)内的概率,当P8(k)最大时,求k的值.(7分) 解:(1)由已知2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.1, 所以平均数为1×0.04+3×0.06+5×0.1+7×0.1+9×0.3+11×0.2+13×0.1+15×0.08+17×0.02=9.16. (2)这1 000名高中学生户外运动的时间分配, 在[14,16),[16,18]两组内的学生分别有1 000×0.08=80人和1 000×0.02=20人, 所以根据分层抽样可知5人中在[14,16)的人数为5×=4,在[16,18]内的人数为5-4=1, 所以随机变量X的可能取值有2,3, 所以P(X=2)==,P(X=3)==, 则X的概率分布为 X 2 3 P E(X)=2×+3×=. (3)由频率分布直方图可知运动时间在[8,10)内的频率为0.15×2=0.3=, 则P8(k)=·=··, 若P8(k)为最大值,则 即 即 解得1.7≤k≤2.7, 又k∈N,且0≤k≤8,则k=2. 学科网（北京）股份有限公司 $